1、2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 1.1.定义定义:定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数(或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx(或或 xX)的一切的一切x,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf,那末那末 称函数称函数)(xf当当0 xx(或或 x)时为无穷小时为无穷小,记作记作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或 极限为零的变量称为极
2、限为零的变量称为无穷小无穷小.2022-12-27冯国臣冯国臣 性质性质1 1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是有限个无穷小的代数和仍是 无穷小无穷小.性质性质2 2 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.性质性质3 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质性质4 4 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小积是无穷小.性质性质5 5 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.性质性质6 6 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.2022
3、-12-27冯国臣冯国臣 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数M(不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数(或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx(或或 xX)的一切的一切x,所对应的函数所对应的函数值值)(xf都满足不等式都满足不等式 Mxf)(,则称函数则称函数)(xf当当0 xx(或或 x)时为无穷小时为无穷小,记作记作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.定理定理 同一过程中同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷
4、小的倒数，为无穷大恒不为零的无穷小的倒数，为无穷大.2022-12-27冯国臣冯国臣 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.注意注意1.1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.3.3.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小););).(,)()(.20 xAxfxxf 误误差差为为附附近近的的近近似似表表达达式式在在给给出出了了函函数数4.2022-12-27冯国臣冯国臣 0000l
5、im()lim()1lim()lim()lim()lim()0 xatxtxxf xf taf xftf xAf xA 2022-12-27冯国臣冯国臣 定理定理()lim()f xAg xBlim(),lim()0f xAg xB，则，则解解商的法则不能用商的法则不能用例例.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx2123lim41xxxx.030 所以所以2022-12-27冯国臣冯国臣 解解例例.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3(
6、)1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21)00(型型(消去零因子法消去零因子法)2022-12-27冯国臣冯国臣 例例.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)2022-12-27冯国臣冯国臣 00101101,lim0,mmmnnxnanmba xa xanmb xb xbnm 00101
7、1001,lim0,mmnnxanmba xa xnmb xb xnm 2022-12-27冯国臣冯国臣 求下列各极限求下列各极限)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、x221nmnm 1、2；2、；3、-1；4、-2；5、；6、0；7、答案：答案：2022-12-27冯国臣冯国臣 );(,0lim)1(o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果.0,且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无
8、设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;,1lim 记记作作是是等等价价的的无无穷穷小小与与则则称称如如果果特特殊殊地地.),0,0(lim)3(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCCk 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 常用等价无穷小常用等价无穷小,0时时当当 x2sin arcsin tanarctan;ln(1),1,11 cos,1ln;2xxxxxxxxxexxxaxa 33311tansin,sin;261tan,(1)1.3xxxxxxxxxxx 2022-12-27冯国臣冯国臣 (1)1s
9、inlim0 xxx(2)exxx )11(lim;1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设,1lim ,0lim ),(o即即).(o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx 2022-12-27冯国臣冯国臣 211.(1).1nnxxxx 211.1nxxxx 从中学的无穷等比数列求和谈起从中学的无穷等比数列求和谈起231ln(1).(1).231nnxxxxxn 012.0!1!2!nxxxxxen 242211.1nxxxx 2022-12-27冯国臣冯国臣 常用函数公式常用函数公式
10、)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 2022-12-27冯国臣冯国臣 1()0010limlim 1()lim 1()lim1g xf gfffggf gffgf gf xf xfe ()lim()()0lim 1().g xf x g xfgf xelim fg 2022-12-27冯国臣冯国臣 例例.sintan,0的的阶阶数
11、数关关于于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20 xxxxx ,21.sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 31tansin(0)2xxxx2022-12-27冯国臣冯国臣 30cos2cossin2222lim11288xxxxxxxAxA 16A例例 计算计算30sinlimxxxx 解解 令令30sinlimxxxAx 31sin(0)6xxxx2022-12-27冯国臣冯国臣 例例.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解)1(301sin1sintanlimxxxxx 330112limcos(1sin)xxxxx
12、01lim2cos(1sin)xxx 21.21e 原式原式2022-12-27冯国臣冯国臣 例例.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(5tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 2022-12-27冯国臣冯国臣 例例,等价无穷小等价无穷小是是与与时时已知当已知当1cos1)1(,0312 xxx.求常数求常数解解11cos1)1(lim3120 xxx 1)1(312 x 1cos x原极限原极限=2202131l
13、imxxx 23 132 ,312x 221x 2022-12-27冯国臣冯国臣 例例 计算计算 403cos2lim2xxexx .解解)(!2114422xoxxex )(!4!21cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式2022-12-27冯国臣冯国臣 例例 计算计算 3sin(1)limxxexxxx 解解)(!3!21332xoxxxex )(!3sin33xoxxx 3)1(sinlimxxxxexx333332)1()(!3)(!3!21limxxxxoxxxoxxxx 3333)(!3!2li
14、mxxoxxx 61 2022-12-27冯国臣冯国臣 解解 原式原式 nnaaaxnxxx2101limx1xnnaaaxnxxx1lim210 )00(10lnlnlimnxxaxan x naaan21ln naaa21ln n 原式原式naaa21n exxx 101lim naaaxnxxx210lim求求naaa,21其中其中均为正数均为正数.x12022-12-27冯国臣冯国臣 例例.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解解.2的次数为的次数为分子关于分子关于 x 551x)()5()151(51!21)5(51122xoxx )(2122xoxx 原式原式.21 51
15、)51(x)1()(21 lim2220 xxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 2022-12-27冯国臣冯国臣 .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(),()2(;)()(,0)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外点点点的某领域内点的某领域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理.,该法则仍然成立该法则仍然成立时时以及以及时时当当 xaxx
