1、第二章数列复习第二章数列复习知识归纳知识归纳等差数列等差数列定定 义义通通 项项前前n项和项和主要性质主要性质1.等差数列这单元学习了哪些内容？等差数列这单元学习了哪些内容？一、等差数列一、等差数列2.等差数列的定义、用途及使用时需等差数列的定义、用途及使用时需 注意的问题注意的问题:n2，an an1d(常数常数)3.等差数列的通项公式如何？结构有等差数列的通项公式如何？结构有 什么特点？什么特点？ana1(n1)danAnB(dAR)一、等差数列一、等差数列4.等差数列图象有什么特点？等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？单调性如何确定？nnanand0d0一、等差数列一、等差数列5.用
2、什么方法推导等差数列前用什么方法推导等差数列前n项和公式项和公式的的?公式内容公式内容?使用时需注意的问题使用时需注意的问题?前前n项和公式结构有什么特点项和公式结构有什么特点?2)1(2)(11dnnnaaanSnn SnAn2Bn(AR)注意注意:d2A!一、等差数列一、等差数列6.你知道等差数列的哪些性质你知道等差数列的哪些性质?等差数列等差数列an中，中，(m、n、p、qN+):anam(nm)d；若若 mnpq，则，则amanapaq；由项数成等差数列的项组成的数列仍由项数成等差数列的项组成的数列仍 是等差数列；是等差数列；每每n项和项和Sn,S2nSn,S3nS2n 组成的数列仍是
3、等差数列组成的数列仍是等差数列.一、等差数列一、等差数列1.等比数列的定义等比数列的定义2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式3.等比中项等比中项)0,(111 qaqaann二、等比数列二、等比数列4.等比数列的判定方法等比数列的判定方法(1)anan1q(n2)，q是不为零的常数，是不为零的常数，an10 an是等比数列是等比数列.(2)an2an1an1(n2,an1,an,an10)an是等比数列是等比数列.(3)ancqn(c，q均是不为零的常数均是不为零的常数)an是等比数列是等比数列.二、等比数列二、等比数列5.等比数列的性质等比数列的性质(1)当当q1，a10或或0q1，a1
4、0时，时，an是是递增数列递增数列；当当q1，a10或或0q1，a10时，时，an是是递减数列递减数列；当当q1时，时，an是是常数列常数列；当当q0时，时，an是是摆动数列摆动数列.二、等比数列二、等比数列5.等比数列的性质等比数列的性质(2)anamqnm(m、nN*).(1)当当q1，a10或或0q1，a10时，时，an是是递增数列递增数列；当当q1，a10或或0q1，a10时，时，an是是递减数列递减数列；当当q1时，时，an是是常数列常数列；当当q0时，时，an是是摆动数列摆动数列.二、等比数列二、等比数列知识归纳知识归纳(3)当当mnpq(m、n、q、pN*)时，时，有有amana
5、paq.5.等比数列的性质等比数列的性质(4)an是有穷数列，则与首末两项等距是有穷数列，则与首末两项等距 离的两项积相等，且等于首末两项之离的两项积相等，且等于首末两项之 积积.知识归纳知识归纳 若若bn是公比为是公比为q的等比数列，则数列的等比数列，则数列 anbn是公比为是公比为qq的等比数列；的等比数列；数列数列 是公比为是公比为 的等比数列；的等比数列；|an|是公比为是公比为|q|的等比数列的等比数列.1naq15.等比数列的性质等比数列的性质(5)数列数列 an(为不等于零的常数为不等于零的常数)仍是仍是 公比为公比为q的等比数列；的等比数列；知识归纳知识归纳(7)当数列当数列a
6、n是各项均为正数的等比数列是各项均为正数的等比数列 时时,数列数列lgan是公差为是公差为lgq的等差数列的等差数列.5.等比数列的性质等比数列的性质(6)在在an中，每隔中，每隔k(kN*)项取出一项，项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等按原来顺序排列，所得新数列仍为等 比数列且公比为比数列且公比为qk1.知识归纳知识归纳(9)若若m、n、p（m、n、pN*）成等差）成等差数列时，数列时，am、an、ap成等比数列成等比数列.5.等比数列的性质等比数列的性质(8)an中，连续取相邻不重复两项的和中，连续取相邻不重复两项的和(或差或差)构成公比为构成公比为q2的等比数列的等比数列(q1
7、).6.等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 )1(1)1()1(11qqqaq naSnn二、等比数列二、等比数列7.等比数列前等比数列前n项和的一般形式项和的一般形式)1(qAqASnn0 x 0y xaby，xcdy，.A0.B1.C2.D4已知，成等差数列，成等比数列，则 二、等比数列二、等比数列.qSS 奇奇偶偶8.等比数列的前等比数列的前n项和的性质项和的性质二、等比数列二、等比数列(1)在等比数列中，若项数为在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则则(2)Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列成等比数列.8.等比数列的前等比数列的前n项和的性质项和的性质(1)在等比数列中
8、，若项数为在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则则.qSS 奇奇偶偶二、等比数列二、等比数列1.已知已知:x0，y0,x，a，b，y成等差数成等差数列，列，x，c，d，y成等比数列，则成等比数列，则的最小值是的最小值是()A.0 B.1 C.2 D.4cdba2)(练习练习知识归纳知识归纳6.你知道等差数列的哪些性质你知道等差数列的哪些性质?等差数列等差数列an中，中，(m、n、p、qN+):anam(nm)d；若若 mnpq，则，则amanapaq；由项数成等差数列的项组成的数列仍由项数成等差数列的项组成的数列仍 是等差数列；是等差数列；每每n项和项和Sn,S2nSn,S3nS2n 组成的
9、数列仍是等差数列组成的数列仍是等差数列.知识运用知识运用1.下列说法下列说法:(1)若若an为等差数列为等差数列,则则an2也为等差数列也为等差数列(2)若若an 为等差数列为等差数列,则则anan1也为等也为等 差数列差数列(3)若若an13n,则则an为等差数列为等差数列.(4)若若an的前的前n和和Snn22n1,则则an为为 等差数列等差数列.其中正确的有其中正确的有()知识运用知识运用1.下列说法下列说法:(1)若若an为等差数列为等差数列,则则an2也为等差数列也为等差数列(2)若若an 为等差数列为等差数列,则则anan1也为等也为等 差数列差数列(3)若若an13n,则则an为
10、等差数列为等差数列.(4)若若an的前的前n和和Snn22n1,则则an为为 等差数列等差数列.其中正确的有其中正确的有()(2)(3)知识运用知识运用3.等差数列等差数列an中中,a1a4a739,a2a5a833,则则a3a6a9_.4.等差数列等差数列an中中,a510,a105,a15_.2.等差数列等差数列an前三项分别为前三项分别为a1,a2,2a3,则则an_.5.等差数列等差数列an,a1a5a9a13a1710,a3a15_.知识运用知识运用3.等差数列等差数列an中中,a1a4a739,a2a5a833,则则a3a6a9_.4.等差数列等差数列an中中,a510,a105,
11、a15_.2.等差数列等差数列an前三项分别为前三项分别为a1,a2,2a3,则则an_.5.等差数列等差数列an,a1a5a9a13a1710,a3a15_.3n2270206.等差数列等差数列an,S1590,a8_.7.等差数列等差数列an,a1=5,前前11项平均值为项平均值为5,从中抽去一项从中抽去一项,余下的平均值为余下的平均值为4,则抽则抽取的项为取的项为 ()A.a11 B.a10 C.a9 D.a8知识运用知识运用8.等差数列等差数列an,Sn3n2n2,则则()A.na1Snnan B.nanSnna1C.nanna1Sn D.Snnanna16.等差数列等差数列an,S1
12、590,a8_.7.等差数列等差数列an,a1=5,前前11项平均值为项平均值为5,从中抽去一项从中抽去一项,余下的平均值为余下的平均值为4,则抽则抽取的项为取的项为 ()A.a11 B.a10 C.a9 D.a8知识运用知识运用6AB8.等差数列等差数列an,Sn3n2n2,则则()A.na1Snnan B.nanSnna1C.nanna1Sn D.Snnanna1讲解范例讲解范例例例1.在等比数列在等比数列an中中,a1a2a33,a1a2a38.(1)求通项公式；求通项公式；(2)求求a1a3a5a7a9.1.利用等比数列的通项公式进行计算利用等比数列的通项公式进行计算.讲解范例讲解范例
13、例例2.有四个数，前三个成等差，后三个有四个数，前三个成等差，后三个成等比，首末两项和成等比，首末两项和37，中间两项和，中间两项和36，求这四个数求这四个数.1.利用等比数列的通项公式进行计算利用等比数列的通项公式进行计算.讲解范例讲解范例2.利用等比数列的性质解题利用等比数列的性质解题.例例3.等比数列等比数列an中，中，(1)已知已知a24，a5 ，求通项公式，求通项公式;(2)已知已知a3a4a5=8，求，求a2a3a4a5a6的值的值.21 3.如何证明所给数列是否为等比数列如何证明所给数列是否为等比数列.例例4.设设an是等差数列，是等差数列，,)21(nanb 已知已知,81,8
14、21321321 bbbbbb求等差数列的通项求等差数列的通项an,并判断并判断bn是是否是等比数列否是等比数列.讲解范例讲解范例4.利用等比数列的前利用等比数列的前n项和公式进行计算项和公式进行计算.例例5.若数列若数列an成等比数列，且成等比数列，且an0，前，前n项和为项和为80，其中最大项为，其中最大项为54，前，前2n项之项之和为和为6560，求，求S100?讲解范例讲解范例5.利用利用an，Sn的公式及等比数列的性质解题的公式及等比数列的性质解题.例例6.数列数列an中，中，a1=1，且，且anan14n，求前求前n项和项和Sn.讲解范例讲解范例 数列复习数列复习通项公式通项公式题
15、型二：题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式已知递推公式，求特殊数列的通项公式 若数列若数列an满足满足a1=a,1nnnbaa ).()()(123121 nnnaaaaaaaa(数列数列bn为可以求和的数列为可以求和的数列)，则用则用累加累加法法求解，即求解，即数列的通项公式的求法数列的通项公式的求法题型二：题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式已知递推公式，求特殊数列的通项公式例例2.写出下面各数列的一个通项公式写出下面各数列的一个通项公式)1(1,1)4(11 nannaann练习练习4.)1(2,111 naaannn题型二：题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式已知递推
16、公式，求特殊数列的通项公式 若数列若数列an满足满足a1=a，an+1=anbn，数列数列bn为可以求积的数列，为可以求积的数列，则用则用迭迭乘法乘法求解，即求解，即.123121 nnnaaaaaaaa题型二：题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式已知递推公式，求特殊数列的通项公式 若数列若数列an满足满足a1=a，an+1=pan+q(p1)，通过变形可转化为，通过变形可转化为)1(11pqappqann 即转化为即转化为11pqan 是等比数列求解是等比数列求解.，数列的通项公式的求法数列的通项公式的求法题型二：题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式已知递推公式，求特殊数列的通项
17、公式 若数列若数列an满足满足a1=a,cbacaannn 1通过取倒可转化为通过取倒可转化为cbaann 111即转化为即转化为 是等差数列求解是等差数列求解),0,(cb1na数列的通项公式的求法数列的通项公式的求法题型二：题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式已知递推公式，求特殊数列的通项公式例例2.写出下面各数列的一个通项公式写出下面各数列的一个通项公式)2(22,1)2(111 naaaannn练习练习2.)1(33,111 naaaannn课堂小结课堂小结 已知数列的前几项，求数列的通项公式已知数列的前几项，求数列的通项公式 的方法：的方法：观察法观察法2.已知递推公式，求特殊
18、数列的通项公式已知递推公式，求特殊数列的通项公式 的方法：的方法：转化为等差、等比数列求通项；转化为等差、等比数列求通项；累加法；迭乘法累加法；迭乘法习题作业一、公式法一、公式法1如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列项和公式，注意等比数列公比公比q的取值情况要分的取值情况要分q1或或q1.2一些常见数列的前一些常见数列的前n项和公式：项和公式：(1)1234n；(2)13572n1 ；(3)24682n .n2n2n二、非等差、等比数列求和的常用方法二、非等差、等比数列求
19、和的常用方法1倒序相加法倒序相加法如果一个数列如果一个数列an，首末两端等，首末两端等“距离距离”的两项的和相的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒项和即可用倒序相加法，等差数列的前序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的项和即是用此法推导的2分组转化求和法分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减求和而后相加减3错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由
20、一个等差数列和一个等比如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可项和即可用此法来求，等比数列的前用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的项和就是用此法推导的4裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和项可以相互抵消，从而求得其和小题能否全取小题能否全取1(2013沈阳六校联考沈阳六校联考)设数列设数列(1)n的前的前n项和为项和为Sn，则对任意正整数则对任意正整数n，Sn()小题能否全取小题能否全取1(2
21、013沈阳六校联考沈阳六校联考)设数列设数列(1)n的前的前n项和为项和为Sn，则对任意正整数则对任意正整数n，Sn()答案：答案：D答案：答案：C 数列求和的方法：数列求和的方法：1.倒序相加法：倒序相加法：对某些前后具有对称性的数列，对某些前后具有对称性的数列，可运用可运用倒序相加法倒序相加法求其前求其前n项和项和.例例1.求和：求和：.110108339221011222222222222 数列求和的方法：数列求和的方法：2.错位相减法：错位相减法：例例2.求和：求和：).0()12(5332 xxnxxxn考点探究考点探究挑战高考挑战高考分组转化法与公式法求和分组转化法与公式法求和分组
22、转化法就是把一个数列的通项拆成若干个分组转化法就是把一个数列的通项拆成若干个数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从而求出原数列的和而求出原数列的和【思路点拨思路点拨】分组分别求和，然后相加分组分别求和，然后相加【名师点评】【名师点评】非等差、非等比数列求和的最非等差、非等比数列求和的最关键步骤是关键步骤是“转化转化”，即根据通项公式的特点，即根据通项公式的特点，利用拆项分组的方法，拆分为等差或等比数列利用拆项分组的方法，拆分为等差或等比数列的和或差，再进行求和运算的和或差，再进行求和运算 例例1(2011(2011山东高考山东高考)等比数列等比数列an
23、中，中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列中的任何两个数不在下表的同一列.分组转化法求和分组转化法求和第一列第一列第二列第二列第三列第三列第一行第一行3210第二行第二行6414第三行第三行9818(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列bn满足：满足：bnan(1)nln an，求数，求数列列bn的前的前2n项和项和S2n.自主解答自主解答(1)当当a13时，不合题意；时，不合题意；当当a12时，当且仅当时，当且仅当a26，a318时，符合题意；时，符合题意；当
24、当a110时，不合题意时，不合题意因此因此a12，a26，a318.所以公比所以公比q3，故，故an23n1.分组转化法求和的常见类型分组转化法求和的常见类型 (1)若若anbncn，且，且bn，cn为等差或等比数列，为等差或等比数列，可采用分组求和法求可采用分组求和法求an的前的前n项和项和错位相减法求和错位相减法求和一般地，如果数列一般地，如果数列an是等差数列，是等差数列，bn是等比是等比数列，求数列数列，求数列anbn的前的前n项和时，可采用错位项和时，可采用错位相减法相减法 知数列知数列an满足满足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为是首项为1，公比为，公比为a的等比数列的
25、等比数列(1)求求an；(2)如果如果a2，bn(2n1)an，求数列，求数列bn的前的前n项项和和Sn.【名师点评名师点评】利用错位相减法求和时，转化为利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和若公比是参数等比数列求和若公比是参数(字母字母)，则应先对参，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于和不等于1两种两种情况分别进行求和情况分别进行求和例例2(2012(2012江西高考江西高考)已知数列已知数列an的前的前n项和项和Snkcnk(其中其中c，k为常数为常数)，且，且a24，a68a3.(1)求求an；(2)求数列求数列nan的前的前n项和项和Tn.错
26、位相减法求和错位相减法求和用错位相减法求和应注意：用错位相减法求和应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；数的情形；(2)在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错项对齐错项对齐”以便下一步准确写出以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于参数，应分公比等于1和不等于和不等于1两种情况求解两种情况求解2(2013济南模拟济南模拟)已知等比数列已知等比数列an的前的前n
27、项和为项和为Sn，且，且满足满足Sn3nk.(1)求求k的值及数列的值及数列an的通项公式；的通项公式；解：解：(1)当当n2时，由时，由anSnSn13nk3n1k23n1，得等比数列，得等比数列an的公比的公比q3，首项为，首项为2.a1S13k2，k1，数列数列an的通项公的通项公式为式为an23n1.裂项相消法求和裂项相消法求和裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过求和相互抵消，从而达到求和的目的求和相互抵消，从而达到求和的目的裂项相消法求和裂项相消法求和例例3已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，a11，Snnann(n1)(nN*
28、)(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；自主解答自主解答(1)Snnann(n1)，当，当n2时，时，Sn1(n1)an1(n1)(n2)，anSnSn1nann(n1)(n1)an1(n1)(n2)，即即anan12.数列数列an是首项是首项a11，公差，公差d2的等差数列，的等差数列，故故an1(n1)22n1，nN*.利用裂项相消法求和应注意利用裂项相消法求和应注意(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；可能前面剩两项，后面也剩两项；3(2012(2012“江南十校江南十校”联考联考)在等比数列在等比
29、数列an中，中，a10，nN*，且，且a3a28，又，又a1、a5的等比中项为的等比中项为16.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；解：解：(1)设数列设数列an的公比为的公比为q，由题意可得，由题意可得a316，a3a28，则，则a28，q2.an2n1.【思路点拨思路点拨】把把San(Sn)化为只含有化为只含有Sn的的式子，可求出式子，可求出Sn；把；把Sn代入代入bn用裂项法可求出用裂项法可求出Tn.数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主数列求和是高考的重点，题型以解答题为主，主要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项要考查等差、等比数列的求和公式，错位相减法及裂项相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一相消求和；数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的起，考查内容较为全面，在考查基本运算、基本能力的基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力基础上又注重考查学生分析问题、解决问题的能力“大题规范解答大题规范解答得全分得全分”系列之系列之(五五)利用错位相减法解决数列求和的答题模板利用错位相减法解决数列求和的答题模板高频考点高频考点 习题作业
