1、第二讲 双曲线第十章 圆锥曲线与方程考点帮必备知识通关考点1 双曲线的定义和标准方程考点2 双曲线的几何性质考法帮解题能力提升考法1 双曲线的定义及应用考法2 求双曲线的标准方程考法3 双曲线的几何性质考法4 直线与双曲线的位置关系 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.双曲线的定义和标准方程了解2020全国卷,T11 探索创新 考法1,3直观想象逻辑推理数学运算2020天津,T7探索创新 考法2,32.双曲线的几何性质了解2020全国,T9探索创新考法3直观想象逻辑推理数学运算 考情解读命题分析预测根据近几年的高考命题情况来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一
2、直是高考命题的热点,命题主要体现两个特色:以定义作为命题思路求解双曲线的标准方程、离心率、渐近线等;以特殊的几何图形、向量关系为命题背景,求解双曲线的标准方程、研究直线与双曲线的位置关系等,多以选择题、填空题的形式出现,难度中等.在2022年高考的复习备考中,要关注双曲线的定义、渐近线方程、几何图形的性质在解题中的应用.考点1 双曲线的定义和标准方程考点2 双曲线的几何性质考点帮必备知识通关 考点1 双曲线的定义和标准方程1.定义在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作焦距.规律总结
3、 设点M到F1,F2两点的距离之差的绝对值为2a.(1)若点M的轨迹是双曲线,则02a|F1F2|,则点M的轨迹不存在;若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.考点1 双曲线的定义和标准方程 考点1 双曲线的定义和标准方程名师提醒 焦点位置的判断在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数的正负,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.考点2 双曲线的几何性质1.双曲线的几何性质标准方程图形 考点2 双曲线的几何性质几何性质范围|x|a,yR|y|a,xR对称性对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点.焦点F1(-c,
4、0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴线段A1A2,B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2a,虚轴长为2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长.考点2 双曲线的几何性质几何性质焦距|F1F2|=2c离心率渐近线a,b,c的关系a2=c2-b2 考点2 双曲线的几何性质2.特殊双曲线 等轴双曲线共轭双曲线定义中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线.如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴,那么这两条双曲线互为共轭双曲线.性质它们有共同的渐近线;
5、它们的四个焦点共圆;它们的离心率的倒数的平方和等于1.考法1 双曲线的定义及应用考法2 求双曲线的标准方程考法3 双曲线的几何性质考法4 直线与双曲线的位置关系考法帮解题能力提升 考法1 双曲线的定义及应用 考法1 双曲线的定义及应用 考法1 双曲线的定义及应用 考法1 双曲线的定义及应用 考法1 双曲线的定义及应用方法技巧 双曲线定义的应用策略1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求求出轨迹方程.2.将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值|PF1|-|PF2|=2a(其中02a|F2F2|)与正弦定理、余弦定理结合,解决焦点三角形问题.3.利用双曲线的定义解决
6、与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问题.考法1 双曲线的定义及应用注意 利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:距离之差的绝对值,若将定义中的绝对值去掉,则点的轨迹是双曲线的一支;02a|F1F2|;焦点所在坐标轴的位置.思维拓展 双曲线中的特殊量(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.考法1 双曲线的定义及应用 考法1 双曲线的定义及应用 考法2 求双曲线的标准方程 考法2 求双曲线的标准方程 考法2 求双曲线的标准方程 考法2 求双曲线的标准方程 考法2 求双曲线的
7、标准方程方法技巧 求双曲线标准方程的两种方法1.定义法根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点的位置求出双曲线方程,常用的关系有:(1)c2=a2+b2;(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.考法2 求双曲线的标准方程一般步骤判断:根据已知条件,确定双曲线的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能.设:根据中的判断结果,设出所需的未知数或者标准方程.列:根据题意,列出关于a,b,c的方程或者方程组.解:求解得到方程.2.待定系数法 考法2 求双曲线的标准方程常见设法 考法2 求双曲线的标准方程常见设法 考法2 求双曲线的标准方程注意 (1)当焦点位置
8、不确定时,有两种方法来解决:一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0).(2)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程(组)并求出a,b,c的值.考法3 双曲线的几何性质 考法3 双曲线的几何性质 考法3 双曲线的几何性质 考法3 双曲线的几何性质 考法3 双曲线的几何性质 考法3 双曲线的几何性质思维导引 考法3 双曲线的几何性质图 10-2-2 考法3 双曲线的几何性质 考法3 双曲线的几何性质 考法3 双曲线的几何性质 考法3 双
9、曲线的几何性质 考法3 双曲线的几何性质 考法3 双曲线的几何性质思维导引 考法3 双曲线的几何性质 考法3 双曲线的几何性质方法技巧 1.求解与双曲线性质有关的范围(或最值)问题的方法(1)几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,那么可以考虑用图形的性质来求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.(2)代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题,然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解.(3)不等式法:借助题目给出的不等信息列出不等关系式
10、求解.考法3 双曲线的几何性质2.解决与双曲线性质有关的范围(或最值)问题时的注意点(1)双曲线上本身就存在最值问题,如异支双曲线上两点间的最短距离为2a(实轴长);(2)由直线和双曲线的位置关系,求直线或双曲线中某个参数的范围,常把所求参数作为函数中的因变量来求解;(3)所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线中变量范围的影响.考法3 双曲线的几何性质3.解决与双曲线的几何性质有关的问题的通法与流程求解与双曲线的几何性质有关的问题,其通用的方法是利用方程思想解题,其思维流程是:考法4 直线与双曲线的位置关系 考法4 直线与双曲线的位置关系 考法4 直线与双曲线的位置关系 考法4 直线与双曲线的位置关系 考法4 直线与双曲线的位置关系方法技巧 1.解决直线与双曲线的位置关系问题的策略(1)解题“3步骤”考法4 直线与双曲线的位置关系 考法4 直线与双曲线的位置关系 考法4 直线与双曲线的位置关系规律总结 (1)过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线.(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和两条与渐近线平行的直线.(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线.
