1、二 次 函 数复习与小结一、二次函数的概念及其关系式一、二次函数的概念及其关系式1.1.二次函数的概念：形如二次函数的概念：形如_(a_(a，b b，c c是常数，是常数，a0)a0)的函数的函数.2.2.二次函数的关系式：二次函数的关系式：(1)(1)一般式：一般式：_._.(2)(2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)，其顶点坐标是，其顶点坐标是_._.y=axy=ax2 2+bx+c+bx+cy=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)(h(h，k)k)二、二次函数二、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a
2、0)的图象与性质的图象与性质1.1.当当a0a0时时(1)(1)开口方向：向上开口方向：向上.(2).(2)顶点坐标：顶点坐标：(_ ).(3)(_ ).(3)对称对称轴：直线轴：直线_._.(4)(4)增减性：当增减性：当x x x 时，时，y y随随x x的增大而的增大而_._.(5)(5)最值：当最值：当x=x=时，时，y y最小值最小值=_.=_.b2a24acb,4abx2a b2a减小减小b2a增大增大b2a24acb4a2.2.当当a0a0时时(1)(1)开口方向：向下开口方向：向下.(2).(2)顶点坐标：（顶点坐标：（_）.(3).(3)对对称轴：直线称轴：直线_._.(4)
3、(4)增减性：当增减性：当x x x 时，时，y y随随x x的增大而的增大而_._.(5)(5)最值：当最值：当x=x=时，时，y y最大值最大值=_.=_.b2a，24acb4abx2a b2a增大增大b2a减小减小b2a24acb4a【思维诊断思维诊断】(打打“”或或“”)1.y=ax1.y=ax2 2+2x+3+2x+3是二次函数是二次函数.()()2.2.二次函数二次函数y=3(x+3)y=3(x+3)2 2-2-2的顶点坐标是的顶点坐标是(3(3，-2).-2).()()3.3.二次函数二次函数y=xy=x2 2-2-2的对称轴是的对称轴是y y轴，有最小值轴，有最小值-2.-2.
4、()()4.4.二次函数二次函数y=xy=x2 2先向右平移先向右平移2 2个单位，再向下平移个单位，再向下平移3 3个单位，得个单位，得到的函数表达式是到的函数表达式是y=(x+2)y=(x+2)2 2-3.-3.()()热点考向一热点考向一 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质【例例1 1】已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列说法：的图象如图所示，则下列说法：c=0c=0；该抛物线的对称轴是直线该抛物线的对称轴是直线x=-1x=-1；当当x=1x=1时，时，y=2ay=2a；amam2 2+bm+a0(m-1).+bm
5、+a0(m-1).其中正确的个数是其中正确的个数是()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【思路点拨思路点拨】二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)根据根据a a确定开口方向，确定开口方向，顶点坐标为顶点坐标为(h(h，k)k)，对称轴为直线，对称轴为直线x=hx=h，增减性结合开口方向，增减性结合开口方向，分对称轴左右两部分来考虑分对称轴左右两部分来考虑.【自主解答自主解答】选选C.C.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象经过原点，的图象经过原点，c=0c=0，故正确；，故正确；二次函数与二次函数与x x轴的交点
6、坐标是轴的交点坐标是(-2(-2，0)0)和和(0(0，0)0)，对称轴是直线对称轴是直线x=-1x=-1，故正确；，故正确；，b=2ab=2a，当，当x=1x=1时，时，y=a+b+c=a+2a+c=3ay=a+b+c=a+2a+c=3a，故不正确；，故不正确；b=2ab=2a，amam2 2+bm+a=am+bm+a=am2 2+2am+a=a(m+1)+2am+a=a(m+1)2 2，又，又m-1m-1，a0a0，a(m+1)a(m+1)2 200，故正确，故正确.b12a【规律方法规律方法】二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)的性质的性质1.a
7、01.a0时，开口向上，时，开口向上，a0a0a0时，当时，当xhxh时，时，y y随随x x的增大而增大，当的增大而增大，当xhxh时，时，y y随随x x的增大而减小；当的增大而减小；当a0ahxh时，时，y y随随x x的增大而减小，的增大而减小，当当xhxh时，时，y y随随x x的增大而增大的增大而增大.【真题专练真题专练】1.1.二次函数二次函数y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示，的图象如图所示，若点若点A(xA(x1 1，y y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)在此函数图在此函数图象上，且象上，且x x1 1xx2 211，则，则y y1 1与与y
8、 y2 2的大小关的大小关系是系是()A.yA.y1 1yy2 2B.yB.y1 1yyy2 2【解析解析】选选B.B.根据二次函数的图象性质可知当根据二次函数的图象性质可知当x1x1时，时，y y随着随着x x的增大而增大；的增大而增大；x x1 1xx2 211，点点A A，点，点B B在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y1 1yy2 2.【方法技巧方法技巧】当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用三种方法比较函数值的大小：字母时，可以用三种方法比较函数值的大小：(1)(1)用含有字母的代数式表示各函数值，然后进行比较用含有字母的
9、代数式表示各函数值，然后进行比较.(2)(2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解.(3)(3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较根据二次函数的性质，结合函数图象比较.热点考向二热点考向二 二次函数表达式的确定二次函数表达式的确定【例例2 2】在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，中，抛物线抛物线y=mxy=mx2 2-2mx-2(m0)-2mx-2(m0)与与y y轴轴交于点交于点A A，其对称轴与，其对称轴与x x轴交于点轴交于点B.B.(1)(1)求点求点A A，B B的坐标的坐标.(2)(2)设直线设直线l与直
10、线与直线ABAB关于该抛物线的对称轴对称，求直线关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l l的表达式的表达式.(3)(3)若该抛物线在若该抛物线在-2x-1-2x-1这一段位于这一段位于(2)(2)中直线中直线l的上方，的上方，并且在并且在2x32x3这一段位于直线这一段位于直线ABAB的下方，求该抛物线的下方，求该抛物线 的表达式的表达式.【思路点拨思路点拨】(1)(1)令令x=0 x=0求出求出y y的值，即可得到点的值，即可得到点A A的坐标，求出的坐标，求出对称轴方程，即可得到点对称轴方程，即可得到点B B的坐标的坐标.(2)(2)求出点求出点A A关于对称轴的对称点关于对称轴的对称点(2
11、(2，-2)-2)，然后设直线，然后设直线l的表达的表达式为式为y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)，利用待定系数法求一次函数表达式即可，利用待定系数法求一次函数表达式即可.(3)(3)根据二次函数的对称性判断在根据二次函数的对称性判断在2x32x3这一段与在这一段与在-1x0-1x0这一这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐的交点的横坐标为标为-1-1，代入直线，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出求出交点坐标，然后代入抛物线求出m m的值的值即可得到抛物线的表达式即可得到抛物线的表达式.【自主解答自主解答】(1)(1)当
12、当x=0 x=0时，时，y=-2y=-2，A(0A(0，-2).-2).抛物线对称轴抛物线对称轴为为 ，B(1B(1，0).0).(2)A(2)A点关于对称轴的对称点为点关于对称轴的对称点为A(2A(2，-2)-2)，则直线，则直线l经过经过AA，B.B.设直线的表达式为设直线的表达式为y=kx+b(k0).y=kx+b(k0).则则 解得解得直线直线l的表达式为的表达式为y=-2x+2.y=-2x+2.2mx12m2kb2kb0，k2b2.，(3)(3)抛物线对称轴为抛物线对称轴为x=1x=1，抛物线在抛物线在2x32x3这一段与在这一段与在-1x-1x 00这一段关于对称轴对称，又直线这一
13、段关于对称轴对称，又直线l与直线与直线ABAB关于对称轴对称，关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在结合图象可以观察到抛物线在-2x-1-2x-1这一段位于直线这一段位于直线l的上的上方，在方，在-1 x0-1 x0这一段位于直线这一段位于直线l的下方的下方.抛物线与直线抛物线与直线l的交的交点横坐标为点横坐标为-1-1；当当x=-1x=-1时，时，y=-2y=-2(-1)+2=4(-1)+2=4，则抛物线过点，则抛物线过点(-1(-1，4).4).当当x=-1x=-1时，时，m+2m-2=4m+2m-2=4，m=2.m=2.抛物线的表达式为抛物线的表达式为y=2xy=2x2 2-4x-2
14、.-4x-2.【规律方法规律方法】二次函数的三种表达式二次函数的三种表达式1.1.一般式一般式y=axy=ax2 2+bx+c(a0).+bx+c(a0).2.2.顶点式顶点式y=a(x-m)y=a(x-m)2 2+n(a0)+n(a0)，其中，其中(m(m，n)n)为顶点坐标为顶点坐标.3.3.交点式交点式y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a0)(a0)，其中，其中(x(x1 1，0)0)，(x(x2 2，0)0)为抛为抛物线与物线与x x轴的交点轴的交点.一般已知三点坐标用一般式；已知顶点及另一个点坐标用顶点一般已知三点坐标用一般式；已知顶点及另一个点坐标用顶
15、点式；已知抛物线与式；已知抛物线与x x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式点式.【真题专练真题专练】1.(20131.(2013牡丹江中考牡丹江中考)如图，抛物线如图，抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c过点过点A(-4A(-4，-3)-3)，与，与y y轴交于点轴交于点B B，对称轴是，对称轴是x=-3x=-3，请回答下列问题：，请回答下列问题：(1)(1)求抛物线的表达式求抛物线的表达式.(2)(2)若和若和x x轴平行的直线与抛物线交于轴平行的直线与抛物线交于C C，D D两点，点两点，点C C在对称轴左侧，且在对称轴左侧，且CD=8CD
16、=8，求求BCDBCD的面积的面积.注：抛物线注：抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的对称轴是的对称轴是 .bx2a【解析解析】(1)(1)对称轴是对称轴是 ，b=6.b=6.又又抛物线抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c过点过点A(-4A(-4，-3)-3)，(-4)(-4)2 2+6+6(-4)+c=-3(-4)+c=-3，解得，解得c=5.c=5.抛物线的表达式为抛物线的表达式为y=xy=x2 2+6x+5.+6x+5.bx32(2)(2)和和x x轴平行的直线与抛物线交于轴平行的直线与抛物线交于C C，D D两点，点两点，点C C在对称在对称轴左侧
17、，且轴左侧，且CD=8CD=8，点点C C的横坐标为的横坐标为-7-7，点点C C的纵坐标为的纵坐标为y=(-7)y=(-7)2 2+6+6(-7)+5=12.(-7)+5=12.又又抛物线与抛物线与y y轴交于点轴交于点B(0B(0，5)5)，CDCD边上的高为边上的高为12-5=712-5=7，S SBCDBCD=8 87=28.7=28.12【知识拓展知识拓展】二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称.【例例3 3】(2013(2013牡丹江中考牡丹江中考)抛物线抛物线y=ax
18、y=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0+bx+c0的解的解集是集是()A.x2A.x-3 B.x-3C.-3x1C.-3x1 D.x-3 D.x1x1热点考向四热点考向四 二次函数与方程或不等式二次函数与方程或不等式【解析解析】选选C.C.观察图象，可知当观察图象，可知当-3x1-3x0y0，即，即axax2 2+bx+c0+bx+c0，关于关于x x的不等式的不等式axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集是的解集是-3x1.-3x0(+bx+c0(或或axax2 2+bx+c0)+bx+c0.a0时，时，y0y0取取两边，两边，y0y0bc02a-3c02a-3c02a+b0a
19、xax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个解有两个解x x1 1，x x2 2，x x1 100，x x2 200a+b+c0当当x1x1时，时，y y随随x x增大而减小增大而减小A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5【解析解析】选选B.B.开口向上得开口向上得a0a0，对称轴在，对称轴在y y轴右侧得轴右侧得b0b0，图象，图象交交y y轴负半轴得轴负半轴得c0c0，可知正确，错误；由对称轴，可知正确，错误；由对称轴x=1x=1可知正确；函数图象与可知正确；函数图象与x x轴有两个交点可知正确；由图象轴有两个交点可知正确；由图象可知错误可知错误.b2a命题新视角命题新视角 二
20、次函数图象的平移二次函数图象的平移【例例】如图，抛物线如图，抛物线y=xy=x2 2+bx+bx+与与y y轴相交轴相交于点于点A A，与过点，与过点A A平行于平行于x x轴的直线相交于轴的直线相交于点点B(B(点点B B在第一象限在第一象限).).抛物线的顶点抛物线的顶点C C在在直线直线OBOB上，对称轴与上，对称轴与x x轴相交于点轴相交于点D.D.平移平移抛物线，使其经过点抛物线，使其经过点A A，D D，则平移后的，则平移后的抛物线的表达式为抛物线的表达式为.92【审题视点审题视点】创创新新点点二次函数与几何变换二次函数与几何变换切切入入点点(1)(1)由已知得到由已知得到C C为
21、为OBOB中点，可得中点，可得C C点坐标点坐标 ，代入原表达式求，代入原表达式求b b值，得值，得D D点坐标点坐标(2)(2)由平移可知由平移可知a a不变，又不变，又图象过图象过A A点，所以点，所以c=c=，可设平移后的表达式为，可设平移后的表达式为y=xy=x2 2+kx+kx+(3)(3)利用利用D D点坐标代入平移后的表达式求点坐标代入平移后的表达式求k k值值b 9)2 4(，9292【自主解答自主解答】CC在对称轴上，在对称轴上，A A，B B关于对称轴对称，关于对称轴对称，C C是是OBOB的中点，的中点，C C点坐标为点坐标为 ，把，把C C点坐标代入点坐标代入y=xy=
22、x2 2+bx+bx+，得得 ，解得，解得b=3(b=3(舍去舍去)或或b=-3b=-3，所以，所以D D点坐点坐标为标为 .设平移后的抛物线的表达式为设平移后的抛物线的表达式为y=xy=x2 2+kx+kx+，将，将D D点坐标代入点坐标代入y=xy=x2 2+kx+kx+，解得，解得k=k=，故平移后的抛物线的表达式为，故平移后的抛物线的表达式为y=xy=x2 2-x+.-x+.答案：答案：y=xy=x2 2-x+-x+b 9()2 4，9229bb9)b(4222()3(0)2，92929292929292【规律方法规律方法】解决抛物线平移的两种方法解决抛物线平移的两种方法1.1.代数法
23、：抛物线的平移遵循代数法：抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减左加右减，上加下减”的原则，的原则，据此，可以直接由表达式中常数的加或减求出变化后的表达式据此，可以直接由表达式中常数的加或减求出变化后的表达式.2.2.几何法：通过画图的方法，根据图中顶点坐标的变化，写出几何法：通过画图的方法，根据图中顶点坐标的变化，写出变化后的表达式的顶点式变化后的表达式的顶点式.【真题专练真题专练】1.1.在同一平面直角坐标系内，将函数在同一平面直角坐标系内，将函数y=2xy=2x2 2+4x-3+4x-3的图象向右平的图象向右平移移2 2个单位，再向下平移个单位，再向下平移1 1个单位得到图象的顶点坐标是个
24、单位得到图象的顶点坐标是()A.(-3A.(-3，-6)-6)B.(1B.(1，-4)-4)C.(1C.(1，-6)-6)D.(-3D.(-3，-4)-4)【解析解析】选选C.y=2xC.y=2x2 2+4x-3=2(x+1)+4x-3=2(x+1)2 2-5-5，把，把y=2(x+1)y=2(x+1)2 2-5-5的图象向的图象向右平移右平移2 2个单位，再向下平移个单位，再向下平移1 1个单位，个单位，y=2(x+1-2)y=2(x+1-2)2 2-5-1=2(x-1)-5-1=2(x-1)2 2-6-6，平移后的图象的顶点坐标是平移后的图象的顶点坐标是(1(1，-6).-6).2.2.把
25、抛物线把抛物线y=-2xy=-2x2 2先向右平移先向右平移1 1个单位长度，再向上平移个单位长度，再向上平移2 2个单个单位长度后，所得函数的关系式为位长度后，所得函数的关系式为()A.y=-2(x+1)A.y=-2(x+1)2 2+2+2B.y=-2(x+1)B.y=-2(x+1)2 2-2-2C.y=-2(x-1)C.y=-2(x-1)2 2+2+2D.y=-2(x-1)D.y=-2(x-1)2 2-2-2【解析解析】选选C.C.把抛物线把抛物线y=-2xy=-2x2 2向右平移向右平移1 1个单位长度，得到抛个单位长度，得到抛物线的函数关系式为物线的函数关系式为y=-2(x-1)y=-
26、2(x-1)2 2，再向上平移，再向上平移2 2个单位长度，个单位长度，得到抛物线的函数关系式为得到抛物线的函数关系式为y=-2(x-1)y=-2(x-1)2 2+2.+2.3.3.下列二次函数的图象，不能通过函数下列二次函数的图象，不能通过函数y=3xy=3x2 2的图象平移得到的图象平移得到的是的是()A.y=3xA.y=3x2 2+2+2B.y=3(x-1)B.y=3(x-1)2 2C.y=3(x-1)C.y=3(x-1)2 2+2+2D.y=2xD.y=2x2 2【解析解析】选选D.D.函数函数y=3xy=3x2 2的图象平移后，二次项系数仍然是的图象平移后，二次项系数仍然是3 3，不
27、可能变为不可能变为2 2，故选，故选D.D.【方法技巧方法技巧】求一般式的抛物线平移后的表达式的方法求一般式的抛物线平移后的表达式的方法应先将抛物线用配方法化为顶点式，再按抛物线的平移规律：应先将抛物线用配方法化为顶点式，再按抛物线的平移规律：左右平移在括号里对横坐标左右平移在括号里对横坐标x x进行加减运算进行加减运算(左加右减左加右减)；上下；上下平移对常数进行加减运算平移对常数进行加减运算(上加下减上加下减).).【典例典例】(2013(2013黄石中考黄石中考)若关于若关于x x的函数的函数y=kxy=kx2 2+2x-1+2x-1与与x x轴仅轴仅有一个公共点，则实数有一个公共点，则
28、实数k k的值为的值为.【误区警示误区警示】错误错误分析分析 解题时只考虑二次函数与解题时只考虑二次函数与x x轴只有一个交点的情况轴只有一个交点的情况，忽略了当，忽略了当k=0k=0时，函数为一次函数与时，函数为一次函数与x x轴也只有轴也只有一个交点的情况一个交点的情况.正确正确解答解答 (1)(1)当当k=0k=0时，时，y=2x-1y=2x-1是一次函数，它的图象与是一次函数，它的图象与x x轴轴仅有一个交点，满足题意仅有一个交点，满足题意.(2)(2)当当k0k0时，时，y=kxy=kx2 2+2x-1+2x-1是二次函数，与是二次函数，与x x轴只轴只有一个交点，有一个交点，=b=b2 2-4ac=4+4k=0-4ac=4+4k=0，解得，解得k=-1k=-1；综上所述，综上所述，k k的值为的值为0 0或或-1.-1.答案：答案：0 0或或-1-1
