1、第一讲 集 合第一章第一章 集合集合与常用逻辑用语与常用逻辑用语考点帮必备知识通关考点1 集合的含义与表示考点2 集合间的基本关系考点3 集合的基本运算考法帮解题能力提升考法1 集合的含义与表示考法2 集合间的基本关系考法3 集合的基本运算高分帮 “双一流”名校冲刺提能力 数学探索数学探索 集合中的创新问题 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.集合的含 义与表示理解2020全国,T1 课程学习 考法1,3 逻辑推理数学运算2.集合间的基本关系理解2015重庆,T1课程学习考法2逻辑推理数学运算3.集合的基 本运算理解2020全国,T12020山东,T1课程学习考
2、法3逻辑推理数学运算 考情解读命题分析预测从近几年的高考情况来看,集合是高考必考内容,一般以选择题的形式出现,试题较为简单,属于送分题,主要考查考生的逻辑推理、数学运算等核心素养.命题热点为集合的基本运算,常结合不等式进行考查,如2020年全国卷第1题,考查了一元二次不等式的解法、集合的交运算.预计2022年高考命题热点变化不大,但应加强对集合中的创新问题的重视.考点1 集合的含义与表示考点2 集合间的基本关系考点3 集合的基本运算考点帮必备知识通关 考点1 集合的含义与表示元素与集合的含义一般地,把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫作集合.集合中元素的特征确定性、互异性、无序性.集合
3、的表示方法列举法、描述法和图示法.特定集合的记法正整数集N*或N+,自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R.元素与集合之间的关系“属于”或“不属于”,记为“”或“”.考点2 集合间的基本关系关系自然语言符号语言记法Venn图子集集合A中任意一个元素都在集合B中.xAxBAB或BA或真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中.AB,且x0B,x0AAB或BA集合相等集合A,B中的元素完全相同或集合A,B互为子集.AB,且BAA=B 考点2 集合间的基本关系规律总结 集合间的基本关系中必须熟记的3个结论1.空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集,即A,B(B
4、).2.任何一个集合都是它本身的子集,即AA.空集只有一个子集,即它本身.3.含有n个元素的集合有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.考点3 集合的基本运算运算符号语言Venn图运算性质交集AB=x|xA且xB(AB)A,(AB)B,AB=BA,AB=AAB,A=.并集AB=x|xA或xBA(AB),B(AB),AB=BA,AB=BAB,A=A.补集UA=x|xU且xAUU=,U=U,U(UA)=A,A(UA)=U,A(UA)=,U(AB)=(UA)(UB),U(AB)=(U A)(U B).考法1 集合的含义与表示考法2 集合间的基本关系
5、考法3 集合的基本运算考法帮解题能力提升 考法1 集合的含义与表示命题角度1集合中元素的“三性”示例1 福建高考,4分已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系a2,b=2,c0中有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.思维导引给什么得什么(i)a,b,c=0,1,2a,b,c分别为0,1,2中的某一个且不重复.(ii)中有且只有一个正确.求什么想什么求100a+10b+c,实质上需要求a,b,c的值.差什么找什么解决本题的突破口显然在条件(ii),即分三种情形,分别假设中有且只有一个成立,然后利用集合中元素的互异性进行分析.考法1 集合的含义与表示解析 可分下列三种情形:(1)若只
6、有正确,则a2,b2,c=0,推出a=b=1,与集合中元素的互异性相矛盾,所以只有正确是不可能的;(2)若只有正确,则b=2,a=2,c=0,与集合中元素的互异性相矛盾,所以只有正确是不可能的;(3)若只有正确,则c0,a=2,b2,推出b=0,c=1,满足集合中元素的互异性.所以100a+10b+c=1002+100+1=201.方法技巧集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性(即集合中不能出现相同的元素).考法1 集合的含义与表示命题角度2求集合中元素的个数示例2 2018全国卷,2,5分已知集合A=(x,
7、y)|x2+y23,xZ,yZ,则A中元素的个数为A.9B.8 C.5 D.4思维导引目标是什么确定A中元素个数.给什么得什么 考法1 集合的含义与表示 考法1 集合的含义与表示方法技巧 求集合中元素个数的步骤(1)确定集合中的元素是什么,是数、点还是其他;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据条件确定集合中的元素个数或利用数形结合思想求解,但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考法1 集合的含义与表示易错警示 当用描述法表示集合时,要注意集合中的元素表示的意义是什么.集合x|f(x)=0 x|f(x)0 x|y=f(x)y|y=f(x)(x,y)|y=f(x)代表元素方程f(x)=0
8、的根.不等式f(x)0的解.函数y=f(x)的自变量的取值.函数y=f(x)的函数值.函数y=f(x)图象上的点.考法2 集合间的基本关系示例3 (1)2021云南省部分学校统一检测已知集合A=-1,0,1,2,3,B=x|log2x1,则AB的子集的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4(2)2020南昌市三模设集合A=x|x-a|=1,B=-1,0,b(b0),若AB,则对应的实数对(a,b)有A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考法2 集合间的基本关系解析(1)因为log2x1=log22,所以0 x2,即B=x|00),所以当a-1=-1时,a=0,A=-1,1,则b=1;当a-1
9、=0时,a=1,A=0,2,则b=2.因为a+1a-1,所以不存在满足a-1=b且AB的实数对(a,b).综上,对应的实数对(a,b)为(0,1),(1,2),有2个.答案 (1)D (2)B 考法2 集合间的基本关系点评 解题时要思考两个问题:(1)两个集合中的元素分别是什么;(2)两个集合中元素之间的关系是什么.方法技巧1.子集个数的求解方法穷举法将集合的子集一一列举出来,从而得到子集的个数,适用于集合中元素个数较少的情况.公式法含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.考法2 集合间的基本关系2.判断集合之间关系的方法列举法根据题中限定条件把
10、集合中元素表示出来,然后比较集合中元素的异同,从而找出集合之间的关系.结构法从集合中元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进行判断.数轴法在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点值之间的大小关系,从而确定集合之间的关系.考法2 集合间的基本关系示例4(1)2021安徽四校联考已知集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若BA,则实数m的取值范围为.(2)若将(1)中“集合A=x|-2x5”改为“集合A=x|x5”,则实数m的取值范围为.考法2 集合间的基本关系 考法2 集合间的基本关系方法技巧 根据两集合间的关系求参数的方法(1)若集合元素是一一列举的,则依据
11、集合间的关系,转化为方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性;(2)若集合表示的是不等式的解集,则常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.易错警示 在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如已知集合A、非空集合B满足AB或AB,则有A=和A两种可能.考法3 集合的基本运算 示例5(1)2020山东,1,5分设集合A=x|1x3,B=x|2x4,则AB=A.x|2x3 B.x|2x3C.x|1x4 D.x|1x4(2)2020天津,1,5分设全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3,集合A=-1,0,1,2,B=-3,0,2,3,则A(UB)=A.-
12、3,3 B.0,2C.-1,1 D.-3,-2,-1,1,3(3)2019全国卷,1,5分已知集合M=x|-4x2,N=x|x2-x-60,则 MN=A.x|-4x3B.x|-4x-2C.x|-2x2D.x|2x3 考法3 集合的基本运算 解析(1)解法一由A=x|1x3,B=x|2x4,得AB=x|1x4.解法二因为1A,所以1AB.而选项A,B,D中的集合均没有元素1,故排 除A,B,D,选C.(2)解法一由题知UB=-2,-1,1,所以A(UB)=-1,1.解法二易知A(UB)中的元素不在集合B中,则排除选项A,B,D,选C.(3)解法一因为N=x|-2x3,M=x|-4x2,所以MN=
13、x|-2x2.解法二由(MN)M可排除A,D.由1M,1N,知1(MN),排除B,选C.答案(1)C(2)C(3)C 考法3 集合的基本运算方法技巧 求解集合的基本运算问题的步骤 考法3 集合的基本运算示例6 (1)设集合A=x|-1x2,B=x|xa,若AB,则a的取值范围是A.-12C.a-1 D.a-1(2)2017全国卷,2,5分设集合A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若AB=1,则B=A.1,-3 B.1,0C.1,3 D.1,5 考法3 集合的基本运算思维导引解析(1)因为AB,所以集合A,B有公共元素,在数轴上表示出集合A,B,如图1-1-2所示,易知a-1.图1-1-
14、2(2)因为AB=1,所以1B,所以1是方程x2-4x+m=0的根,所以1-4+m=0,m=3.由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以B=1,3.答案 (1)D(2)C 考法3 集合的基本运算注意 第(1)小题易忽视讨论区间端点值而致误.这里a不能取-1,因为当a=-1时,B=x|x-1,这时AB=,不符合题意.方法技巧 根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合的运算结果转化为参数所满足的方程(组)或不等式(组)问题求解;(2)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.高分帮“双一流”名校冲刺提能力 数学探索数学探索 集合中的创新问题数学探索 集合中的创新问题示例7 湖北高
15、考,5分已知集A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定义集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中元素的个数为A.77B.49C.45D.30解析 因为集合A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,所以集合A中有 5个元素(即5个点),即图1-1-3中圆内及圆上的整点.集合B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ中有25个元素(即25个点),即图1-1-3中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整点.集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B中的 图1-1-3 元素可看作图1-1-3中正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点,共77-4=45(个).答案 C数学探索 集合中的创新问题核心素养考查途径素养水平直观想象 利用直角坐标系画图可以形象直观地分析和解决问题.二逻辑推理 由A和B中的元素推断AB中的元素个数.二素养探源方法技巧 解决与集合有关的创新问题的思路以集合为背景的创新问题,常见的有新概念、新运算、新公式、新法则等,解题关键是把有关新定义的本质弄清楚,通过分析,明确要解决的问题,借助有关新定义并运用所学的集合有关性质解题.
