1、 1 八八年级上数学知识年级上数学知识清单清单 第第第第一一一一章章章章 勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理 1、内容内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即在直角三角形中，若即在直角三角形中，若,a b为直为直角边，角边，c为斜边为斜边，那么，那么222abc.（较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦）（较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦）2、应用勾股定理时，这个三角形必须是直角三角形必须是直角三角形，而且只能在同一直角三角形中，才能利用该定理，已知两边长求第三边边长.3、勾股定理的变形：在Rt ABC中，90,CABC的对边分别为
2、,a b c，则 222()()acbcbcb 222()()bcaca ca 22cab，22bca，22acb 4、遇到直角三角形中的线段求值问题时，首先想到勾股定理.其他三角形中求边长的值时，应添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，用勾股定理解决.5、折叠问题要灵活设未知数x，运用勾股定理求解.例：在Rt ABC中，90,5,13CBCAB，则_.AC 解析：在直角三角形中，由勾股定理可得：222ACBCAB 即222513AC 222135144AC 即12AC(负舍，因为边长是正数)注：一定要明确谁是直角边，谁是斜边，一定不要弄错。注：一定要明确谁是直角边，谁是斜边，一定不要弄错
3、。运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理.用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形通过割补割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 12 知识点一：勾股定理知识点一：勾股定理 已知直角三角形可以得到三边的关系已知直角三角形可以得到三边的关系 知识点二：勾股定理的验证知识点二：勾股定理的验证 2 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，即2214()2abbac，化简可得222abc 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方
4、形面积的和为221422Sabcabc，大正方形面积为 222()2Sabaabb 所以222abc.方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，两式相等化简得证.分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，且90C 三个半圆面积之间的关系为：123SSS 分别以直角三角形三边为直径向外作三个半圆，且90C 三个半圆面积之间的关系为：123SSS 阴影部分的面积S阴阴=123ABCABCSSSSS 分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，且90C 三个正方形面积之间的关系为：231SSS 法一 法二 知识点知识点三三：利用利用勾股定理勾股定理解决面积问题解决
5、面积问题 法一 3 分别以直角三角形三边为边向外作三个等边三角形（或等腰直角三角形或含30的直角三角形），且90C 三个等边三角形（或等腰直角三角形或含30的直角三角形）面积之间的关系为：231SSS 能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，中，,a b c为正整数为正整数时，称时，称,a b c为一组勾股数为一组勾股数.注：注：1、勾股数必须满足：（勾股数必须满足：（1）222abc；（2）必须是正整数，二者缺一不可）必须是正整数，二者缺一不可.2、勾股数同时扩大相同的倍数，所得新数仍是勾股数勾股数同时扩大相同的倍数，所得新数仍是勾股数.3、常见的勾股数有：常见的勾
6、股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41.4、用含字母的代数式表示勾股数用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1nn n（2,nn为正整数）；2221,22,221nnnnn（n为正整数）；2222,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数）1、内容内容：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形.若：在ABC中三边满足222abc，可以得到，可以得到三角形为直角三角形，且角三角形为直角三角形，且角 C 为直角为直角.在ABC中三边满足222acb，可
7、以得到，可以得到三角形为直角三角形，且角三角形为直角三角形，且角 B 为直角为直角.在ABC中三边满足222cba，可以得到，可以得到三角形为直角三角形，且角三角形为直角三角形，且角 A 为直角为直角.2、运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；知识点知识点四四：勾股数勾股数 知识点知识点五五：勾股定理：勾股定理的逆定理的逆定理 已知已知三角形三角形三边中有两边的平方和等于第三边的平方三边中有两边的平方和等于第三边的平方可以可以得到得到此三角形为直角三角形此三角形
8、为直角三角形 4 （3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形.3、两短边的平方和22ab与长边的平方2c进行比较：若222abc，则此三角形为直角三角形；若222abc，则此三角形为锐角三角形；若222abc，则此三角形为钝角三角形；4、勾股定理与勾股定理的逆定理 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体 通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决 例：判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：在ABC中，12,16,20ABBCAC；解：在ABC中，22222
9、220400,1216400ACABBC 222ABBCAC，所以ABC是直角三角形且90B 1、几何体表面最短距离最短距离问题：化曲面化曲面为平面为平面 思路是：将几何体表面展开，变为平面展开图中两点之间的最短距离，从中抽象出直角三角形，运用勾股定理勾股定理进行解题.常见的是（1）圆柱的展开圆柱的展开：情境一：蚂蚁在 A 点想吃 B 点的食物，沿表面爬行，它爬行的最短距离为多少？情境二：将一根绳子从 A 点出发绕圆柱一周到 B 点，则绳子的最短长度为多少？知识点知识点六六：勾股定理的应用勾股定理的应用 将圆柱展开，连接 A、B 两点，在直角三角形ABC 中求出 AB 的长度即为最短距离.将圆
10、柱展开，连接 A、B 两点，在直角三角形ABC 中求出 AB 的长度即为最短长度.5 （2）长方体的展开长方体的展开 情境：蚂蚁从 A 点沿长方体表面爬到 B 点，爬行的最短距离是多少？有 3 种情况：前面和上面：前面和右面：左面和上面：在直角三角形 ABC 中，用勾股定理分别求出 AB 的长，然后比较这 3 种情况中 AB 的值的大小，最小的 AB 的值即为最短距离.2、其他类型的实际问题：和最小与差最大和最小与差最大 和最小：和最小：（1）在直线l上取点 P，使得 AP+BP 的值最小（A，B 两点在直线l的同侧）（2）在直线l上取点 P，使得 AP+BP 的值最小（A，B 两点在直线l的
11、异侧）差最大：差最大：（1）在直线l上取点 P，使得APBP的值最大（A，B 两点在直线l的同侧）方法是：过 A（或 B）作点 A 关于直线l的对称点 A1，连接 A1B 交直线l于点 P，点 P 即为所求的点，即 AP+BP 最小值A1B 方法是：直接连接 AB 交直线l于点 P，点 P 即为所求的点，即 AP+BP 最小值AB 方法是：连接 AB 并延长交直线l于点 P，点 P即为所求的点，即APBP最大值AB 6 （2）在直线l上取点 P，使得APBP的值最大（A，B 两点在直线l的异侧）第第第第二二二二章章章章 实实实实数数数数 1、实数的分类实数的分类：有理数和无理数统称为实数：有理
12、数和无理数统称为实数 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无理数：无限不循环小数叫做无理数无限不循环小数叫做无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”，归纳起来有三类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有含有 的数的数，如3+8 等；（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等；1、相反数相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，即实数a的相反数为a.如果a与b
13、互为相反数，则有0ab，ab，反之亦成立.方法是：过 A（或 B）作点 A 关于直线l的对称点 A1，连接 A1B 并延长交直线l于点 P，点 P 即为所求的点，即APBP最大值11APBPAB 知识点一：实数的概念及分类 整数和分数统称为有理数 知识点二：实数的倒数，相反数和绝对值 7 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（0a）.零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若aa，则0a；若aa，则0a.3、倒数 如果a与b互为倒数，则有1ab，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和1.零没有倒数零没有倒数.4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.解题
14、时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用.5、无理数的估算：用夹逼法 1、算术平方根算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2xa，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.记作“a”，读作根号a.即xa.特别地，特别地，0 的算术平方根是的算术平方根是 0.性质：正数和零的算术平方根都只有一个正数和零的算术平方根都只有一个，负数没有算术平方根，负数没有算术平方根.2、平方根：平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即2xa，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）.记作“a”，读作“正、负根号a”.即xa.性质：性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互
15、为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.（2）0a 时，a表示a的算术平方根；a表示a的平方根.（3）因为负数没有平方根，所以被开方数0a.如3x中必有30 x 即3x.（4）)0()(2aaa，2,0,0a aaaa a 开平方：开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.0a 注意：a的双重非负性：a0 知识点三：算术平方根，平方根和立方根 例：因为239，所以9的算术平方根是3 例：因为2239,(3)9，所以9的平方根是3 8 3、立方根立方根:一般地，如果一个数x的立方等于a，即3xa，那么这个数x就叫做a的立方
16、根（或三次方根）.记作3a，读作“三次根号a”.即3xa 性质：性质：（1）一个正数一个正数只只有一个正的立方根；一个负数有一个正的立方根；一个负数只只有一个负的立方根；有一个负的立方根；零的立方根是零零的立方根是零.简记为：简记为：唯一性，同号性唯一性，同号性（2）33aa，33aa，3333(),()aaaa （3）当两个数相等时，这两个数的立方根也相等，反过来，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等.即若ab，则33ab；若33ab，则ab.（4）平方根a中的a的取值必须是非负数（即0a），而立方根3a中的a的取值为任何数，即正数，负数，零均可.1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，
17、正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较求差比较法法：设,a b是实数，,0baba,0baba baba0（3）求商比较法：求商比较法：设,a b是两正实数，;1;1;1babababababa（4）绝对值比较法：若,a b是两负实数，则baba，若,a b是两正实数，则abab.（5）平方法：设,a b是两负实数，则baba22，设,a b是两正实数，则22abab，例：因为3(2)8，所以8的立方根是2 知识点四：实数大小的比较
18、9 1、在实数范围内，正数和零统称为非负数.常见的非负数：（1）任意实数a的绝对值是非负数，即0a；（2）任意实数a的平方（偶次方）是非负数，即20a（20,nan为正整数）；（3）任意非负数a的算术平方根是非负数，即0(0)aa.2、非负数的性质（1）若两个非负数的和为若两个非负数的和为 0，则这两个数一定都为，则这两个数一定都为 0，常见以下几种形式：若220ab，则00ab；若0ab，则00ab；若0ab，则00ab.若20ab，则00ab；若20ab，则00ab；若0ab，则00ab.推广为n个非负数之和为 0，则这n个非负数一定都为 0.（2）非负数有最小值，最小值是 0.（3）有限
19、个非负数之和仍然是非负数.1、二次根式：二次根式：形如(0)a a 的式子叫做二次根式，其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数.注：（1）从形式上看，二次根式必须有二次根号，如5,1,xab等.（2）二次根式a中，被开方数a可以是一个具体的数字，也可以是代数式.（3）二次根式与算术平方根有着内在的联系，(0)a a 就表示a的算术平方根.（4）形如0b a 的式子表示b与a的乘积，当当b为带分数时，要写成假分数为带分数时，要写成假分数.2、在二次根式a中，要求字母a必须满足条件0a，即被开方数是非负的，所以，当0a 时，二次根式a有意义，当0a 时，二次根式a无意义.3、最简二次
20、根式最简二次根式满足两个条件满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开）被开知识点五：非负数的性质应用 知识点六：二次根式的概念与性质 10 方数不含能开得尽方的因数或因式方数不含能开得尽方的因数或因式.（如30 22,310a）化成最简二次根式的一般方法：（1）将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 如：84 2422 2，22(0,0)x yxyxyx y xy（2）化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化为假分数 如：1442232 313333333 若被开方数含有小数，应先将小数化为分数 如：99
21、33103 100.9101010101010（3）被开方数是多项式时要进行分解 如：32222222422(2)2()2()2aa baba aabba abaaba ab 4、同类二次根式：同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式个二次根式叫做同类二次根式.注：（1）同类二次根式类似于整式中的同类项，如2 3与5 34是同类二次根式.（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同，如1,8,182都是同类二次根式.（3）判断两个二次根式是否为同类二次根
22、式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同.1、二次根式的乘除：二次根式的乘除：(0,0)abab ab，（(0,0)a ba bab）)0,0(bababa （)0,0(bababa）知识点七：二次根式的运算 11 注：一定要注意式子中,a b满足的条件.2、二次根式的加减：二次根式的加减：实质就是合并同类二次根式实质就是合并同类二次根式：合并时，只需将根式外的因式，即系：合并时，只需将根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变数相加减，被开方数和根指数不变（如：213 22(1)2222）结果要最简结果要最简.但被开方数不同的二次根式不能合并，如23是最简结果，不能再合
23、并.3、分母有理化的方法分母有理化的方法（即化为最简二次根式）（即化为最简二次根式）（1）111(0)aaaaaaaa（2）(0,0)bbbaababaaaaa（3）1(0,0)()()ababababababab（运用平方差公式）4、平方差公式：22()()abab ab，22()()ab abab 完全平方公式：222()2ababab，222()2ababab 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分.如：（1）13的整数部分是_，小数部分是_.解：91316即3134 13的整数部分就是 3，小数部分就是133.（2）
24、619的整数部分是_，小数部分是_.解：161925即4195 19介于 4 与 5 之间，所以619的整数部分就是 1，小数部分就是6191519.知识点八：无理数小数部分的确定方法 12 第第第第三三三三章章章章 位位位位置置置置与与与与坐坐坐坐标标标标 1、在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个两个数据.2、确定位置的方法有：方位角和距离、行号和列号、经纬度、区域 1、平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，这样就建立了平面直角坐标系.水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向.2、象限：x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四
25、个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.3、点的坐标：对于坐标平面内的任意一点 A，过点 A 分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数,a b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对(,)a b叫做点A的坐标，记作(,)A a b.如图 知识点一：确定位置 知识点二：平面直角坐标系的有关概念 13 1、各象限内点的坐标的符号特征：点(,)P x y在第一象限，则有0,0 xy 点(,)P x y在第二象限，则有0,0 xy；点(,)P x y在第三象限，则有0,0 xy；点(,)P x y在第四象限，则有0,0 xy；2、坐标轴上点的坐标特征：点(,)P x
26、y在x轴上，则纵坐标等于零即0y 点(,)P x y在y轴上，则横坐标等于零即0 x 点(,)P x y是坐标原点，则横，纵坐标都等于零即0,0 xy 3、象限角的平分线上的点的坐标特征：第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等.第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.4、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等.若1122(,),(,),/A x yB xyABx轴，则12yy（注12xx）平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等.若1122(,),(,),/A x yB xyABy轴，则12xx（注12yy）5、点到坐标轴的距离：点到坐标轴的距离
27、：点(,)P x y，那么点P到x轴的距离为它纵坐标的绝对值，即y.点P到y轴的距离为它横坐标的绝对值，即x.点P到原点的距离为22xy.两点之间的距离：若111222(,),(,)P x yP xy，则 12,P P两点之间的距离为22121212()()PPxxyy 知识点三：点的坐标的有关性质 若(,)P a b在第一、三象限的角平分线上，则ab，反之成立 若(,)P a b在第二、四象限的角平分线上，则0ab（或ab），反之成立 14 6、点（图形）的对称：若(,)P x y与(,)A a b关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数.即,0 xa yb.若(,)P x y与(,)A
28、 a b关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同.即0,xayb.若(,)P x y与(,)A a b关于原点对称，则横坐标和纵坐标都互为相反数.即0,0 xayb.简记为：关于谁谁不变，关于原点都改变简记为：关于谁谁不变，关于原点都改变.补充：补充：点(,)P x y关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标为(,)y x.点(,)P x y关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标为(,)yx.7、中点坐标公式：若1122(,),(,)A x yB xy，且点(,)C a b为 AB 的中点，则有：121222xxayyb，即点 C 的坐标可写为1212(,)22xxyyC 例：已知(2,1)
29、,(3,4)AB，则它们中点坐标为23 1 4(,)22 即为1 5(,)2 2.第第第第四四四四章章章章 一一一一次次次次函函函函数数数数 1、函数的概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.注：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系注：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.2、函数的表示方法：图象法、列表法、解析式法（关系式法）.3、函数值：函数值是指自变量在其取值范围内取某个值时，函数与之对应的唯一确定的值.如果当xa时，yb，那么b叫做自变量的值为a时
30、的函数值.4、函数自变量的取值范围：（1）若函数为整式，则自变量的取值范围为全体实数（一切实数）.知识点一：函数 15 如：213yx，此时自变量x的取值为一切实数.（2）若函数为分式（即自变量在分母），则自变量的取值要使分母不等于 0.如：121yx，此时要求210 x 即12x 即自变量x的取值为12x.（3）若函数为开平方型（或开偶次方型），则自变量的取值要使被开方数大于等于 0.如：21yx，此时要求210 x 即12x 即自变量x的取值为12x.（4）若函数为()(0)yaxba型，则自变量的取值要使底数不等于 0.如：(21)yx，此时要求210 x 即12x 即自变量x的取值为1
31、2x.1、正比例函数：一般地，形如ykx（k是常数，0k）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.2、一次函数：一般地，形如ykxb（,k b是常数，0k）的函数，叫做x的一次函数，特别地，当一次函数ykxb中的0b 时，ykx，此时y是x的正比例函数.注：（1）正比例函数是特殊的一次函数：即正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一定要注意函数关系中的0k 和x的次数为 1 这两个条件.（3）判断一个函数是否为一次函数，就是判断它是否能化成(0)ykxb k的形式.（4）关于,x y的二元一次方程可以转化为一次函数.3、待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式
32、中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.（1）待定系数法求正比例函数解析式一般步骤（只需要一个条件）设函数解析式为(0)ykx k；把已知条件代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；解方程，求出k的值；将求得的k值，代入解析式即可.（2）待定系数法求一次函数解析式一般步骤（需要两个条件）知识点二：一次函数的有关概念 16 设函数解析式为(0)ykxb k；把已知条件代入解析式，得到关于系数,k b的二元一次方程组；解方程组，求出,k b的值；将求得的,k b值，代入解析式即可.例：已知一次函数，当4x 时，15y；当6x 时，5y ，求一次函数的解析式.解：由题设一次函数的解
33、析式为(0)ykxb k 将已知条件当4x 时，15y；当6x 时，5y 分别代入解析式，得41565kbkb，解得27kb，所以一次函数的解析式为：27yx.（3）其他问题：其他问题：若若y与与x成正比例，则可设成正比例，则可设ykx.（y与与x可以表示任意整式）可以表示任意整式）如：如：若若5y与与34x成正比例，则可设成正比例，则可设5(34)ykx.若若y是是x的一次函数，则可设的一次函数，则可设ykxb.（y与与x可以表示任意整式）可以表示任意整式）如：若如：若5y是是34x的一次函数，则可设的一次函数，则可设5(34)ykxb.1、画函数图象的一般步骤：列表，描点，连线.2、正比例
34、函数的图象与性质正比例函数的图象与性质 正比例函数(0)ykx k的图象是经过原点(0,0)的一条直线.因两点确定一条直线，故画正比例函数图象只需取一点(1,)k，然后过原点和这一点画直线.知识点三：一次函数的图象与性质 17 3、一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质 一次函数(0)ykxb k的图象是一条直线，通常也称为直线ykxb.一次函数 0ykxb k k，b符号 0k 0k 0b 0b 0b 0b 0b 0b 图象 象限 一、二、三象限 一、三、四象限 一、三象限 一、二、四象限 二、三、四象限 二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 k越大，图象越陡，越靠近
35、y轴 注：（1）直线ykxb的位置是由k和b的符号决定的，其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是呈下降趋势；b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴上还是在y轴的负半轴上，还是原点.k和b综合起来决定直线ykxb在直角坐标系中的位置.（2）y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小，只取决于k的符号，与b无关.（3）直线ykxb与x轴的交点坐标为(,0)bk，与y轴的交点坐标为(0,)b.则直线ykxb与坐标轴围成的三角形的面积2122bbSbkk.4、直线、直线11bxky（01k）与）与22bxky（02k）的位置关系）的位置关系（1）两直线平行21kk 且21bb （2）两直线相交21k
36、k （3）两直线重合21kk 且21bb （4）两直线垂直121kk 5、函数图象的平移函数图象的平移 ykxb ykxbm ykxb ykxbm OxyyxOOxyyxOOxyyxO向上平移 m 个单位 向下平移 m 个单位 简记为：简记为：上加下减上加下减 18 ykxb ()yk xmb ykxb ()yk xmb 1、一次函数与一元一次方程（1）任何一个一元一次方程都可以转化为0kxb的形式.（2）从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为 0；从函数图象的角度考虑，这个方程的解就是直线ykxb与x轴的交点的横坐标.如：直线26yx与x轴的交点为(3,0)，所以方程26
37、0 x的解就是3x .直线ykxb与x轴的交点为(2,0)，所以方程0kxb的解就是2x.2、一次函数与二元一次方程组 二元一次方程组的解二元一次方程组的解可以看成可以看成是两是两条直线条直线的交点坐标的交点坐标.两条直线的交点坐标是这两条直线组成的二元一次方程组的解两条直线的交点坐标是这两条直线组成的二元一次方程组的解.3、一次函数与不等式 当一次函数中0y（0y）时，它就变成了不等式0kxb（或0kxb）0kxb的解集是一次函数的函数值为正值时自变量的取值范围，对应的函数图象在x轴的上方；0kxb的解集是一次函数的函数值为负值时自变量的取值范围，对应的函数图象在x轴的下方.例：一次函数1y
38、kx与2yxa的图象如图所示，则（1）kxxa的解为_.（2）kxxa的解集为_.（3）kxxa的解集为_.注：（1）12yy即1y的函数图象在2y的函数图象的上方；向左平移 m 个单位 向右平移 m 个单位 简记为：左简记为：左加加右右减减 知识点四：一次函数与方程（组）、不等式 1x 1x 1x 19 （2）12yy的解即1y的函数图象与2y的函数图象相交时，自变量x的值.（3）12yy即1y的函数图象在2y的函数图象的下方.第第第第五五五五章章章章 二二二二元元元元一一一一次次次次方方方方程程程程组组组组 1、二元一次方程二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的
39、方程叫做二元一次方程.注：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数.（2）“含未知数的项的次数是 1”是指含有未知数的项的次数是 1，如xy次数是 2，所以方程10 xy 不是二元一次方程.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程11yx的左边不是整式，所以它不是二元一次方程.（11xx的次数为1）2、二元一次方程组二元一次方程组：共含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是 1 的两个一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.注：（1）在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量.（2）特别地13xyy也是二元一次方程组.3、二元一次方程（组）的解（1
40、）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.一般情况下，二元一次方程有无数个解.（易考求正整数解的情况）（2）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的，但也有无数多个解或无解的情况.直线直线11bxky（01k）与）与22bxky（02k）当当1212,kk bb时，两直线平行，此时方程组时，两直线平行，此时方程组1122yk xbyk xb无解；无解；知识点一：二元一次方程组的有关概念 20 当当1212,kk bb时，两直线重合，此时方程组时，两直线重合，此时
41、方程组1122yk xbyk xb有无数个解；有无数个解；当当12kk时，两直线相交，此时方程组时，两直线相交，此时方程组1122yk xbyk xb有唯一解；有唯一解；1、代入消元法代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.一般步骤：（1）变形变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.（2）代入代
42、入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程.（3）解方程解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值.（4）求值求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.例：用代入法解二元一次方程组231951xyxy 解：由得，1 5xy 将代入得 2(1 5)319yy，解这个方程得3y 将3y 代入得14x 所以原方程组的解是143xy 2、加减加减消元消元法：法：当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数两个方程
43、的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数.一般步骤：（1）变形变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数.（2）加减加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.（3）解方程解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值.（4）求值求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.知识点二：解二元一次方程组 21 例：用加减消元法解二元一次方程组897317374xyxy 解：3得，3 173 374 3xy 即519222xy +得 59295x，解方程得5x 将5x 代入，得8 597
44、3y，解得113y 所以原方程组的解是5113xy 3、整体消元法：整体消元法：根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解一整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解.整体代入：如解二元一次方程组 9()18523()1832xyxxy 由，得10 xy 将代入可得出方程组的解.整体加减：如解二元一次方程组 989914999815xyxy 将得，1xy 即1yx 将得，19719729xy即29197
45、yx 将，组成方程组，129197yxyx，解此方程组即得原方程组的解.1、三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程.2、三元一次方程组：共含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的三个一次方程组成的方程组.3、三元一次方程的解：一般地，使三元一次方程两边的值相等的三个未知数的值，叫做三 知识点三：三元一次方程组 针对各项系数比较大的二元一次方程组，一般先观察然后进行整体加减，可使方程组变得简单，从而求出方程组的解.22 元一次方程的解.4、三元一次方程组的解：三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解.5、解三元一次方程组：方法：代入消
46、元法和加减消元法.1、解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）找相等关系；（4）列方程组；（5）解方程组；（6）答 2、解应用题的常见类型：（1）航速问题：顺流（风）速度静水（无风）中的速度水（风）速；逆流（风）速度静水（无风）中的速度水（风）速.（2）增长率问题：增长后的量原量（1增长率）减少后的量原量（1减少率）（3）浓度问题：溶液质量浓度溶质质量（4）利润问题：利润售价进价 利润率（售价进价）进价100%（5）路程问题：当两列有长度的车（火车等）相遇错车时，路程和两列车长度之和；当两列有长度的车（火车等）追及超车时，路程差两列车长度之和.两车错车所用的时间为：（甲车身长乙车
47、身长）（甲车速度乙车速度）两车超车所用的时间为：（甲车身长乙车身长）（甲车速度乙车速度）二元一次方程组的解就是两个一次函数图象相交的交点坐标.知识点四：列二元一次方程组解应用题 知识点五：二元一次方程组与一次函数 23 如：方程组yaxbymxn的解是函数yaxb与函数ymxn的交点的坐标.第第第第六六六六章章章章 数数数数据据据据的的的的分分分分析析析析 1、平均数：一般地，对于n个数123,nx x xx，我们把121()nxxxn叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作“x”，读作“x拔”.即：121()nxxxxn 特别地：数据123,nx x xx的平均数为x，则123,nxa x
48、a xaxa的平均数为xa 则123,nkx kx kxkx的平均数为kx 2、加权平均数：当一组数据中有数据重复出现时，如在n个数据中，1x出现1f次，2x出现2f次，kx出现kf次（这里12.kfffn），那么这n个数据的平均数可表示为1 122kkx fx fx fn，这个平均数也叫做加权平均数，其中12,.,kfff分别叫做123,kx xxx的权.或者，若n个数123,nx x xx的权分别是123,nw w ww，则1 12 212nnnx wx wx wwww叫做这n个数的加权平均数.注：若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，即算术平均数是特殊的加权平均数.3、中位数：
49、将一组数据按照大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数将一组数据按照大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数的中位数.注：（1）一组数据的中位数不一定出现在这组数据中；（2）一组数据的中位数是唯一的.4、众数：一组数据中出现次数最多的那个数据就是众数一组数据中出现次数最多的那个数据就是众数.注：一组数据的众数不唯一 知识点一：数据的集中趋势 24 5、平均数，中位数，众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量
50、.1、极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做极差，即极差最大值最小值.极差反映了这组数据的变化范围.2、方差：在一组数据123,nx x xx中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，通常用2s表示，即 2222121()()()nsxxxxxxn 也可以这样计算：22222121()nsxxxnxn 注：（1）方差的单位是原数据单位的平方，在具体使用时可不标注单位.（2）一组数据123,nx x xx的方差为2s 则 123,nxb xb xbxb的方差为2s；123,nax ax axax的方差为22a s 123,naxb axb axbaxb的方差为22a s
