1、第一章 有理数1.1正数和负数1. 正数： 大于0的数.负数：在正数前面加上 “-”（负号）的数或小于0的数.2.0既不是正数，也不是负数.相反意义的量：一是它们的意义相反，如向东与向西，收入与支出；二是它们都是数量，而且是同类的量1.2.1有理数1.整数：正整数、0、负整数统称为整数.2.分数：正分数、0、负分数统称为分数，或者无限循环小数和有限小数统称为分数，注意：无限不循环小数不是分数.3.有理数：整数和分数统称为有理数.4.有理数的分类：有理数分为整数和分数，整数分为正整数、0和负整数，分数分为正分数和负分数。 1.2.2数轴1.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线.2.一般地
2、，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；则表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.1.2.3相反数1.相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数.2.相反数的几何意义：一对相反数所表示的点在数轴上分别位于原点的左右两边，且到原点的距离相等.3.一般地，a和-a互为相反数，0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数.4.互为相反数的两个数相加为0，a与b互为相反数 a+b=0（或a=-b）.1.2.4绝对值1.绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.2.绝对值的代数意义
3、：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0.的绝对值是0.3.非负性：任何一个有理数的绝对值都是非负数.4.有理数的大小比较：数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.法则法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数.两个负数，绝对值大的反而小.1.3.1有理数的加法1.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数.2.有理数的加法运算律（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变：ab
4、ba.（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变：（ab）ca(bc).1.3.2有理数的减法1.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数：aba（b）.2.大数减小数的差为正，小数减大数的差为负，相等的两数相减的差为0.3.有理数加减混合运算.4.数轴上A，B两点所表示的数为a，b，则两点间的距离.1.4.1有理数的乘法1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.2.任何数与1相乘仍得原数，任何数与1相乘得原数的相反数.3.乘积是1的两个数互为倒数.若两个数互为倒数，则其中的一个数叫做另一个数的倒数.
5、4.0没有倒数，一个数的倒数是它本身的数有两个，为1和1.5.几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.简记为“奇负偶正，绝对值相乘”.6.几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.如果积为0，那么至少有一个因数为0.7.有理数的乘法运算律(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：abba.(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等：（ab）ca（bc）.(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加：a（bc）abac.1.4.2有理数的除法1.除以一个不等于0的数，
6、等于乘这个数的倒数.2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.3.有理数的加减乘除混合运算顺序：先乘除，后加减.有括号先算括号里面的.在同级运算中，按照从左到右的顺序来计算.1.5有理数的乘方1.乘方的定义：求n个相同因数的积的运算.一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作，读作的n次方.2.乘方的意义：乘方的结果叫做幂.在中，叫做底数，n叫做指数，当看作的n次方的结果时，也可读作的n次幂.3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写.4.有理数乘方运算的符号规律：负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.正数额任何次幂都是正数，0的任何
7、正整数次幂都是0.5.有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.1.5.2 科学计数法我们可以把大于10的数记为a10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数（1a10），n是正整数，这种记数的方法叫做科学记数法。 如： 567000000=5.67108 读作“5.67乘10的8次方（幂）”。对于小于-10的数也可以类似科学记数法表示。例如：-567000000=-5.67100000000=-5.67108.例：用科学记数法表示下列数：（1） 3 870 000 000 ； （2）3 000 亿； （
8、3）-287.6解：（1）3 870 000 000 =3.87109（2）3 000 亿=3 000 000 000 00=31011（3）-287.6=-2.876102注意：带单位的数据先展开单位然后再用科学记数法用科学记数法表示一个n位整数时，10的指数是n-11.5.3 近似数近似数的概念：.我们得不到与实际完全相符的数，而是通过测量、估算得到的数都是近似数。例如，姚明身高是2.26米。.有时我们为了叙述、书写方便，通过四舍五入得到的数也是近似数。例如，2022年全国高考报名共1193万人2.1.整式2.1.1 用字母表示数概念：（1）.用含有字母的式子表示数量、数量关系叫做用字母表
9、示数。（2）.用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来。注意：数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面。字母和字母相乘，可省略乘号或用“”表示，一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写。后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来。除法运算写成分数形式，即除号改为分数线。带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。当“1”与任何字母相乘时，”1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号。例.用含有字母的式子表示下列数量（1）练习簿的单价为a元，100本练习簿的总价是100a元。（2）练习簿的单价为b元，a本练习簿的总价是ab元。（
10、3）练习簿的单价为0.5元，圆珠笔的单价是3.2元，买a本练习簿和b支笔的总价是（0.5a+3.2b）元。上面各式的运算中数字和（4）小明的家离学校s千米，小明骑车上学，若每小时行10千米，则需_时。（5）若每斤苹果31/3元，则买m斤苹果需 m 元。（6）姚明个子高，经测量他通过跨一步的距离1米，若取向前为正，向后为负，那么姚明向前跨步为a米，向后跨步为-a米。单项式：字母之间，字母与字母之间的运算都是乘法运算（都是表示数字与字母、字母与字母的积）。这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。例如：2022，x，等都是单项式。判断单项式的方法：1.单独的一个数或一个字母也是单项式
11、。2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算。3.单项式数字因数与字母可能一个或多个。4.可以含有除以数的运算（可以看成乘这个数的倒数），不能含有除以字母的运算。单项式的相关概念：单项式中的数字因数称为这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。单项式系数与次数注意事项1：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如2x4的系数是2；ab/3的系数是1/3，2.7m的系数是2.7。（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如（2xy）的系数是2（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或1，不能认为是0，如xy的系数是1；xy
12、的系数是1。（4）表示圆周率的，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2xy的系数就是2单项式系数与次数注意事项2：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式2x4y3z的次数是字母x,y,z的指数和，即431=8，而不是7次，应注意字母Z的指数是1而不是0.（2）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。（3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。（4）单项式通常根据实验室的次数进行命名。如6x是一次单项式，2xyz是三
13、次单项式。2.1.2多项式1.几个单项式的和叫做多项式；2.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；3.不含字母的项叫做常数项；4.多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数。5.单项式与多项式统称为整式。 在确定多项式的项和次数时应注意：1.多项式的各项应包括它前面的符号；2.多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号；3.要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项（单项式）的次数，然后找次数最高的；4.一个多项式的最高次项可以不唯一。2.2整式的加减2.2.1 合并同类项同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。合并同类
14、项概念：因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并，例如： 4x+2x+7+3x-8x-2=4x-8x+2x+3x+7-2 （交换律）=（4x-8x）+（2x+3x）+（ 7-2 ） （结合律）=（4-8）x+（2+3）x+（7-2） （分配律）=-4x+5x+5通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列。1.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。2.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。例：下列各题中的两项是不是同类项？为什么？（1）4abc与4
15、ac； （2）mn与-mn；（3）0.2xy与0.2xy；（4）-12与120；（5）3xy与-3xy； （6）3mn与-nm；（7）4xyz与9xyz； （8）6与x；（9）ab与xy； （10）2与3。解：（1）（3）（7）（8）（9）不是同类项，（2）（4）（5）（6）（10）是同类项。同类项的判别方法（1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；（2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可。（3）不要忘记几个单独的=数也是同类项。合并同类项的步骤：1、找出同类项用不同的线标记出各组同类项，注意每一项的符号
16、。2、把同类项移在一起用括号将同类项结合，括号间用加号连接。3.合并同类项系数相加，字母及字母的指数不变。2.2.2 去括号去括号法则：括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同。括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。括号前是正号，去掉括号后，每一项都不变号去括号秘诀：负变正不变，一个都不少。1.当括号前面有数字因数时，可应用乘法分配律将这个数字因数乘以括号内的每一项，切勿漏乘。2.当含有多重括号时，可以由内向外逐层去括号，也可由外向内逐层去括号。若有同类项可随时合并，可简化运算。3.括号前的负号也可以看作因数“-1“去乘括
17、号内每一项。添括号添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号整式的加减过程归纳：第三章 一元一次方程3.1 从算式到方程1、方程：含有未知数的等式叫做方程2、方程的解：求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解 3、一元一次方程只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程4、等式的性质性质（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc性质（2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数结果仍相等。 如果a=b，那么acbc
18、如果a=b（c0），那么 5.解一元一次方程的解步骤：1.解方程就是求出使方程左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.2.判断一个数值是不是方程的解的步骤：（1）将数值代入方程左边进行计算，（2）将数值代入方程右边进行计算，（3）若左边右边，则是方程的解，反之，则不是6.解一元一次方程：合并同类项与移项把一元一次方程转化为x=a的形式 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边叫做移项移项：把等式一边的某项变号后移到另一边叫做移项合并同类项：把多项式中得同类项合并成一项.系数化为1 : xa 7.解一元一次方程：去括号和去分母去括号：同号得正，异号得负如果括号外得因数是正数，去括号后原括号内
19、得各项得符号与原来的符号相同；如果括号外得因数是负数，去括号后原括号内得各项得符号与原来的符号相反；解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等。问题一：积分问题球赛总得分胜场得分+平场得分知识竞赛得分对题得分+错题得分+不改题得分问题二：数字问题若一个三位数的百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,且abc为整数，1a9,0b9,0c9，则这三个数表示为100a10bc偶数常表示为2n,三个连续偶数表示为2n2、2n、2n2.奇数常表示为2nl或2n1,三
20、个连续奇数表示为2nl、2n1、2n3问题三：和差倍分问题典型语句：“之和”、“之差”、 “多 少”、 “几倍 ”、 “几分之几”等核心思路：找出题干关键信息，理清各量之间的关系，四则运算等量关系一般步骤：1、审题：根据题干信息，找到未知量之间的关系及存在的等量关系2、设元：选择最怡当的量设为未知数，并用未知数耒示相关量3、列式：利用未知量之间有在的和差倍分关系，找到等量关系列方程4、解答：解方程，写答语问题四：行程问题三个基本量及其关系为：路程=速度时间时间=路程速度速度=路程时间基本类型：一、直线道路：相遇问题：速度和相遇时间路程和 快行距慢行距原距追及问题：速度差追及时间=路程差 快行距
21、慢行距原距二、环形跑道：同同退及问题：路程差跑道一圈长度反同相遇问题：路程和跑道一圈长度三、流水行船：顺水（风）行驶速度船速水/风速逆水（风）行驶速度船速水/风速抓住两码头间距离不变，水流速和船速不变的特点考虑相等关系四、火车过桥：通过：行驶路程为桥/隧道长度完全通过：行驶路程为桥/隧道长度车长问题五：配套问题问题六：工程问题三要素：工作总量、工作效率、工作时间等量关系：一项工作分若干阶段完成，各阶段工作量之和等于总工作量解题关键：工作量已知：工作总量工作放率工作时间工作量未知：设一项工作的总工作量为单位1，表示工作效率人均工作效率：平均每人单位时间完成的工作量若一个人单独改用a小时完成，则工
22、作效率是，若m个人用n小时完成，则人均工作效率为 ，a个人b小时完成的工作量为问题七：销售盈亏问题基础概念：进价：即商品的进货价格，也叫成本标价：商品出售时标注的价格售价：商品实际出售的价格核心公式：售价标价折扣利润售价进价利润率利润/进价100%售价进价(1利润率)售价进价(1亏损率)问题八：方案选择问题对于不同的计费方式下方案选择的问题先设未知数表示消费量及各个计费方式下的费用再以费用相等的情况列出方程并解出未知数的值，这个值就是分类讨论的分界最后在每个范围内比较费用的大小关系，选择出特合题意的最优解方案第四章 几何图形初步1.几何图形：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形，几何图形由
23、点、线、面组成。分类：几何图形包括立体图形和平面图形2.立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形， 如长方体，圆柱，圆锥，球等.平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形常见的立体图形有两种分类方法1、点，线，面，体（1）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体。（2）体由面围成，面有平面和曲面；面与面相交成线，线有直线和曲线；线与线相交成点。经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线。2、表示直线的方法用一个小写字母表示，如直线m；用两个大写字母表示，注：这两个大写字母可交换
24、顺序。3、表示射线的方法用一个小写字母表示，如射线l；用两个大写字母表示，注：这两个大写字母不可交换顺序，端点O必须写在前面。4、表示线段的方法用一个小写字母表示，如线段a；用两个大写字母表示，注：这两个大写字母可交换顺序。5、作一条线段等于已知线段”的两种方法法一：用圆规作一条线段等于已知线段例如：下图所示，用圆规在射线 AC 上截取 ABa法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段例如：可以先量出线段 a 的长度，再画一条等于这个长度的线段6、线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短简记为：两点之间，线段最短。如图所示，在 A，B 两点所连的线中，线段 AB 的长度是最短的7、线段的中点：把一条
25、线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如图所示，点 C 是线段 AB 的中点，则 AC=CB=AB，或 AB2AC2BC8、角：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角。角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。9、角的表示方法：用三个大写字母表示，如：AOB或BOA；（注意必须把顶点字母放在中间）或用一个大写字母表示，如：O；用一个数字表示，如1；（3）用小写希腊字母表示，如（用数字或希腊字母表示角时，一定要在图形中用角弧标出） 10、角的度量工具：量角器1周角=_360_；1平角=_180_1=_60_；1=_60_。11、角的比较方法: 度量法；叠合法.12、角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线应用格式：OC是AOB的角平分线，AOC=BOC=AOB AOB=2BOC=2AOC13、余角的概念：如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角（简称为两个角互余）。14、补角的概念：如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角（简称为两个角互补）。
