1、第四章 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解 的存在 1.了解函数的零点与方程的根的关系. 2.会判断函数零点的存在性. 3.初步理解函数与方程思想. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 函数的零点 定义：函数yf(x)的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点. 思考 函数的零点是点吗？ 答 函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因 此函数的零点不是点，是方程f(x)0的解，即函数的零点是一个实数. 答案 横坐标 知识点二 函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系 方程f(x)0有实数
2、根函数yf(x)的图像与 有交点函数yf(x) . 知识点三 函数零点存在性的判断 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的 函数值符号相反，即 ，则在区间(a，b)内，函数yf(x) 零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解. x轴 有 零点 答案 f(a) f(b)0 至少 有一个 返回 题型探究 重点突破 题型一 求函数的零点 例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)x27x6； 解析答案 解 解方程f(x)x27x60， 得x1或x6，所以函数的零点是1，6. (2)f(x)1log2(x3)； 解 解方程f(x
3、)1log2(x3)0，得x1， 所以函数的零点是1. (3)f(x)2x13； 解析答案 解 解方程f(x)2x130，得xlog26， 所以函数的零点是log26. 所以函数的零点为6. 反思与感悟 (4)f(x)x 24x12 x2 . 解 解方程 f(x)x 24x12 x2 0，得 x6， 跟踪训练1 函数yx1的零点是( ) A.(1,0) B.0 C.1 D.不存在 解析答案 解析 令yx10，得x1，故函数yx1的零点为1. C 题型二 判断函数零点所在区间 例2 已知函数f(x)x3x1仅有一个正零点，则此零点所在的区间 是( ) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2
4、) D.(0,1) 解析 f(0)10，f(4) 590. f(1) f(2)0)的区间根问题 例4 关于x的方程x22ax40的两根均大于1，求实数a的取值范围. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练4 已知函数f(x)ax22ax1有两个零点x1，x2，且x1(0,1)， x2(4，2)，求a的取值范围. 解 f(x)ax22ax1的图像是连续的且两点x1，x2满足x2(4，2)， x1(0,1). f0 f103a10， f4 f208a10 a1 3. a 的取值范围为 a1 3. 解析答案 数形结合思想 解题思想方法 例5 已知关于x的方程|x24x3|a0有三个不相等的实数根，则实 数a
5、的值是_. 解析 如图所示，由图像知直线y1与y|x24x3|的图像有三个交点， 反思与感悟 则方程|x24x3|1有三个不相等的实数根，因此a1. 1 跟踪训练5 当m为何值时，方程x24|x|5m有4个互不相等的实数根？ 解 令f(x)x24|x|5，作出其图像，如图所示， 解析答案 由图像可知，当1m5时，方程x24|x|5m有4个互不相等的实数根. 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.函数 y4x2 的零点是( ) A.2 B.(2,0) C. 1 2，0 D. 1 2 解析 令 y4x20，得 x1 2. 函数 y4x2 的零点为1 2. D 1 2 3 4 5 解析答
6、案 2.对于函数f(x)，若f(1) f(3)0，则( ) A.方程f(x)0一定有实数解 B.方程f(x)0一定无实数解 C.方程f(x)0一定有两实数解 D.方程f(x)0可能无实数解 解析 函数f(x)的图像在(1,3)上未必连续，故尽管f(1) f(3)0，但 未必函数yf(x)在(1,3)上有实数解. D 1 2 3 4 5 解析答案 3.根据表格中的数据，可以判断方程exx20必有一个根在区间( ) x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.78 7.39 20.09 x2 1 2 3 4 5 A.(1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 1 2 3 4 5
7、 4.方程2xx20的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析答案 解析 在同一直角坐标系中画出函数y2x及yx2的图象，可看出两图 像有三个交点，故2xx20的解的个数为3. C 1 2 3 4 5 解析答案 5.已知函数f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比0大，一个零点比0小， 则实数a的取值范围为_. 解析 由题意可知f(0)a20，解得a2. (，2) 课堂小结 1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不 可逆；(3)至少存在一个零点. 2.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y f(x)g(x)的图像与x轴交点的横坐标. 3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求 解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思 想的基础. 返回
