1、1.5 平面直角坐标系中的距离公式 第1课时 两点间的距离公式 在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式；在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式； 如果把这个问题拓展到平面直角坐标系内又如何来如果把这个问题拓展到平面直角坐标系内又如何来 求两点间的距离呢？求两点间的距离呢？ ABx B-xA x B x A BA0 (x(x1 1,y,y2 2) ) 1.1.掌握两点间距离公式的推导过程掌握两点间距离公式的推导过程. . （重点）（重点） 2 2. .会利用两点间的距离公式解决简单的几何问题会利用两点间的距离公式解决简单的几何问题. . （难点难点） 思考：思考：A A（- -2 2，0
2、 0），），B B（3 3，0 0）两点间的距离是多）两点间的距离是多 少？我们能得到什么结论？少？我们能得到什么结论？ 1 1 2 2 3 -1 -1 -2 -2 0 y x A A B 如图，如图，A,BA,B两点间的距两点间的距 离为离为5 5 3 探究点探究点 两点间的距离公式两点间的距离公式 O x y P2(x2 , 0) P1(x1 , y) P2(x2 , y) |x2 x1| |x2 x1| P1(x1 , 0) 2 1 22121 |()PPxxxx当当y1 = y2时时, 结论：结论： 思考：思考：A A（0 0，2 2），），B B（0 0，- -2 2）两点间的距离是
3、）两点间的距离是 多少？我们能得到什么结论？多少？我们能得到什么结论？ 1 1 2 2 3 3 -1 -1 -2 -2 0 y x A B 如图，如图，A,BA,B两点间的距两点间的距 离为离为4 4 O x y P2(0, y2) P1(x1 , y1) P2(x1 , y2) |y2 y1| P1(0, y1) |y2 y1| 2 1 22121 |()PPyyyy 当当x1 = x2时时, 结论：结论： 思考：思考：已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )和和P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，如，如 何求点何求点P P1 1和和P P2 2
4、的距离的距离|P|P1 1P P2 2| |？ x y P1(x1,y1) P2(x2,y2) O x y P1(x1,y1) P2(x2, y2) Q(x2,y1) O 221 | |PQyy 121 | |PQxx x2 y2 x1 y1 x o y 21 yxQ， 111 yxP， 222 Pxy， 111222 PxyPxy已已知知：，和和， 22 122121 ()()PPxxyy 当当y1=y2时，时， 1221 |PPxx 当当x1=x2时，时， 1221 |PPyy 试求：试求：P1，P2两点间的距离两点间的距离. 两点间距离公式 22 2121 |()()ABxxyy 22
5、|OAxy 特别地，点特别地，点A A（x x，y y）到原点（）到原点（0 0，0 0）的距离为）的距离为 一般地，若两点一般地，若两点A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为(x(x1 1，y y1 1) )， (x(x2 2， y y2 2) )，则，则A,BA,B两点间的距离公式为两点间的距离公式为 （1 1） （2 2） 例例1 1 求下列两点间的距离：求下列两点间的距离： ( 1,0),(2,3)AB- (4,3), (7,1)AB- 解解: : 22 22 (1)2 1303 2. 2741 35. AB AB 直接利用公直接利用公 式式 求下列两点求下列两点间间的距离：的距离： (
6、1(1）A(A(- -3,0) , B(2,0)3,0) , B(2,0) (2) C(2,1) , D(2) C(2,1) , D( (- -5,1)5,1) (3)(3) 33 (,2),( 2,) 22 EF- 答案：答案： (1(1）5 (2) 7 (3)25 (2) 7 (3)2- - 6 2 【变式练习变式练习】 例例 2.已知已知ABCD的三个顶点是的三个顶点是 13 ( 1,0), (1,0),( ,) 22 ABC-, 试判断试判断ABCD的形状的形状. 解：解：如图如图,因为因为 22 13 |(1)()1 22 BC =-+=， 22 33 |2,|( )()3 22 A
7、BAC=+=, 有有 222 |ACBCAB+=， 所以所以ABCD是直角三角形是直角三角形. x y O A(-1,0) B(1,0) ) 2 3 , 2 1 (C 根据边的根据边的 关系判断关系判断. 已知已知ABCD的三个顶点是的三个顶点是(1,2),(3,4),(5,0)ABC,试判断试判断ABCD的形状的形状. 解：解：因为因为 22 |(35)(40)2 5BC =-+-=， 22 22 |(13)(24)2 2, |(15)(0)2 5,2 AB AC =-+-= =-+-= 有有| |ACBC=, 所以所以ABCD是等腰是等腰三角形三角形. 【变式练习变式练习】 例例 3 3.
8、 . ABCD中，中，D D 是是 BCBC 边上任意一点（边上任意一点（D D 与与 B B，C C 不重合） ，不重合） ， 且且 22 | |ABADBDDC=+?， 求证：求证：ABCD为等腰三角形为等腰三角形. . 解：解： 作作AOBC，垂足为，垂足为 O，以，以 BC 所在直线为所在直线为 x 轴，轴， 以以 OA 所在直线为所在直线为 y 轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系如图如图. 设设(0, ),( ,0),( ,0),( ,0)Aa B bC cD d. 因为因为 22 | |ABADBDDC=+?,所以，由距离公式可得所以，由距离公式可得 2222 ()()badad
9、b cd+=+-, 即即- -(d(d- -b)(b+d)=(db)(b+d)=(d- -b)(cb)(c- -d)d). . 又又0db-?, 故故bdcd-=-, 即即bc-=. 所以所以|AB|=|AC|,即即ABCD为等腰三角形为等腰三角形. 根据图形特点，建立适当根据图形特点，建立适当 的的直角坐标系，利用坐标直角坐标系，利用坐标 解决有关问题，这种方法解决有关问题，这种方法 叫坐标法也称为解析法叫坐标法也称为解析法. . 用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步第一步: :建立坐标系，建立坐标系， 用坐标系表示有关的量用坐标系表示有关
10、的量 第二步：进行第二步：进行 有关代数运算有关代数运算 第三步：把代数运算结果第三步：把代数运算结果 “翻译翻译”成几何关系成几何关系 【提升总结提升总结】 1.1.已知点已知点A A（- -2,2,- -1 1），），B B（a a，3 3）且）且AB=5AB=5，则，则a a的值的值 是（是（ ） A.1 B.A.1 B.- -5 C.15 C.1或或- -5 D.5 D.- -1 1或或5 5 C C 2.2.已知点已知点M M（- -1,31,3），），N N（5,15,1），点），点P P（x x，y y）到）到M,NM,N 的距离相等，则点的距离相等，则点P P（x x，y y）
11、所满足的方程是（）所满足的方程是（ ） A.x+3yA.x+3y- -8=0 B.3x8=0 B.3x- -y y- -4=04=0 C.xC.x- -3y+9=0 D.x3y+9=0 D.x- -3y+8=03y+8=0 B B 3 3. .判定下列判定下列两点间的距离两点间的距离: : (1)A(1)A（- -3 3，1 1） ，） ，B B（5 5，1 1）. . (2)A(2)A（1,1,- -2 2）,B(1,7),B(1,7). . (3)A(3,2), B(3)A(3,2), B(- -1,5)1,5). . 4 4. .已知已知ABCD的三个顶点是的三个顶点是 A(1,1),B
12、(4,5),C(5,3),A(1,1),B(4,5),C(5,3),试判断试判断 ABCD的形状的形状. . |AB|=9|AB|=9 |AB|=8|AB|=8 |AB|=5|AB|=5 解解: :|AB|=5,|BC|= ,|AC|= ,|AB|=5,|BC|= ,|AC|= , 满足满足|AB|AB|2 2=|AC|=|AC|2 2+|BC|+|BC|2 2，所以，所以 是直角是直角 三角形三角形. . 2 55 DABC 1.x1.x轴上轴上A A，B B两点间的距离公式两点间的距离公式 AB xxAB 2.2.平面直角坐标系中，平面直角坐标系中，A A（x x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )两点间两点间 的距离公式的距离公式 2 12 2 12 )()(yyxxAB
