1、4 数据的数字特征 小王去某公司应聘小王去某公司应聘. .公司经理说，我们这里报酬公司经理说，我们这里报酬 不错不错, , 月平均工资是月平均工资是30003000元元, ,技术员技术员A A说，我的工资说，我的工资 是是15001500元元, ,在公司算中等收入，小王感觉待遇不错，在公司算中等收入，小王感觉待遇不错， 第二天就去上班了第二天就去上班了. .一周后，小王发现了问题，去找一周后，小王发现了问题，去找 经理，“经理，你说的不对，我已问过其他技术员，经理，“经理，你说的不对，我已问过其他技术员， 没有一个技术员的工资超过没有一个技术员的工资超过30003000元元. .经理说：“没错
2、，经理说：“没错， 平均工资确实是每月平均工资确实是每月30003000元元. .不信可看看公司的工资不信可看看公司的工资 报表报表.”.”小王糊涂了，这是怎么回事呢？小王糊涂了，这是怎么回事呢？ 员工员工 总工程总工程 师师 工程师工程师 技术员技术员 A A 技术员技术员 B B 技术员技术员 C C 技术员技术员 D D 技术员技术员 E E 技术员技术员 F F 见习技见习技 术员术员G G 工资工资 90009000 70007000 28002800 27002700 15001500 12001200 12001200 12001200 400400 下表是该公司月工资报表下表是
3、该公司月工资报表: : 经理是否忽悠了小王？为什么呢？经理是否忽悠了小王？为什么呢？ 1 1. .根据实际问题的需求，能够从数据中提取基本的根据实际问题的需求，能够从数据中提取基本的 数字特征，如平均数、中位数、众数、极差、方差、数字特征，如平均数、中位数、众数、极差、方差、 标准差等标准差等. .（重点）（重点） 2.2.通过实例理解数据标准差的意义和作用通过实例理解数据标准差的意义和作用. .（重点）（重点） 3.3.学会根据不同要求选择不同的统计量来表达数据学会根据不同要求选择不同的统计量来表达数据 的信息的信息. .（难点）（难点） 思考思考1.1.什么叫平均数？有什么意义？什么叫平均
4、数？有什么意义？ 提示：提示：一组数据的和与这组数据的个数的商称为一组数据的和与这组数据的个数的商称为 这组数据的平均数这组数据的平均数. . 平均数对数据有平均数对数据有“取齐取齐”的的 作用，代表该组数据的平均水平作用，代表该组数据的平均水平. . 思考思考2.2.什么叫中位数？有什么意义？什么叫中位数？有什么意义？ 提示：提示：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 中间位置的数（或中间两个数的平均数）称为这组中间位置的数（或中间两个数的平均数）称为这组 数据的中位数数据的中位数. .一组数据的中位数是唯一的，反映了一组数据的中位数是唯一的，反映了
5、数据的集中趋势数据的集中趋势. . 思考思考3.3.什么叫众数？有什么意义？什么叫众数？有什么意义？ 提示：提示：一组数据中出现次数最多的数称为这组数一组数据中出现次数最多的数称为这组数 据的众数据的众数. .一组数据中的众数可能不止一个，也可一组数据中的众数可能不止一个，也可 能没有，反映了数据的集中趋势能没有，反映了数据的集中趋势. . 思考思考4.4.什么叫极差？有什么意义？什么叫极差？有什么意义？ 提示：提示：一组数据的最大值与最小值的差称为这组一组数据的最大值与最小值的差称为这组 数据的极差，表示该组数据之间的差异情况数据的极差，表示该组数据之间的差异情况. . 思考思考5.5.什么
6、叫方差？有什么意义？什么叫方差？有什么意义？ 提示：提示：方差是样本数据到平均数的平均距离，一般方差是样本数据到平均数的平均距离，一般 用用s s2 2表示，通常用公式表示，通常用公式 来计算来计算. .反应了数据的离散程度，方差越大，数据的反应了数据的离散程度，方差越大，数据的 离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小. . 思考思考6.6.什么叫标准差？有什么意义？什么叫标准差？有什么意义？ 提示：提示：标准差等于方差的正的平方根，与方差的作标准差等于方差的正的平方根，与方差的作 用相同，描述一组数据围绕平均数的波动程度的大用相同，描述一组数据围
7、绕平均数的波动程度的大 小小. . n sxxxxxx n 22222222 1212 1 1 ()()()()()() 例例1 1 某公司员工的月工资情况如表所示：某公司员工的月工资情况如表所示： 月工资月工资/ /元元 8 0008 000 5 0005 000 4 0004 000 2 0002 000 1 0001 000 800800 700700 600600 500500 员工员工/ /人人 1 1 2 2 4 4 6 6 1212 8 8 2020 5 5 2 2 (1)(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数 和众数和众数. .
8、(2)(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工 的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？ 解：解：（1 1）该公司员工的月工资平均数为）该公司员工的月工资平均数为 即该公司员工月工资的平均数为即该公司员工月工资的平均数为1 3731 373元元. . 8 000 1 5 000 24 000 42 000 6 1 000 12 800 8 700 20600 5 500 2 1 24 6 12 8 20 5 2 1373 ， 中位数为中位数为800800元，众数为元，众数为700700元元. . (2)(2)公司经理
9、为了显示本公司员工的收入高，采用平公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平 均数均数1 3731 373元作为月工资的代表；而税务官希望取月元作为月工资的代表；而税务官希望取月 工资中位数工资中位数800800元，以便知道目前的所得税率对该公元，以便知道目前的所得税率对该公 司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700700 元作为代表，因为每月拿元作为代表，因为每月拿700700元的员工数最多元的员工数最多. . 例例2 2 在上一节中，从甲、乙两个城在上一节中，从甲、乙两个城 市随机抽取的市随机抽取的1616台自动售货机的销台自动售货机的销
10、售额可以用茎叶图表示，如图所示：售额可以用茎叶图表示，如图所示： （1 1）甲、乙两组数据的中位数、众）甲、乙两组数据的中位数、众 数、极差分别是多少？数、极差分别是多少？ （2 2）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均 数和方差的大小吗？数和方差的大小吗？ 解：解：(1) (1) 观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售 额的中位数为额的中位数为20,20,众数为众数为10,18,30,10,18,30,极差为极差为53;53;乙城市乙城市 销售额的中位数为销售额的中位数为29,29,众数为众数为23,3423,34，
11、极差为，极差为38.38. （2 2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市销售额分）从茎叶图中我们可以看出：甲城市销售额分 布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销 售额分布则相对集中在茎叶图的中部售额分布则相对集中在茎叶图的中部. .由此，我们由此，我们 可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小，可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小， 而方差比乙城市的大而方差比乙城市的大. . 平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是 反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测反映数据平均水平最常用的统计量；
12、中位数将观测 数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个 数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据 集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是 分类变量时，众数经常被使用分类变量时，众数经常被使用. 甲甲 40.040.0 39.839.8 40.140.1 40.240.2 39.939.9 40.040.0 40.240.2 39.839.8 40.240.2 39.839.8 乙乙 40.040.0 40.040.0 39.939.9 40.040.
13、0 39.939.9 40.140.1 40.140.1 40.140.1 40.040.0 39.939.9 分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的1010件产品直件产品直 径的标准差径的标准差. . 解：解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这1010件件 产品直径的平均值产品直径的平均值: : 我们分别计算它们直径的标准差：我们分别计算它们直径的标准差： /mm/mm /mm/mm x40(mm) 甲 x40(mm). 乙 例例3 3 甲、乙两台机床同时生产直径是甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm40 mm的零件的零件
14、. .为为 了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取1010件件 进行测量，结果如表所示进行测量，结果如表所示. . 222 s(4040)(39.840)(39.840) /100.161(mm) 甲 222 s(4040)(4040)(39.940) /100.077(mm) 乙 由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产 的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直 径的标准差为径的标准差为0.161 mm0.161 mm，比乙机床的标准差，比乙机床的标准差
15、0.077 mm0.077 mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即大，说明乙机床生产的零件更标准些，即 乙机床的生产过程更稳定一些乙机床的生产过程更稳定一些. . 【提升总结提升总结】 总结求一组数据的方差的一般步骤：总结求一组数据的方差的一般步骤： （1 1）求数据的平均数；）求数据的平均数； （2 2）依据公式求方差）依据公式求方差. . 1.1.（20142014陕西高考）某公司陕西高考）某公司1010位员工的月工资（单位员工的月工资（单 位位: :元）为元）为 ，其均值和方差分别为，其均值和方差分别为 和和s s2 2， 若从下月起每位员工的月工资增加若从下月起每位员工的月工资增加1
16、00100元，则这元，则这1010位位 员工下月工资的均值和方差分别为（员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A A. . ，s s2 2+100+1002 2 B B. . +100, s+100, s2 2+100+1002 2 C C. . ,s,s2 2 D D. . +100, s+100, s2 2 D D 1210 x xx xx xx x 2 2. .（20132013安徽高考）某班级有安徽高考）某班级有5050名学生，其中有名学生，其中有3030 名男生和名男生和2020名女生，随机询问了该班五名男生和五名名女生，随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩，五名
17、男生的成绩分别女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别 为为86,94,88,92,9086,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为，五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（下列说法一定正确的是（ ) ) A.A.这种抽样方法是一种分层抽样这种抽样方法是一种分层抽样 B.B.这种抽样方法是一种系统抽样这种抽样方法是一种系统抽样 C.C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均
18、 数数 C C 3. 3. 某同学使用计算器求某同学使用计算器求3030个数据的平均数时，个数据的平均数时， 错将其中一个数据错将其中一个数据105105输入为输入为1515，那么由此求出，那么由此求出 的平均数与实际平均数的差是的平均数与实际平均数的差是_._. - -3 3 4.4.下表是某班下表是某班4040名学生参加“环保知识竞赛”的得名学生参加“环保知识竞赛”的得 分统计表：分统计表： 分数分数 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 人数人数 4 4 7 7 1010 x x 8 8 y y 请参照这个表解答下列问题：请参照这个表解答下列问题： （1 1）用含）用含x x，y y的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的式子表示该班参加“环保知识竞赛” 的班平均分的班平均分f.f.（2 2）若该班这次竞赛的平均分为）若该班这次竞赛的平均分为2.52.5分，分， 求求x x，y y的值的值. . 3x5y59 (1)f. 40 3x5y41,x7, (2) xy11,y4. 解： 依题意，有解得 数字特征中的三数三差数字特征中的三数三差 （众数、中位数、平均数；极差、方差、标准差（众数、中位数、平均数；极差、方差、标准差. .） 三数三差的意义及作用三数三差的意义及作用 即使一次次地跌倒，我们依然成长.跌 倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲.
