1、4.2 单位圆与周期性单位圆与周期性 第一章第一章 三角函数三角函数 1明确正弦线明确正弦线、余弦线余弦线、正切线的画法正切线的画法 2能够作出已知角能够作出已知角的正弦线的正弦线、余弦线和正切线余弦线和正切线 3. 能够利用三角函数线比较函数值的大小能够利用三角函数线比较函数值的大小. 学习要求学习要求 1单位圆的定义：在直角坐标系中单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称我们称 以为以为_圆心圆心，_为半径的圆为为半径的圆为 单位圆单位圆 2有向线段的概念：有向线段的概念：_的线的线 段称为有向线段段称为有向线段 原点原点O O 单位长度单位长度 带有方向带有方向 自学导引自学导引 自学导引自
2、学导引 3.设任意角设任意角 的顶点在原点的顶点在原点 ，始边与，始边与 轴非负半轴重合轴非负半轴重合 ，终边与单位圆相交与点，终边与单位圆相交与点P ，过，过P 作作 X轴的垂线轴的垂线 ，垂，垂 足为足为M ；过点；过点 A（1，0）作）作 单位圆的切线，它与角单位圆的切线，它与角 的的终边或其反向延长线交与点终边或其反向延长线交与点 T. 当角当角 的终边不在坐标轴上时，我们就分别称有向线的终边不在坐标轴上时，我们就分别称有向线 段段 为正弦线、余弦线、正切线，统称为正弦线、余弦线、正切线，统称 为三角函数线为三角函数线. MP、OM、AT 自主探究自主探究 1.在初中，我们知道锐角三角
3、函数可以看成线段在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段 的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看 成是线段的比呢？成是线段的比呢？ 不能，因为任意角的三角函数有正负不能，因为任意角的三角函数有正负. 自主探究自主探究 2.在三角函数定义中，是否可以在角在三角函数定义中，是否可以在角 的终边上的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简 单？单？ 可以，特殊点取角可以，特殊点取角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点. 自主探究自主探究 3.如何作正弦线、余弦线、正切线？如何作正弦线、余弦线、正切线？ 有向
4、线段有向线段MP、OM、AT分别叫做角分别叫做角的正弦线的正弦线 ，余弦线，正切线，余弦线，正切线. 的终边的终边 y x A(1,0) P O 的终边的终边 y x A(1,0) O 的终边的终边 O y x A(1,0) P M T P M T 的终边的终边 y x A(1,0) O P M T M T sinMP cosOM tanAT () () () () 自主探究自主探究 4.当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正切线的几何含的正切线的几何含 义如何？义如何？ O O x y P P P 当角当角的终边在的终边在x轴上时，角轴上时，角的正切线是一个点；的正切线是一
5、个点； 当角当角的终边在的终边在y轴上时，角轴上时，角的正切线不存在的正切线不存在. 自主探究自主探究 11 1对三角函数线对三角函数线，下列说法正确的是下列说法正确的是( ) A对任何角都能作出正弦线对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线余弦线和正切线 B有的角正弦线有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在余弦线和正切线都不存在 C任何角的正弦线任何角的正弦线、正切线总是存在正切线总是存在，但余弦线不但余弦线不 一定存在一定存在 D任何角的正弦线任何角的正弦线、余弦线总是存在余弦线总是存在，但是正切线但是正切线 不一定存在不一定存在 预习测评预习测评 解析解析：当角的终边落在：当角的终边落在Y轴
6、上时，正切线不存在，故轴上时，正切线不存在，故 选选D. D 2如果如果 MP 和和 OM 分别是角分别是角 的正的正 弦线和余弦线弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是那么下列结论中正确的是（ ） 预习测评预习测评 D 解析解析：作出角作出角 的的正弦线和余弦线，根据正弦线和余弦线，根据 图形可知，图形可知，MP为正值，为正值，OM为负值，故选为负值，故选D. 7 8 .0.0 .0.0 A MPOMBOMMP C OMMPDMPOM 7 8 3利用余弦线利用余弦线，比较比较 的大小关系为的大小关系为（ ）. A. B. C. D. 无法比较无法比较 预习测评预习测评 cos64 , cos4
7、6 cos64cos46 cos64cos46 cos64 =cos46 解析解析：分别作出两个角的余弦线，方向都是正方向，：分别作出两个角的余弦线，方向都是正方向， 再比较两条余弦线的长度，故选再比较两条余弦线的长度，故选B. B 1单位圆的定义单位圆的定义 圆心在坐标原点圆心在坐标原点 ，半径等于单位长度的圆叫半径等于单位长度的圆叫 做单位圆做单位圆 要点阐释要点阐释 正弦线为正弦线为 的终边与单位圆的交点到的终边与单位圆的交点到X 轴的垂直线段轴的垂直线段 ；余弦；余弦 线在线在X 轴上；轴上； 正切线在正切线在 过单位圆与过单位圆与 X轴正方向的交点的切线上，轴正方向的交点的切线上，
8、三条有向线段中两条在单位三条有向线段中两条在单位 圆内，一条在单位圆外圆内，一条在单位圆外. 2.三角函数线的位置三角函数线的位置： 要点阐释要点阐释 三条有向线段与三条有向线段与 Y轴或轴或X 轴同向的为正值，与轴同向的为正值，与 Y轴或轴或 X 轴反向的为负值轴反向的为负值. 3.三角函数线的正负：三角函数线的正负： 要点阐释要点阐释 4正切线正切线 正切线正切线AT的作法：过定点的作法：过定点A（1,0） 作单位圆的切作单位圆的切 线线，它与角它与角 的终边或其反向延长线交与点的终边或其反向延长线交与点T 当角当角 是第一是第一、四象限角时四象限角时，点点T在角在角 的终边上的终边上，
9、当角当角 是第二是第二、三象限角时三象限角时，点点T在角在角 的终边的的终边的 反向延长线上反向延长线上， 当角当角终边在终边在Y轴上时轴上时，角角 的正切线不存在的正切线不存在. 要点阐释要点阐释 5.根据三角函数线比较三角函数值的大小根据三角函数线比较三角函数值的大小 根据三角函数线比较三角函数值的大小根据三角函数线比较三角函数值的大小， 一般先根据有向线段的方向判断正负一般先根据有向线段的方向判断正负，再比较再比较 有向线段的长度有向线段的长度.有向线段与坐标轴方向同向的有向线段与坐标轴方向同向的 为正值为正值，反向的为负值反向的为负值. 要点阐释要点阐释 2 (1) 3 3 (2)-
10、4 例例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线. x y P o A T M Page 20 典例剖析典例剖析 题型一 作已知角的三角函数线 2 以x轴的正半轴为始边作出的角， 3 其终边与单位圆交于P点，作PMx轴， 垂足为M，由单位圆与x轴的正半轴的交 点A作x轴的垂线, sincos,OMAT 222 MP, tan 333 与OP的反向延长线交于T点，则 , 2 的正弦线为MP,余弦线为OM 正切线为AT 3 解：(1)在直角坐标系中作单位圆如图示 点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向线根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向线 段
11、段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线为正弦线、余弦线、正切线.关键是作关键是作 出各个点，出各个点，O点为坐标原点，点点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与为单位圆与X正半正半 轴的交点，点轴的交点，点P为任意角为任意角 的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点P(x,y) ，过，过P作作X 轴的垂线轴的垂线 ，垂足为，垂足为M ；过点；过点A(1,0)作作 单位圆单位圆 的切线，它与角的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与点的终边或其反向延长线交与点T . 1角角（02）的正的正、余弦线的长余弦线的长 度相等度相等，且且 正正、余弦符号相异余弦符号相异那么那么的值为的值为（ ） A
12、 B C D 或或 D 4 7 4 3 4 7 4 解析：角解析：角（02）的正、余弦线的长度相等的正、余弦线的长度相等,可可 知角知角终边为象限角平分线，再根据正、余弦符号相终边为象限角平分线，再根据正、余弦符号相 异可得角异可得角终边为第二、四象限角平分线，故选终边为第二、四象限角平分线，故选D. 3 4 y P1 P2 x o A T1 M1 M2 T2 例例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小利用三角函数线比较三角函数值的大小 575757 sinsincoscostantan 464646 与与与 (1) (2) (3) 57 sinsin 46 (1) 57 coscos 46
13、(2) 57 tantan 46 (3) Page 24 解：解： 题型二 利用三角函数线比较函数值的大小 点评：点评：三角函数线是一个角的三角函数直观体三角函数线是一个角的三角函数直观体 现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正 负，其长度是三角函数值的绝对值因此，比较两负，其长度是三角函数值的绝对值因此，比较两 个三角函数值的大小，可以借助三角函数线个三角函数值的大小，可以借助三角函数线 2比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小 (1)sin1和和sin (2)cos 和和cos 3 4 7 5 7 解析：解析：(1)sin1sin (2)
14、cos cos 4 7 5 7 3 题型三 利用三角函数线求角的范围 例例3 在在0 内，求使内，求使 成立的成立的的的取值取值. 2 3 sin 2 a = 分析：先作出直线分析：先作出直线 ，与单位圆有两个不，与单位圆有两个不 同的交点同的交点 、 ，则满足条件，则满足条件的终边有两个的终边有两个 ， 分别是分别是 、 . 3 2 y 1 P 2 P 1 OP 2 OP 题型三 利用三角函数线求角的范围 M M1 1 P P1 1 P P2 2 3 2 y O O x x y y 解析：如图所示，解析：如图所示，先作出直线先作出直线 ，与单位圆，与单位圆 有两个不同的交点有两个不同的交点P
15、1、P2，则满足条件，则满足条件的终边有两的终边有两 个个 ，分别是，分别是 OP1、OP2，在，在 内，内，的值的值 为为 . M M2 2 3 2 y 02 2 33 或 若若0 2，且，且sin .利用三角函数线利用三角函数线 ，得到，得到 的取值范围是（的取值范围是（ ） A B C D 3 2 1 2 (,) 3 3 (0,) 3 5 (,2 ) 3 5 (0,)(,2 ) 33 解析：解析：A明显范围不对，明显范围不对，B、C都不全面，故选都不全面，故选D. D 误区解密：误区解密： 因忽略有向线段的方向而出错因忽略有向线段的方向而出错 正解：正解：B 错解：A 错因分析错因分析：
16、错解没有注意到角错解没有注意到角的取值范围，当的取值范围，当 时，时， 为正值最大，为正值最大， 均为负值，均为负值， 最小最小 3 ,sin ,cos ,tan() 4 .sincostan.tancossin .tansincos.costansin AB CD 若（ ， ）则的大小顺序是 sincos ,tan 3 4 （ ， ） tan 正弦线、余弦线、正切线，它们分别是正弦、正弦线、余弦线、正切线，它们分别是正弦、 余弦、正切函数的几何表示余弦、正切函数的几何表示,三角函数线是有向线三角函数线是有向线 段，在用字母表示这些线段时，注意它们的方段，在用字母表示这些线段时，注意它们的方 向向 纠错心得： 作三角函数线的具体步骤如下：作三角函数线的具体步骤如下： 1） 画单位圆，画单位圆， 2） 设设的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P，作，作PMx轴于轴于M， 则有向线段则有向线段MP是正弦线是正弦线. 3） 有向线段有向线段OM是余弦线是余弦线. 4） 设单位圆与设单位圆与x轴的非负半轴交于点轴的非负半轴交于点A(1,0)，过点，过点A作作 垂线与角垂线与角的终边（或其反向延长线）交于点的终边（或其反向延长线）交于点T，则有，则有 向线段向线段AT就是正切线就是正切线. 课堂总结课堂总结
