1、问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方ABC一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点221xx 221xx 2)()(21xfxf 2)()(21xfxf)2(21xxf)2(21xxf)(1xf)(1xf)(2xf)(2xf第四节 曲线的凹凸性与函数图形的描绘定义定义1 1 设设 在区间在区间 内可导，如果曲线内可导，如果曲线 上上的每一点处的切线都位于曲线的上方的每一点处的切线都位于曲线的上
2、方(下方下方)，则称曲线，则称曲线 在在 内是凸的内是凸的(凹的凹的)如图如图4 4（图（图5 5）()yf x()yf x()yf x(,)a b(,)a b定理定理1 1 设函数设函数 在区间在区间 内可导，则曲线内可导，则曲线 在在 内为凹（凸）的充分必要条件是内为凹（凸）的充分必要条件是 在在 内内 单调增加（单调减少）单调增加（单调减少）再根据再根据 的单调性与的单调性与 的导数的导数 的符号之间的符号之间的关系可知：如果的关系可知：如果 ，则，则 单调增加；如单调增加；如果果 ，则，则 单调减少因此，我们又可以得单调减少因此，我们又可以得到利用二阶导数的符号判断曲线凹凸的定理到利用
3、二阶导数的符号判断曲线凹凸的定理()yf x()yf x(,)a b(,)a b(,)a b()yfx()fx()fx()f x()fx()fx()0fx()0fxxyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理2 2.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 图414图415例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线x
4、y 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的概念拐点的概念 连续曲线连续曲线 上凹凸的分界点称为该上凹凸的分界点称为该曲线的拐点曲线的拐点()yf x拐点的求法拐点的求法:(1)(1)求出函数求出函数 的定义域的定义域;(2)(2)求出使求出使 的点及的点及 不存在的点不存在的点;(3)(3)用上述所求点把定义域分成若干个部分区间用上述所求点
5、把定义域分成若干个部分区间;(4)(4)在每个部分区间内判定在每个部分区间内判定 的符号的符号,由此确定由此确定曲线的凹凸区间和拐点曲线的凹凸区间和拐点.()yf x()fx()0fx()fx例例2 2的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间求求曲曲线线14334 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32().,32,32,0,0,(凹凸区间为凹凸区间为例例3 3.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当
6、当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx ,0,)0,(y内内但但在在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy .)()(,(,)(000的拐点的拐点是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意:二二 函数图形的描绘函数图形的描绘1.曲线的渐近线曲线的渐近线 一条曲线在伸向无穷远处的走向是不容易画准确的，但如果在伸向无穷远时渐渐靠近一条直线，那么，就可以利用这条直线将曲线的走向画准确了，这样的直线称为渐近线定义定义
7、若曲线上一点沿曲线远离原点时，该点与某一固定的直线的距离趋向于零，则称此直线为曲曲线的渐近线线的渐近线 渐近线按其走向可分为垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线三种，本课我们仅对前两种类情形作以介绍 (1)垂直渐近线 与轴平行的渐近线称为垂直渐近线.(2)水平渐近线 与轴平行的渐近线称为水平渐近线.利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势及其他变化趋势;第五步第五步例例4 4.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解,0:xD非
8、奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf ,0)(xf令令,2 x得驻点得驻点,0)(xf令令.3 x得特殊点得特殊点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx,2 ;2 y得水平渐近线得水平渐近线2)1(4lim)(lim200 xxxfxx,.0 x得铅直渐近线得铅直渐近线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3)926,3(:补补充充点点);0,31(),0,3
9、1(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC例例5 5.21)(22的图形的图形作函数作函数xex 解解),(:D偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.,2)(22xexx ,0)(x令令,0 x得驻点得驻点,0)(x令令.1,1 xx得得特特殊殊点点.4.021)(0:xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex ,0.0 y得水平渐近线得水平渐近线x)1,(),1()0,1(1)1,0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21,1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,
10、凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21,1(e xyo11 21例例6 6.1)(23的的图图形形作作函函数数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()(xxxf).13(2)(xxf,0)(xf令令.1,31 xx得驻点得驻点,0)(xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0,1(A),1,0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点凹凸区间及极值点与拐点与拐点:x)31,(),1()31,31(31)1,31(0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf)(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C11 3131 小结 1.函数的凹凸性与拐点 2.函数图形
