1、 第一章 解三角形 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探题型探题型 提能力提能力 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 明目标、知重点 1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解各类三角形中的应用. 2.提高对正、余弦定理应用范围的认识. 3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关 的综合问题. 填要点记疑点 填要点记疑点 1.三角形常用面积公式 (1)三角形面积公式S . (2)三角形面积公式的推广 1 2ah S 1 2casin B. 1 2absin C 1 2bcsin A 1 2(abc)r (3)S
2、 (r为三角形的内切圆半径). 填要点记疑点 (1)sin(AB) ， cos(AB) ， tan(AB) ， (2)sin AB 2 ，cos AB 2 . 2.三角形内的角的函数关系 在ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有 sin C cos C tan C cos C 2 sin C 2 填要点记疑点 3.余弦定理的推论 在ABC中，c2a2b2C为 ，c2a2b2C为 ； c2a2b2C为 . 直角 钝角 锐角 探题型提能力 探题型提能力 题型一 利用正、余弦定理解三角形 例 1 在ABC 中，若 c cos Bb cos C，且 cos A2 3， 求 sin B 的
3、值. 解 由c cos Bb cos C，结合正弦定理得， sin Ccos Bsin Bcos C， 故sin(BC)0，易知BC，故bc. 探题型提能力 因为 cos A2 3，所以由余弦定理得 3a 22b2， 再由余弦定理得 cos B 6 6 ，故 sin B 30 6 . 探题型提能力 反思与感悟 正、余弦定理的变形形式比较多，解题时 应根据题目条件的丌同，灵活选择. 探题型提能力 跟踪训练1 在ABC中，已知b2ac，且a2c2acbc. (1)求A的大小； 解 由题意知， b2accos Ab 2c2a2 2bc acbcac 2bc 1 2， A(0，)，A 3. 探题型提能
4、力 (2)求bsin B c 的值. 解 由 b2ac，得b c a b， bsin B c sin B a bsin B sin A sin Bsin A 3 2 . 探题型提能力 例 2 在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边， 4sin2 BC 2 cos 2A7 2. 题型二 正、余弦定理与三角变换的综合应用 (1)求A的度数. 解 由 4sin2 BC 2 cos 2A7 2及 ABC180 ， 探题型提能力 得 21cos(BC)2cos2 A17 2， 4(1cos A)4cos2 A5， 即4cos2A4cos A10， (2cos A1)20，解得 cos A
5、1 2. 0A180，A60. 探题型提能力 (2)若 a 3，bc3，求 b 和 c 的值. 解 由余弦定理，得 cos Ab 2c2a2 2bc . cos A1 2， b2c2a2 2bc 1 2， 化简并整理，得(bc)2a23bc， 将 a 3，bc3 代入上式，得 bc2. 则由 bc3， bc2. 解得 b1， c2 或 b2， c1. 探题型提能力 反思与感悟 本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A BC180，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的 方程组. 探题型提能力 跟踪训练 2 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b，c，且 a2c2b26 5a
6、c.求 2sin 2AC 2 sin 2B 的值. 解 由已知得a 2c2b2 2ac 3 5， 所以 cos B3 5，sin B 1cos2B4 5， 探题型提能力 所以 2sin2AC 2 sin 2B2cos2B 2sin 2B 1cos B2sin Bcos B13 52 4 5 3 5 64 25. 探题型提能力 例 3 在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， cos B3 5，a7，且AB BC 21.求角 C. 题型三 正、余弦定理与平面向量的综合应用 解 AB BC 21，BA BC 21. BA BC |BA | |BC | cos Baccos B21.
7、 ac35，又a7，c5， 探题型提能力 cos B3 5，sin B 4 5. 由余弦定理b2a2c22accos B32， b4 2.由正弦定理 c sin C b sin B. sin Cc bsin B 5 4 2 4 5 2 2 . cb且B为锐角，C一定是锐角.C45. 探题型提能力 反思与感悟 这是一道向量不正、余弦定理的综合题， 解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角 关系. 探题型提能力 跟踪训练 3 ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a， b， c， 设向量 m(ab， sin C)， n( 3ac， sin Bsin A)， 若 mn，则角 B 的大
8、小为 . 解析 mn， (ab)(sin Bsin A)sin C( 3ac)0， 由正弦定理有(ab)(ba)c( 3ac)， 探题型提能力 即 a2c2b2 3ac， 再由余弦定理，得 cos B 3 2 ， 又0B180，B150. 答案 150 探题型提能力 题型四 三角形的面积公式的应用 思考1 ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、 hc，那么它们如何用已知边和角表示？ 答 habsin Ccsin B，hbcsin Aasin C，hcasin B bsin A. 探题型提能力 思考 2 将思考 1 中得到的结论代入三角形面积公式 S 1 2ah，可以推导出怎样的
9、三角形面积公式？ 答 S1 2absin C，S 1 2bcsin A，S 1 2acsin B. 探题型提能力 例4 如图， 在ABC中， BC5， AC4， cosCAD 31 32且 ADBD，求ABC 的面积. 解 设CDx，则ADBD5x， 在CAD中，由余弦定理可知 cosCAD5x 242x2 25x4 31 32. 解得x1. 探题型提能力 在CAD 中，由正弦定理可知 AD sin C CD sinCAD， sin CAD CD 1cos 2CAD4 131 32 23 7 8 ， SABC1 2AC BC sin C 1 245 3 8 715 7 4 . 所以三角形 AB
10、C 的面积为15 7 4 . 探题型提能力 反思与感悟 在丌同已知条件下求三角形的面积的问题， 不解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形 面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元 素，就可以求出三角形的面积. 探题型提能力 跟踪训练 4 ABC 中，AB 3，AC1，B30 ，求 ABC 的面积. 解 由正弦定理得 1 sin 30 3 sin C，sin C 3 2 . 0C180，C60或120. (1)当C60时，A90， BC2，此时，SABC 3 2 ； 探题型提能力 SABC1 2 31sin 30 3 4 . (2)当C120时，A30， 当堂测查疑缺 当堂测查疑
11、缺 1 2 3 4 1.在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，若 2asin B 3b，则角 A 等于( ) A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 解析 在ABC中，利用正弦定理得 2sin Asin B 3sin B，sin A 3 2 . 又 A 为锐角，A 3. D 当堂测查疑缺 1 2 3 4 2.在ABC 中，若 acos2C 2 ccos2A 2 3 2b，那么 a，b，c 的 关系是( ) A.abc B.ac2b C.bc2a D.abc 解析 cos2C 2 1cos C 2 ，cos2A 2 1cos A 2 ， 当堂测查疑缺 1 2 3 4 代入条件
12、等式，得acacos Cccos A3b， aca a2b2c2 2ab c b2c2a2 2bc 3b， 整理，得ac2b. 答案 B 当堂测查疑缺 1 2 3 4 3.已知三角形面积为1 4，外接圆面积为 ，则这个三角形的三 边之积为( ) A.1 B.2 C.1 2 D.4 解析 设三角形外接圆半径为R，则由R2， 得 R1，S1 2absin C abc 4R abc 4 1 4， abc1. A 当堂测查疑缺 1 2 3 4 4.在ABC 中， AB3， AC2， BC 10， 则BA AC . 解析 由余弦定理得 cos AAB 2AC2BC2 2AB AC 9410 12 1 4
13、. AB AC |AB | |AC | cos A321 4 3 2. BA AC AB AC 3 2. 3 2 当堂测查疑缺 呈重点、现规律 1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角 形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等). 2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地， 应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系， 要么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角 恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从 而得出结论. 当堂测查疑缺 3.解决正弦定理不余弦定理的综合应用问题，应注意根据 具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向 量不解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化 为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解.
