1、不等式不等式 第三章第三章 3.5 二元一次不等式二元一次不等式(组组) 与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 第三章第三章 第第2课时课时 简单的线性规划的概念简单的线性规划的概念 课前自主预习课前自主预习 战国时期的齐国大臣田忌与国王赛马，用自己 的下等马对国王的上等马，用自己的上等马对 国王的中等马，用自己的中等马对国王的下等 马，这样田忌以21取得了胜利，这个故事讲 述了规划的威力社会实际生产生活中，我们 常常希望以最少的投入获得最大的回报线性 规划提供了解决问题的有效工具. 1对于变量x、y的约束条件，都是关于x、y的 一次不等式，称为_zf(x，y) 是欲达到的最大值或最小值所
2、涉及的变量x、y的 解析式，叫做_，当f(x、y)是x，y的一 次解析式时，zf(x、y)叫做_ 2求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值问题，称为_；满足线 性约束条件的解(x，y)叫做_；由所有可 行解组成的集合叫做_；使目标函数取 得最大值或最小值的可行解叫做_ 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 线性规划问题 可行解 可行域 最优解 1.(2013 天 津 理 ， 2) 设 变 量 x 、 y 满 足 约 束 条 件 3xy60 xy20 y30 ，则目标函数 zy2x 的最小值为( ) A7 B4 C1 D2 答案 A 解析 本题考查线性规划与最优解 由 x、 y 满足的
3、约束条件 3xy60 xy20 y30 ， 画出可行域如图， 容易求出 A(2,0)、B(5,3)、C(1，3)， 可知 zy2x 过点 B(5,3)时，z 最小值为 3257. 2 (2013 湖南理， 4)若变量 x、 y 满足约束条件 y2x xy1 y1 ， 则 x2y 的最大值是( ) A5 2 B0 C5 3 D5 2 答案 C 解析 根据不等式组作出其 平面区域，令zx2y，结合 zx2y的特征求解 不等式组表示的平面区域为 图中阴影部分 平行移动 y1 2x 1 2z，可知该直线经过 y2x 与 xy1 的交点 A(1 3， 2 3)时，z 有最大值为 1 3 4 3 5 3.
4、 3 (2014 天 津 文 ， 2) 设 变 量 x 、 y 满 足 约 束 条 件 xy20 xy20 y1 ，则目标函数 zx2y 的最小值为( ) A2 B3 C4 D5 答案 B 解析 根据约束条件作出可行域，如图阴 影部分所示 由 zx2y 得 y1 2x z 2. 先画出直线 y1 2x， 然后将直线 y 1 2x 进行平移 当平 移至直线过点 A 时，z 取得最小值 由 y1 xy20 ，得 A(1,1)，故 z最小值1213. 4设 x、y 满足约束条件 xy20 5xy100 x0 y0 ，则 z2xy 的最大值为_ 答案 11 解析 不等式组 xy20 5xy100 x0
5、 y0 表示的可行域如图阴 影部分所示 由 xy20 5xy100 ，得 x3 y5 . 点 A 的坐标为(3,5)，作直线 l：2xy0，平行移动直线 l 至过点 A 时，z2xy 取最大值 11. 5(2014 浙江文，12)若实数 x、y 满足 x2y40 xy10 x1 ， 则 xy 的取值范围是_ 答案 1,3 解析 作出可行域，如图， 作直线xy0，向右上平移，过点B时，x y取得最小值，过点A时取得最大值 由B(1,0)、A(2,1)得(xy)min1，(xy)max3. 所以1xy3. 课堂典例讲练课堂典例讲练 设 z2xy，式中变量 x、y 满足条件 x4y3 3x5y25
6、x1 ，求 z 的最大值和最小值 分析 由于所给约束条件及目标函数均为关 于x、y的一次式，所以此问题是简单线性规 划问题，使用图解法求解 求线性目标函数的最值问题 解析 作出不等式组表示的平面区域(即可 行域)，如图所示 把z2xy变形为y2xz，得到斜率为 2，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行 直线 由图可看出，当直线z2xy经过可行域上 的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最 小 解方程组 x4y30， 3x5y250 得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组 x1， x4y30 得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax25212，Zmin2113. 点评 由本题的求解可以发
7、现，解线性规划 问题的关键是准确地作出可行域，准确地理 解z的几何意义，线性规划最优解一般是在可 行域的边界处取得 若变量 x、y 满足约束条件 xy6 x3y2 x1 ，则 z2x3y 的最小值为( ) A17 B14 C5 D3 答案 C 解析 如图， 作出可行域(阴影部分)， 再作出初始直线 l0： 2x3y0，即 y2 3x，发现 l0 向上移动时 z 越来越大，故 l0 平移到过 C 点时 z 最小，又 C(1,1)， zmin235. 4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于 22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于 24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较( ) A2个茶杯贵 B3包茶叶
8、贵 C相同 D无法确定 线性规划在实际问题中的应用 解析 设茶杯每个 x 元，茶叶每包 y 元，则 4x5y22 6x3y24 x，yN ，U2x3y 取值的符号判断如下： 由 y2 3x U 3 .当 U0 时，过点 A(3,2)，往下平移经过可 行域内的点U 3 0，U0，即 2x3y.往上平移不经过可行 域内的点选 A 答案 A 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已 知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物， 6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；1个 单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单 位的蛋白质和10个单位的维生素C另外，该 儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的 碳水化合
9、物，42个单位的蛋白质和54个单位 的维生素C如果1个单位的午餐、晚餐的费 用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营 养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别 预订多个单位的午餐和晚餐？ 解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单 位和 y 个单位，所花的费用为 z 元，则依题意，得 z2.5x4y， 且 x、y 满足 x0，y0 12x8y64 6x6y42 6x10y54 ，即 z0，y0 3x2y16 xy7 3x527 . 作为可行域如图， 则 z 在可行域的四个顶点 A(9,0)、 B(4,3)、 C(2,5)、D(0,8)处的值分别是 zA2.594022.5， zB2.
10、544322， zC2.524525， zD2.504532. 比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4 个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要 求. 非线性目标函数的最值问题 已知 x、y 满足 xy20 xy40 2xy50 ，求： (1)zx2y210y25 的最小值； (2)zy1 x1的取值范围 分析 (1)将 z 化为 zx2(y5)2，问题转化为求可行域 中的点与定点的最小距离问题； (2)将式子化为 zy1 x1或 y1z(x1)，问题转化为 求可行域中的点与定点的连线的斜率的最值问题 解析 (1)作出可行域，如图 并求出点A、B的坐标分别为(1,3)、(3,1) (1)z
11、x2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5) 的距离的平方，过 M 作直线 AC 的垂线 MN，垂足为 N，则：z 最小|MN|2(|052| 2 )29 2. (2)z y1 x1 y1 x1 表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(1， 1)连线的斜率， 可知， kAQ最大， kQB最小 而 kQA31 11 2，kQB11 31 1 2. z 的取值范围为1 2，2 点评 求非线性目标函数的最值，要注意分 析目标函数所表示的几何意义，通常与截距、 斜率、距离等联系，是数形结合的体现 在条件 0x2 0y2 xy1 下，z(x1)2(y1)2的取值范围是 _ 答案 1 2
12、，2 解析 由约束条件作出可行域如图 目标函数表示点(x，y)与点 M(1,1)的 距离的平方由图可知，z 的最小值为点 M 与直线 xy1 的距离的平方即 zmin (|111| 2 )21 2. z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax(12)2(10)22. z 的取值范围为1 2，2 易错疑难辨析易错疑难辨析 设变量 x、y 满足条件 3x2y10 x4y11 xZ，yZ x0，y0 ， 求 S5x4y 的最大值 错解 依约束条件画出可行域如图所示， 如先不考虑 x、y 为整数的条件，则当直线 5x4yS 过点 A(9 5， 23 10)时，S5x4y 取最大值，Smax 91 5 . 因为 x、y 为整数，而离点 A 最近的整点是 C(1,2)，这时 S 13，所以求的最大值为 13. 辨析 显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S 14，故上述解法不正确 对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点 最近的整点 而要先对边界点作目标函数tAxBy的图象， 则最优解是在可行域内离直线tAxBy最近的 整点 正解 依约束条件画出可行域如上述解法中的 图示，作直线l：5x4y0，平行移动直线l经过 可行域内的整点B(2,1)时，Smax14.
