1、数数 列列 第二章第二章 2.1 数数 列列 第二章第二章 第第2课时课时 数列的递推公式数列的递推公式(选学选学) 课前自主预习课前自主预习 某餐厅供应1000名学生用餐，每星期一有A、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A菜的 学生中有20%在下周一选B菜，而选B菜的学生中 有30%在下周一选A菜用An、Bn分别表示在第n 个星期一选A菜、B菜的学生数，试写出An与An 1的关系及Bn与Bn1的关系 解析 由题意，得 AnBn1000 An0.8An10.3Bn1 Bn0.2An10.7Bn1 ， 由An1Bn11000，得 Bn11000An1， An0.8An10.3(1000An
2、1)0.5An1300. 同理，Bn0.2(1000Bn1)0.7Bn10.5Bn1200. 1如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或 某一项)开始的_与它的_(或前 几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的_，如a11，an1an 2就是一个递推公式 2给出递推公式及初始值的数列，例如：an1an an1，a1a21，这样给出的数列是一个确定的数 列，即_也是给出数列的一种方法 任一项an 前一项an1 递推公式 递推公式 1.已知数列an，a11，anan1n 1(n2)，则a6( ) A7 B11 C16 D17 答案 C 解析 a11，anan1n1
3、(n2)， a2a11，a2a112， a3a22，a3a224， a4a33，a4a337， a5a44，a5a4411， a6a55，a6a5516. 2已知数列an对任意的p、qN*满足apq apaq，且a26，那么a10等于( ) A165 B33 C30 D21 答案 C 解析 对任意p、qN*都有apqapaq. a10a8a2a4a4a25a230. 3数列an满足关系anan11an1(nN )，且a2 0142，则a2 012等于( ) A3 B3 C2 D2 答案 A 解析 由已知，得an 1an1 an1 1 an1 1，所以a2 013 1 a2 0141 1 21
4、1 2，a2 012 1 a2 0131 1 1 2 13. 4已知f(1)2，f(n1) fn1 2 (nN)，则f(4) _. 答案 9 8 解析 f(1)2，f(n1)fn1 2 (nN*)， f(2)f11 2 3 2，f(3) f21 2 5 2 2 5 4， f(4)f31 2 5 41 2 9 8. 5已知数列an，a11，an an1n1(n2)，则 a6 a8 _. 答案 6 7 解析 解法一：a11，an an1n1(n2)， a2 1 a11，a3 2 a22，a4 3 a3 3 2，a5 4 a4 8 3， a6 5 a5 15 8 ，a7 6 a6 16 5 ，a8
5、7 a7 35 16. a6 a8 15 8 16 35 6 7. 解法二：由题意得，a7 a66，a8 a77， 两式相除即得a6 a8 6 7. 课堂典例讲练课堂典例讲练 根据数列的递推公式，写出它的前几项，并 归纳出通项公式 已知数列an分别满足下列条件，写出它的前 五项，并归纳出各数列的一个通项公式 (1)a10，an1an(2n1)； (2)(20132014学年度湖北黄冈中学高二期中测试)a1 3，an1 3an an3. 分析 此数列是用递推公式给出的，已知a1就可递推出 a2，依此类推，可求出它的任一项 解析 (1)a10，an1an(2n1)， a2a1(211)1， a3a
6、2(221)4， a4a3(231)9， a5a4(241)16， 它的前五项为0,1,4,9,16，此数列又可写成 (11)2，(21)2，(31)2，(41)2，(51)2， (11)2，(21)2，(31)2，(41)2，(51)2， 故该数列的一个通项公式为an(n1)2. (2)a13，an1 3an an3， a23 2，a3 3 3，a4 3 4，a5 3 5， 它的前五项依次为3，3 2， 3 3， 3 4， 3 5. 故它的一个通项公式为an3 n. 点评 已知数列的递推公式写出数列的前五项是高考的 基本要求归纳猜想数列的通项公式可锻炼学生的观察能力与 推理能力 在数列an中
7、，a11,4an1anan12an 9(nN)，写出它的前4项并归纳出用n表示 an的式子 分析 通过已知条件，我们可以找到an与an 1的递推关系式，再通过所求的递推关系我 们可以求出这个数列的前4项 解析 4an1anan12an9(nN)， an1(4an)2an9. an1(4an)92an. an192a n 4an . a292a 1 4a1 921 41 7 3， a392a 2 4a2 927 3 47 3 13 5 ， a492a 3 4a3 9213 5 413 5 19 7 . 故这个数列的前4项为1， 7 3 ， 13 5 ， 19 7 ，可归纳出通项公式 an6n5
8、2n1. 某人上一段11级的楼梯，如果一步 可上一级，也可上两级，则他共有多少种不 同的上楼梯的方法？ 解析 设此人上n级楼梯共有an种不同的方 法当第一步上一级时，则余下n1级楼 梯，有an1种不同的上法；当第一步上两级 时，则余下n2级楼梯，共有an2种不同的 上法，anan1an2. 显然，a11，a22，a33，a45，a5 8，a613，a721，a834，a955，a10 89，a11144. 共有144种不同的上楼梯的方法 递推公式在实际问题中的应用 ABC是等边三角形，其边长为a1a，取 ABC的三边中点连线，则形成一个等边三角 形A1B1C1，其边长为a2，再取A1B1C1的
9、三 边中点连线，又形成A2B2C2也为等边三角 形，其边长为a3，则数列an的递推公式 为_ 答案 an a n1 1 2an 1n2，且nN 解析 由几何知识知，等边三角形各边中点连线为三角 形的中位线，其长度为原等边三角形边长的一半 an的递推公式为 an a n1 1 2an 1n2，且nN . 由递推公式求通项公式 已知数列an，a11，anan1 1 nn1 (n2)，求数列an的通项公式 解析 anan1 1 nn1，(n2)， a2a1 1 21，a3a2 1 32，a4a3 1 43， anan1 1 nn1(n2) 以上各式相加，得 ana1 1 21 1 32 1 43 1
10、 nn1. 又 1 nn1 1 n1 1 n， ana111 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n1 1 n1 1 n， ana111 n2 1 n 2n1 n (n2) a11满足上式，an2n1 n (nN*) 点评 对于由递推公式给出的数列，认真观察，发现式 子特点，像anf(n)an1或anan1g(n)这种形式常用叠加法 解决 已知数列an，a11，(n1)an1nan，求 通项公式an. 解析 (n1)an1nan，a n1 an n n1. a2 a1 1 2， a3 a2 2 3， a4 a3 3 4， an an1 n1 n (n2) 以上各式相乘，得an a1 1 n
11、. ana1 n 1 n(n2)，又a11满足上式，an 1 n(nN *) 易错疑难辨析易错疑难辨析 已知数列an，a1a(a0，a1)，ana an 1(n2)，定义bnan lgan，如果数列bn是递增数列，求a的取 值范围 错解 ana an1(n2)， an an1a(n2) a2 a1a， a3 a2a， a4 a3a， an an1a(n2) 将以上各式相乘，得 an a1a a a a n1个 an 1， ana1 an 1an(n2)， 又a1a满足上式，anan(nN*) bnan lganan lgannanlga， 由bn1 2. 辨析 上述解法分离参数a时，忽视了对正
12、数a与1的大 小关系的比较另外，对于数列 n n1 的项的变化趋势理解不 深刻是错求a的范围的又一原因 正解 ana an1(n2)， an an1a(n2) a2 a1a， a3 a2a， a4 a3a， an an1a(n2) 将以上各式相乘，得 an a1a n1，a na1a n1an(n2) 又a1a满足上式，anan(nN*) bnan lganan lgannan lga. 由bn0，式为n n n1对一切nN 恒成立， 由于数列 n n11 1 n1为递增数列，且 n n11. (2)当0a1时，lga(n1)a， 即a n n1对一切nN 恒成立 由于1 2 n n11，0a 1 2. 综上所述，数列bn是递增数列时a的取值范围是(0， 1 2) (1，)
