1、数数 列列 第二章第二章 2.3 等比数列等比数列 第二章第二章 第第3课时课时 等比数列的前等比数列的前n项和项和 课前自主预习课前自主预习 一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不 愿意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如 下条件：在30天中，每天借给穷人10万元借 钱第一天，穷人还1分钱；第二天，还2分钱， 以后每天所还的钱数都是前一天的2倍，30天后， 互不相欠穷人听后觉得很划算，本想一口气 定下来，但又想到富人平时是吝啬出了名的， 怕上当受骗，所以很为难本节课我们来想个 办法帮助这个穷人. 1等比数列的前n项和公式 已知 量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 公式 Sn q1 q1
2、 Sn q1 q1 na1 a11qn 1q na1 a1anq 1q 2.等比数列前 n 项和的性质 (1)在等比数列的前 n 项和公式 Sna 11q n 1q 中，如果令 A a1 q1，那么 Sn_. (2)在等比数列an中，Sn为其前 n 项和 当 q_且 k 为_时，Sk，S2kSk，S3kS2k(k N)不是等比数列； 当_或 k 为_时，数列 Sk，S2kSk，S3k S2k(kN)是等比数列 AqnA 1 偶数 q1 奇数 1.已知等比数列an中，a11，ak243，q 3，则Sk( ) A362 B363 C364 D368 答案 C 解析 根据等比数列前 n 项和公式，得
3、 Ska 1akq 1q 12433 13 364，故选 C 2设 Sn为等比数列an的前 n 项和，8a2a50，则S5 S2 ( ) A11 B5 C8 D11 答案 D 解析 由 8a2a50，得 q3a5 a28，q2. S5 S2 a1125 a112211. 3设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前 n 项和已 知 a2a41，S37，则 S5( ) A15 2 B31 4 C33 4 D17 2 答案 B 解析 an是由正数组成的等比数列，且 a2a41， 设an的公比为 q，则 q0，且 a2 31，即 a31. S37，a1a2a3 1 q2 1 q17， 即 6q2q10
4、. 故 q1 2，或 q 1 3(舍去)， a1 1 q24. S5 41 1 25 11 2 8(1 1 25) 31 4 . 4若数列an满足：a11，an1 2an(nN*)，则a5_；前8项的和S8 _.(用数字作答) 答案 16 255 解析 qa n1 an 2，a5a1 q416， S8a 11q 8 1q 281255. 5(2013广东文，11)设数列an是首项为1， 公比为2的等比数列，则a1|a2|a3 |a4|_. 答案 15 解析 本题考查等比数列基本运算 a11，q2，则|a2|2，a34，|a4|8， a1|a2|a3|a4|15. 6等比数列an的前n项和为Sn
5、，点(n，Sn)在 函数y3x1m的图象上，求m的值 解析 点(n，Sn)在函数 y3x 1m 的图象上， Sn3n 1m. a1S19m，a2S2S118，a3S3S254， a2 2a1a3，即 181854(9m)， 解得 m3. 课堂典例讲练课堂典例讲练 等比数列求和公式中有关基本量的计算 在等比数列an中，a1an66，a2 an1128， Sn126，求 n 和 q. 分析 本题可用给出的三个条件组成关于 a1、n、q 的方 程组来解，但较为繁琐，如果利用等比数列的性质，将 a2 an1 转变成 a1 an， 这样易解得 a1和 an， 然后再求 n 和 q 则较为简便 解析 a2
6、 an1a1 an，a1an128， 解方程组 a1an128 a1an66 得 a164 an2 ，或 a12 an64 . 将代入 Sna 1anq 1q ， 可得 q1 2，由 ana1q n1 可解得 n6. 将代入 Sna 1anq 1q ，可得 q2， 由 ana1qn 1 可解得 n6. 点评 (1)解此类问题的一般思路为列方程组解出相关 量，但常运用等比数列的性质使问题由繁化简 (2)当已知 a1、q(q1)时，用公式 Sna 11q n 1q 求和方便， 如果已知 a1、q、an时，用公式 Sna 1anq 1q 较为方便 已知数列an为等比数列，Sn是它的前 n 项和若 a
7、2 a3 2a1，且 a4与 2a7的等差中项为5 4，则 S5( ) A35 B33 C31 D29 答案 C 解析 设公比为 q， 由 a2 a32a1， 得 a1a42a1， 又 a10， a42，又 a42a75 2， a71 4，q 3a7 a4 1 8， q1 2，a116. S5a 11q 5 1q 1611 2 5 11 2 31. 等比数列前n项和的性质 在等比数列an中，已知 Sn48，S2n60，求 S3n. 解析 解法一：S2n2Sn，q1. 由已知得 a11qn 1q 48 a11q2n 1q 60 得 1qn5 4， 即 qn1 4， 代入得 a1 1q64， S3
8、na 11q 3n 1q 64(1 1 43)63. 解法二：an为等比数列， Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列， (S2nSn)2Sn(S3nS2n)， S3nS 2nSn 2 Sn S2n6048 2 48 6063. 等比数列an中，S27，S691，求 S4. 解析 解法一：an为等比数列，S2，S4S2，S6 S4也为等比数列， (S47)27(91S4)，解得 S428 或21. S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2S2S2q2 S2(1q2)0， S428. 解法二：S27，S691，q1. a11q2 1q 7 a11q6 1q 91 ， 得 q 4q2120，
9、q23，q 3. 当 q 3时，a17 31 2 ，S4a 11q 4 1q 28. 当 q 3时，a17 31 2 ，S4a 11q 4 1q 28. 等比数列前n项和公式的实际应用 从社会效益和经济效益出发， 某地投入资金进行 生态环境建设，并以此发展旅游产业根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少1 5，本年度当地旅游业收 入估计 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今 后的旅游业收入每年会比上年增加1 4. (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总 收入为 bn万元，写出表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
10、 解析 (1)第一年投入为 800 万元，第二年投入为 800(1 1 5)万元，第 n 年的投入为 800(1 1 5) n1 万元 所以， n 年内的总投入为： an800800(11 5)800(1 1 5) n14 0004 000(4 5) n(万元)； 第一年旅游业收入为 400 万元， 第二年旅游业收入为 400(11 4)万元， 第 n 年旅游业收入为 400(11 4) n1 万元 所以 n 年内的旅游业总收入为 bn400400(11 4)400(1 1 4) n1 1 600(5 4) n1 600(万元) (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bn
11、an0， 即 1 600(5 4) n1 6004 0004 000(4 5) n0， 化简得 2(5 4) n5(4 5) n70， 设(4 5) nx，代入上式得 5x27x20. 解此不等式，得 x1(舍去)， 即(4 5) nT10，故王明选择了 A 公司 错位相减法求数列的前n项和 求数列1 2， 3 4， 5 8， 7 16， 2n1 2n 的前 n 项和 分析 本题中的数列是由数列 1,3,5,7， 与1 2， 1 4， 1 8， 1 16， 的各项对应相乘得到的，前面的数列是等差数列，后面的数列 是等比数列，可用错位相减法求和 解析 设 Sn1 2 3 22 5 23 2n1
12、2n ， 则 2Sn13 2 5 22 2n1 2n 1. ，得Sn12(1 2 1 22 1 23 1 2n 1)2n1 2n 12 1 21 1 2n 1 11 2 2n1 2n 12 1 2n 22n1 2n 32n3 2n ， Sn32n3 2n . (2013 湖南文，19)设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a10,2ana1S1 Sn，nN*. (1)求 a1、a2，并求数列an的通项公式； (2)求数列nan的前 n 项和 解析 (1)令n1，得2a1a1a，即a1a， 因为a10，所以a11，令n2，得2a21 S21a2，解得a22. 当n2时，由2an1Sn,2an1
13、1Sn1两式 相减得2an2an1an，即an2an1， 于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列， 因此，an2n1. 所以数列an的通项公式为an2n1. (2)由(1)知，nann2n1. 记数列n2n1的前n项和为Bn，于是 Bn122322n2n1， 2Bn12222323n2n. 得Bn12222n1n2n 2n1n2n. 从而Bn1(n1)2n. 易错疑难辨析易错疑难辨析 求和 1,3x,5x2,7x3，(2n1)xn 1. 错解 Sn13x5x2(2n1)xn 1， xSnx3x25x3(2x1)xn， 两式相减得(1x)Sn12x(1xxn 2)(2n1)xn 1(2n1)xn2x1x n1 1x ， Sn2n1x n12n1xn1x x12 . 辨析 在等比数列an中，若公比 q1，则 Snna1，若 q1，则 Sna 11q n 1q ，因此在解含参数的等比数列求和问题 时，一定要注意其公比是什么，能否取到 1. 正解 (1)当 x1 时，Sn135(2n1)n2， Snn2. (2)当 x1 时，Sn13x5x2(2n1) xn 1， xSnx3x25x3(2n1)xn， 相减得(1x)Sn12x(1xx2xn 2)(2n1)xn 1(2n1)xn2x1x n1 1x ， Sn2n1x n12n1xn1x x12 .
