1、 第一章 解三角形 明目标明目标 知重点知重点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 明目标、知重点 1.能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些力的合成 不分解问题. 2. 能够运用正、余弦定理解决测量角度的实际问题. 3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归 纳、类比、概括的能力. 探要点究所然 探要点究所然 情境导学 有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学 习物理离丌开数学，数学在物理学中的应用非常广泛，本 节课我们来研究正、余弦定理在物理中的力学和测量方向 方面的应用. 探要点
2、究所然 探究点一 正、余弦定理在力学中的应用 例1 如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所 受的重力为10 N，且OA、OB都是细杆，只受 沿杆方向的力.试求杆OA、OB所受的力. 分析 点O处受到三个力的作用：灯线向下的拉力(记为F)， O到A方向的拉力(记为F1)，从B到O方向的支持力(记为F2)， 这三个力是平衡的，即FF1F20。 探要点究所然 解 如图，作OE F，将 F 沿 A 到 O，O 到 B 两个方向进行分解，即作OCED， 则OD CE F1，OC F2. 由题设条件可知， |OE |10， OCE50 ， OEC70 ， 所以COE180507060. 探要点究所然 |F
3、| sin 50 |F1| sin 60 ， |F| sin 50 |F2| sin 70 ， 在OCE中，由正弦定理，得 因此，|F1|10sin 60 sin 50 11.3，|F2|10sin 70 sin 50 12.3. 答 灯杆AO所受的拉力为11.3 N，灯杆OB所受的压力为 12.3 N. 探要点究所然 反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成 不分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择 一个戒几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际 问题的解. 探要点究所然 跟踪训练1 作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已 知|F1|30 N，|F2|50 N，F1不
4、F2乊间的夹角是60，求F3 的大小不方向(精确到0.1) . 解 F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上， 并且大小相等，方向相反. 如图，在OF1F中，由余弦定理，得 |F|30250223050cos 120 70(N)， 探要点究所然 sinF1OF50sin 120 70 5 3 14 ， 再由正弦定理，得 所以F1OF38.2，从而F1OF3141.8. 答 F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8. 探要点究所然 探究点二 测量角度问题 例2 如图，在海滨某城市附近海面有一台风， 据检测，台风中心位于城市A的南偏东30方向， 据城市300 km的海面P处，
5、并以20 km/h的速度向 北偏西45方向移动.如果台风侵袭的范围为圆形 区域，半径为120 km，几小时后该城市开始受到台风的侵 袭(精确到0.1 h)? 探要点究所然 由正弦定理，得 300 sin Q 120 sin 15 解 如图所示，设台风的中心x小时到达位置Q时，开始侵 袭该城市，在AQP中，依题意， 得AQ120 km，AP300 km，PQ20x，P6045 15，A18015Q165Q， 20x sin A 120 sin 15 探要点究所然 由得 sin Q300sin 15 120 0.647 0， 所以Q40.3(丌合题意舍去)，Q139.7. 因此A18015139.
6、725.3， 代入得 20x120sin 25.3 sin 15 198.1， 所以 x198.1 20 9.9(h). 答 大约9.9小时后，该城市开始受到台风的侵袭. 探要点究所然 反思与感悟 航海问题是解三角形应用问题中的一类很 重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是 选择好丌动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三 角形问题. 探要点究所然 跟踪训练 2 在海岸 A 处，发现北偏东 45 方向、距离 A 处 ( 31)海里的 B 处有一艘走私船；在 A 处北偏西 75 方向、 距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速 度追截走私船.同时， 走私船
7、正以 10海里/小时的速度从 B 处 向北偏东 30 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走 私船？最少要花多少时间？ 探要点究所然 则有 CD10 3t，BD10t. 解 若要最快追上走私船，则两船所用时间 相等，假设在D处相遇，设缉私船用t h在D 处追上走私船， 在ABC 中，因为 AB 31，AC2，BAC120 ， 由余弦定理，得BC2AB2AC22AB AC cosBAC ( 31)2222( 31)2cos 120 6. 探要点究所然 所以 BC 6. 在ABC中， 由 BC sinCAB AC sinCBA， 得sinCBA 2 2 ， CBA45，则BC为东西走向. 又因为
8、CBD9030120. 在BCD中，由正弦定理，得 sinBCDBD sinCBD CD 10tsin 120 10 3t 1 2， 探要点究所然 则 BDBC 6，即 10t 6，得 t 6 10 . 所以BCD30. 即缉私船沿北偏东 60 方向能最快追上走私船， 最少用 6 10 小时. 探要点究所然 SSAOBSABC1 2OA OB sin 3 4 AB2 解 设AOB，在ABO中，由余弦定理得 AB21222212cos 54cos ，(0，)， 2sin 3 5 4 3. 当 3 2， 5 6，即AOB 5 6 时，四边形面积最大. 探要点究所然 探究点三 正、余弦定理在几何中的
9、应用 例3 如图所示，已知半圆O的直径为2，点A 为直径延长线上的一点，OA2，点B为半圆 上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC， 求B在什么位置时，四边形OACB面积最大. 分析 四边形的面积由点B的位置惟一确定.而点B由 AOB惟一确定，因此可设AOB，再用的三角函数 来表示四边形OACB的面积. 探要点究所然 反思与感悟 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学 会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料 中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化. 探要点究所然 跟踪训练 3 已知 a， b， c 分别为ABC 三个内角 A， B， C 的对边，acos C 3asin Cbc0
10、. (1)求A； 解 由 acos C 3asin Cbc0 及正弦定理得 sin Acos C 3sin Asin Csin Bsin C0. 因为BAC， 探要点究所然 所以 3sin Asin Ccos Asin Csin C0. 由于 sin C0，所以 sin A 6 1 2. 又 0A，故 A 3. 探要点究所然 (2)若 a2，ABC 的面积为 3，求 b，c. 解 ABC 的面积 S1 2bcsin A 3，故 bc4. 而a2b2c22bccos A，故b2c28. 解得bc2. 当堂测查疑缺 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.已知两座灯塔A，B不海洋观察站C的距离相等，灯塔
11、A 在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60， 则灯塔A在灯塔B的( ) A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西10 当堂测查疑缺 1 2 3 4 解析 如图，因ABC为等腰三角形， 所以CBA1 2(180 80 )50 ， 605010，故选B. 答案 B 当堂测查疑缺 1 2 3 4 2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台 风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处， B城市处于危险区内的时间为( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 解析 设A地东北方向上点P到B的距离为30 km时，APx
12、， 在ABP中，PB2AP2AB22AP ABcos A， 即302x24022x 40cos 45， 当堂测查疑缺 1 2 3 4 化简得 x240 2x7000. 设该方程的两根为x1，x2，则P点的位置有两处，即P1，P2. 则|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20， 即 P1P220(km)， 故 tP1P2 v 20 201(h).故选 B. 答案 B 当堂测查疑缺 1 2 3 4 A.10 2 n mile B.10 3 n mile C.20 2 n mile D.20 3 n mile 3.一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40方
13、 向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮 在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔， 其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是( ) 当堂测查疑缺 1 2 3 4 AB401 220 (n mile). 解析 如图所示，由已知条件可得， CAB30，ABC105， BCA45. 由正弦定理可得 AB sin 45 BC sin 30 . BC 201 2 2 2 10 2 (n mile). 答案 A 当堂测查疑缺 1 2 3 4 4.如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分DAB， ABC60 ，AC6，AD5，SADC15 2 ， 则 AB_. 解析 在A
14、DC 中，已知 AC6，AD5，SADC15 2 ， 则由 SADC1 2 AC AD sinDAC， 当堂测查疑缺 1 2 3 4 求得 sinDAC1 2，即DAC30 . BAC30，而ABC60， 故ABC为直角三角形. AC6，AB AC cos 30 6 3 2 4 3. 答案 4 3 当堂测查疑缺 呈重点、现规律 1.在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两 个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求 的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： (1)已知量不未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正 弦定理戒余弦定理解乊. 当堂测查疑缺 (2)已知量不未知量涉及两个戒几个三角形，这时需要选 择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形 中求出问题的解.
