1、 五省优创名校五省优创名校 2020 年普通高等学校招生全国年普通高等学校招生全国 I I 卷第四次联考卷第四次联考. 数学数学(文文科科) 考生注意考生注意: 1.本试卷分第本试卷分第 I 卷卷(选择题选择题)和第和第 I 卷卷(非选择题非选择题)两部分两部分，共共 150 分分.考试时间考试时间 120 分钟分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容本试卷主要考试内容:高考全部内容。高考全部内容。 第第 I 卷卷 一一、选择题、选择题:本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题
2、给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合1,2,3,4,5,6 ,2,4,5 ,2,3,4,6UAB,则 U C AB=（ ） A. 1,3,6 B. (3,6 C. 2,6 D. 2,3,4 2.若 2020 3 1 ii z i ，则z在复平面内对应点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.3507017020cossinsinsin =( ) A. 3 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 2 4.已知 f x为定义在R上的偶函数，当1()0x ，时， 4 3 3 x f x ，则 3 () 3 2 f
3、 log( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3 5.高考“3+3“模式指考生总成绩由语文、数学、外语 3 个科目成绩和高中学业水平考试 3 个科目成绩组成. 计人总成绩的高中学业水平考试科目,由考生根据报考高校要求和自身特长,在思想政治、历史地理、物理、 化学、生物 6 个科目中自主选择.某中学为了解本校学生的选择情况,随机调查了 100 位学生的选择意向，其 中选择物理或化学的学生共有 40 位,选择化学的学生共有 30 位,选择物理也选择化学的学生共有 10 位，则 该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 6.在ABC中，角
4、A BC， ，所对的边分别为, ,a b c，已知43bcosBsinCc，则B=( ) A. 6 或 5 6 B. 4 C. 3 D. 6 或 3 7.函数 2 cos ln(1) x f x xx 的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 8.明代数学家程大位(15331606 年)，有感于当时筹算方法的不便，用其毕生开始心血写出算法统宗 ，可 谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若 输出的y的值为 2，则输人的x的值为( ) A. 7 4 B. 56 27 C.2 D.164 81 9.将函数 3 6 f xsinx 的图象
5、向右平移0m m个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原 来的 6 倍(纵坐标不变)，得到函数 g x的图象.若 g x为奇函数，则m的最小值为( ) A. 9 B. 18 C. 2 9 D. 24 10.点O在ABC所在的平面内，OAOBOC，|21|ABAC，,()AOABACR ， 且42()0，则|BC ( ) A. 7 3 B. 7 2 C.7 D.7 11.已知双曲线 22 22 1()00 xy ab ab ，的左、右顶点分别是,A B，双曲线的右焦点F为(2，0)，点P在 过F且垂直于x轴的直线l上，当ABP的外接圆面积达到最小时.点P恰好在双曲线上，则该双曲线的方 程为(
6、) A. 2 2 1 3 x y B. 2 2 1 3 y x C. 22 1 22 xy D. 22 1 44 xy 12.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计)， 底面直径为20cm， 高度为100cm， 现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装( ) (附:21.414，31.732，52.236) A.22 个 B.24 个 C.26 个 D.28 个 第第 II 卷卷 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13.某公司的老年人、 中年人、 青年人
7、的比例为2:6:4,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调 查,其中青年人数为 100,则n=_. 14.抛物线 2 1 12 yx的焦点坐标为_. 15.已知偶函数 ()f xxR,其导函数为 fx,当0x 时, 2 11 0,5 25 f xxfxf x ,则不等 式 2 1 f x x 的解集为_. 16.在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E是正方形 11 BBCC的中心，M为 11 C D的中点， 过 1 AM的 平面a与直线DE垂直.则平面a截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面面积为_. 三、解答题三、解答题：共共 70 分分.解答应写出文字
8、说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题，每每 道试题考生都必须作答道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了 80 名学生,调查他们每周运动的总时长 (单位:小时) ,按照0,5),5,10) ,10,15),15,20) ,20,25),25,30共 6 组进行统计,得到男生、女生每周运动的时长 的统计如下(表 1、2),规定每周运动 15 小时以上(含 15 小时)的称为“运动合格者
9、”,其中每周运动 25 小时以 上(含 25 小时)的称为“运动达人” 。 表 1:男生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25 25,30 人数 2 8 16 8 4 2 表 2:女生 时长 0,5) 5,10) 10,15) 15,20) 20,25 25,30 人数 0 4 12 12 8 4 (1)从每周运动时长不小于 20 小时的男生中随机选取 2 人,求选到“运动达人”的概率; (2)根据题目条件,完成下面 22 列联表，并判断能否有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与 性别有关. 每周运动的时长小于 15 小时 每周运动的时长不小于 15
10、 小时 总 计 男生 女生 参考公式: 2 2 ) ( (n adbc K abcdacbd ,其中nabcd . 参考数据: 2 0 ()P Kk 0.40 0.25 0.10 0.01 0 k 0.708 1.323 2.706 6.635 18.已知数列 n a满足 123 123 252525253 n nn aaaa (1)求数列 n a的通项公式； (2)设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T，证明： 11 226 n T 19.如图,在四棱锥 PABCD中，PC 平面ABCD,2 2,2 3,2 4PCABADBC , 90DABABC,点E为PD的中点. (1)证明
11、:CE AP ; (2)求点E到平面PAC的距离. 20.已知函数 f xxlnxx, x x g x e . (1)若不等式 2 f x g xax对1 )x，恒成立，求a的最小值； (2)证明： 1f xxg x . 21.已知 12 FF，分别是椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点，直线 2 3 yb与C交于, A B两点 2 90AF B，且 2 20 9 S F AB . (1)求C的方程； (2)已知点P是C上的任意一点， 不经过原点O的直线l与C交于MN，两点， 直线PMPNMNOP，的 斜率都存在，且0 MNOP kk，求 PMPN kk的值. (二)选考
12、题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 93xt yt (t为参数).以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 16 1 3sin . (1)求C和l的直角坐标方程； (2)已知P为曲线C上的一个动点，求线段OP的中点M到直线l的最大距离. 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 121f xxx. (1)求不等式 3f x 的解集； (2)若 3f x 的最小值为a.且xyza，求 22 2 12xyz的最小值. 202
13、0 年普通高等学校招生全国年普通高等学校招生全国 I 卷五省优创名校第四次联考卷五省优创名校第四次联考 数学参考答案数学参考答案(文文科科) 一一、选择题、选择题:本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. B 因为1,3,6 U C A,所以 3,6 U C AB 2. D 由题可知 1 3 2 1 i zi i ，z的虚部是 1. 3. B 3 35070170201020102030 2 cossinsinsincoscossinsincos 一
14、4. B 3 2 10 3 log ， 333 22324 ()()()2 33233 f logflogf log. 5. B 选择物理的学生人数为 40- 30+ 10= 20,即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值 为 20 0.2 100 . 6. D 由43bcosBsinCc，得43sinBcosBsinCsinC， 3 2 2 sin B ，2 3 B 或 2 3 ， 6 B 或 3 B . 7. A 222 ( ) ln ()1()ln1)ln cosco 1) s cosxxx fxx xxxxxx f ， f x为奇函数，排除BC，. 又 22 ()()( )
15、 22 ln1)ln1 3 ) 11 00fff ，排除D， 故选A. 8. C 341yxi，； 349162yyxi，； 3427523yyxi，； 34811604yyxi，； 34243484yyx 此时不满足3i ，跳出循环，输出结果为243484x，由题意2434842yx，得2x . 9. B 由 题 意 知 1 3 26 g xsinxm ， 因 为 g x是 奇 函 数 ， 所 以3 6 mkkZ ， 解 得 1 83 k mkZ ，.因为0m ，所以m的最小值为 18 . 10. D 由OAOBOC可知，点O为ABC的外心， 则 21 2 2 AB AOAB， 211 22
16、 AC AOAC，又AOABuAC， 所以 2 2 42 1 2 AO ABABAC ABAC AB AO ACAB ACACAB AC 因为42， 联立方程可得 5 1 63 AB AC 4 ，. 因为BCACAB， 所以 222 27BCACABAC AB，即7BC . 11. C 不妨设点P的坐标为(20)mm ，由于AB为定值，由正弦定理可知当sin APB取得最大值时， APB的外接圆面积取得最小值， 也等价于tan APB取得最大值，因为 22aa tan APFtan BPF mm ， 所以 2 22 2 2 1 ( 2 ) aa a mm tan APBtanAPFBPF aa
17、 b m mm m 2 2 2 aa b b m m ， 当且仅当 2 b m m 0m ，即当mb时，等号成立， 此时APB最大， 此时APB的外接圆面积取最小值， 点P的坐标为(2)b， 代人 22 22 1 xy ab ， 可得2a ， 22 2bca.所以双曲线的方程为 22 1 22 xy . 12. C 由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的 球心连线构成棱长为10cm的正四面体，易求正四面体相对棱的距离为5 2cm，每装两个球称为“一层” ， 这样装n层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为105 21ncm，若想要盖上盖子，则
18、需要满足 105 21100n，解得19 213.726n ，所以最多可以装 13 层球，即最多可以装 26 个球. 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把把答案填在答题卡中的横线上答案填在答题卡中的横线上. 13. 300 用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中青年人数为 10, 则 1004 264n ,解得 300n. 14. (0，3) 抛物线 2 1 12 yx的标准方程为 2 126xyp，所以焦点坐标为(0，3). 15. ()(, 5,)5 令 1 g xxf x x ,当0x 时, 2 1 0gx
19、f xxfx x , g x在(0,)上单调递增.因为 f x是偶函数,所以 g x是奇函数.因为 1 5 25 f,所以 1 5550 5 gf.不等式 2 1 f x x 等价 于 0 g x x ,所以 0 ( )0 x g x 或 0 ( )0 x g x 解得5x 或5x. 16.2 6 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，记AB的中点为N，连接 1 MCCNNA，则平面 1 AMCN即为 平面.证明如下： 由正方体的性质可知， 1 / /AMNC，则 1 AMCN， ，四点共面， 记 1 CC的中点为F，连接DF，易证DFMC. 连接EF，则EFMC，所以MC 平面DE
20、F，则DEMC. 同理可证，DENC，NCMCC，则DE 平面 1 AMCN， 所以平面 1 AMCN即平面，且四边形 1 AMCN即平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面. 因为正方体的棱长为 2，易知四边形 1 AMCN是菱形， 其对角线 1 2 3AC ，2 2MN ，所以其面积 1 2 22 32 6 2 S . 三、解答题三、解答题：共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题，每每 道试题考生都必须作答道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考
21、生根据要求作答. 17.解:(1)设每周运动的时长在20,25)中的男生为, ,A B C D在25,30中的男生为,E F其中,E F中至少有 1 人被抽到的可能结果为 ,A EB EC ED EA FB FC FD FE F共 9 个， 所以抽到“运动达人”的概率为 93 155 (2)每周运动的时长小于 15 小时的男生有 26 人,女生有 16 人; 每周运动的时长不小于 15 小时的男生有 14 人,女生有 24 人， 可得下列 22 列联表: 每周运动的时长小于 15 小时 每周运动的时长不小于 15 小时 总 计 男生 26 14 40 女生 16 24 40 合计 42 38
22、80 2 2 40 40 42 80 (2 38 6 24 14 16)2000 66.635 399 K 所以没有 99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 18.(1)解： 123 123 252525253 n nn aaaa 当1n 时， 1 4a 当2n时， 1231 12311 252525253 n nn aaaa 由-，得 35 2 2 () n n an ， 因为 1 4a 符合上式，所以 35 2 n n a . (2)证明： 1 14411 () (35)(38)3 3538 nn a annnn 12231 111 n nn T a aa aa a 4
23、 111111 ()()() 3 81111143538nn 4 11 () 3 838n 因为 11 0 3811n ，所以 11 226 n T 19. (1)证明:取CD的中点F,连接,AF PF. 在直角梯形ABCD中,2 3,24,90ABADBCDABABC , 所以4ACADCD 又因为F为CD的中点,所以AFCD. 因为PC 平面ABCD,AF 平面ABCD, 所以PCAF, 又因为PCCDC, 所以AF 平面PCD,所以AFCE. 在直角PCD中,2 2 ,4,PCCDE F分别为,PD CD的中点， 因为 2 2 PCCF CDPC ,所以PCDFCP,所以CPFPDCEC
24、D, 所以CEPF. 又因为,AF PF 平面PAF,AFPFF , 所以CE 平面PAF,则CEAP. (2)解:设点E到平面PAC的距离为h,由(1)可知AF 平面PCD, 所以 11 33 A PCEE PACPACPAC VVh SAF S 整理得 1 2 32 2 2 2 3 1 4 2 2 2 PAC PAC AF S h S 所以点E到平面PAC的距离为3. 20.(1)解： 2 ( ) ( )f x g xax，即 2 x x e xlnxxax，化简可得 ln1 x a x e 令 1 x lnx k x e ， 1 (1) x lnx x kx e 因为1x，所以 1 1
25、x ，1 1lnx ， 所以 0kx ， k x在1,)+上单调递减， 1 1k xk e . 所以a的最小值为 1 e . (2)要证 1f xxg x ，即10xlnxx ， 两边同除以x可得 11 x lnx xe 设 1 t xlnx x ，则 22 111 x tx xxx 在(0 ) 1 ，上， 0tx 0t x ，所以 t x在(0 ) 1 ，上单调递减， 在(1)，上， 0tx ，所以 t x在(1)，上单调递增.所以 11t xt 设 1 x h x e ，因为 h x在(0)，上是减函数，所以 01h xh， 所以 t xh x，即 1f xxg x 21.解：(1)由题意
26、不妨设 3 () 52 , 3 Aab， 52 , 3 ) 3 (Bab， 则 22 ()( 5252 3333 ) abab F AcF Bc ， 90AF B 2 22 0F A F B 22 45ab 又 2 12 5220 2339 FAB ab S 2 5ab 5,2ab 故C的方程为 22 1 54 xy (2)设 00 ()P xy， 11 ()M xy， 22 ()N xy，则 0 0 op y k x 0 opMN kk， 0 0 MN y k x 设直线MN的方程为 0 0 )0( y yxm m x ， 联立 0 0 22 1 54 y yxm x xy 整理得 2222
27、2 00000 4510540xyxmx y xxm一. P在C上， 22 00 4520xy 上式可化为 222 000 4240xmx y xxm 22 22222 000 1212000 ,4(416)0 24 mx ym x xxx xxx m ym 2 00 1212 0 2 ()2 5 ymx yyxxm x 22 2 000 12120 00 ()() 5 yym x y yxmxmy xx 222 2 000 1020120120 2 ()()() 5 m xmx y yyyyy yyyyy 1020 1020 4 5 PMPN yyyy kk xxxx 22.解：(1)由 2
28、 2 16 1 3sin 得 222 3sin16， 则曲线C的直角坐标方程为 22 416xy，即 22 1 164 xy . 直线l的直角坐标方程为390xy. (2)可知曲线C的参数方程为 4cos 2sin x y (为参数)， 设420 2()Pcossin， 则()2Mcossin，到直线390lxy：的距离为 2397()9 97 222 cossinsin d 所以线段OP的中点M到直线l的最大距离为 97 2 23.解：(1) 3 ,1 1 2, 1 2 1 3 , 2 x x f xxx x x 当1x时，由33x，解得1x； 当 1 1 2 x 时，由23x ，解得1x ； 当 1 2 x ，时，由33x ，解得1x. 所以所求不等式的解集为11| x xx或 (2)由(1)知，当 1 2 x 时， min 3 2 af x，所以 3 2 xyz 因为 2 12xyz 22 2 1221212xyzx yx zyx 22 2 312xyz ， 由 3 2 xyz，可知 281 12 4 xyz 所以 22 2 27 12 4 xyz， 当且仅当 311 222 xyz ，时，等号成立. 所以 22 2 12xyz的最小值为 27 4 .
