1、1第七章第七章 远期与期货定价远期与期货定价2第一节第一节 基础知识基础知识一、利率有关问题一、利率有关问题（一）单利（一）单利对利息不再计算利息，计算公式是：对利息不再计算利息，计算公式是：I=Anr F=A(1+nr)式中，式中，I为利息额，为利息额，A为本金现值，为本金现值，r为每期利率，为每期利率，n为为计息期数计息期数，F为本利和（终值）为本利和（终值）3(1+r)n也称为复利终值系数。也称为复利终值系数。复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额A 以利以利率率r 投资了投资了n 期，投资的终值是：期，投资的终值是：
2、（二）复利（二）复利n)r(AF 1例例 假设某投资者将假设某投资者将10001000元存入银行，存期元存入银行，存期5 5年，年利率年，年利率1010，按年，按年复利计息，复利计息，5 5年后的终值是年后的终值是10001000(1+10(1+10)5 51610.511610.51元。元。4nRAF)1(mnmRA)1(（三）连续复利（三）连续复利一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响。若一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响。若R为年利率，为年利率，则式则式说明一年复利一次的计算，其中说明一年复利一次的计算，其中A为投资额（本金现值）。为投资额（本金现值）。设一年内计设一
3、年内计m次复利，年利率为次复利，年利率为R，投资期限为投资期限为n年，则终值为：年，则终值为：我们通常所说的利率为年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分我们通常所说的利率为年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分为为2期、期、4期等。此时，表示出的年利率为名义利率（每年复利期等。此时，表示出的年利率为名义利率（每年复利n 次的次的年利率）。年利率）。5设本金设本金A100元，年利率元，年利率n10%，则年末终值如下表所示则年末终值如下表所示复利频率复利频率100元在一年末的终值元在一年末的终值每年（每年（m=1）110.00每半年（每半年（m2）110.25每季度（每季度（m=4）110.3
4、8每月（每月（m12）110.47每周（每周（m52）110.51每天（每天（m365）110.52即：当每年复利一次时，终值为：即：当每年复利一次时，终值为：100(1+10)110元；元；m=2时，终值时，终值F F为为：100(1+5)2110.25元；元；m4时，终值时，终值F F为：为：100(1+2.5)4110.38元；元；因此，年利率因此，年利率10%（名义）名义）保持不变，保持不变，提高计复利的频率使提高计复利的频率使100100元的年元的年末终值增大。末终值增大。当当m365时，终值时，终值F110.52元。元。6终值为终值为:mnmRm)1(limRnAemnmRAm)1
5、(lim如果将计息次数如果将计息次数m不断扩大，即计息频率不断提高，直到变为无穷大，不断扩大，即计息频率不断提高，直到变为无穷大，我们称之为连续复利我们称之为连续复利(continuous compounding)：若若A=100,R0.10,n1，以连续复利计终值为：以连续复利计终值为：100e0.1110.52元。（与元。（与m365比较）比较）。7（四）利率之间的转换（四）利率之间的转换11ln/mRmmccemRmRmRmnmnRmRAAec)1(在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相同时，连续复利的计息
6、利率最小。同时，连续复利的计息利率最小。如果如果Rc是连续复利的利率，是连续复利的利率，Rm为与之等价每年计为与之等价每年计m次复利的利率次复利的利率（以年利率表示），则有：（以年利率表示），则有：所以所以8由此得出：由此得出：nmmnmmmRAmRA2211)1()1(212/1 1)1(2112mmRRmmmm如果分别为如果分别为m1次与次与m2次复利的频率，则有：次复利的频率，则有：9根据题意已知，根据题意已知，m=2，Rm0.10，Rc2ln（1+0.1/2）0.09758，即连续复利的年息应为即连续复利的年息应为9.758例：例：某特定金额的年息为某特定金额的年息为10%10%，每半
7、年复利一次（半年计息一次），每半年复利一次（半年计息一次），求一个等价的连续复利的利率。求一个等价的连续复利的利率。例：例：假设某债务人借款的利息为年息假设某债务人借款的利息为年息8 8，按连续复利计息。而实际，按连续复利计息。而实际上利息是一年支付一次。则一年计一次息（上利息是一年支付一次。则一年计一次息（m1）的等价年利率为：的等价年利率为：0833.0108.0eRm即年利率为即年利率为8.338.33，这说明，对于，这说明，对于10001000元的借款，该债务人在年底要元的借款，该债务人在年底要支付支付83.383.3元的利息。元的利息。10二、现值与贴现二、现值与贴现现值的计算过程通
8、常被称作贴现，所用的利率称为贴现率。现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴现率。（一）现值（一）现值按贴现率按贴现率r 计算，计算，n 期后得到的金额期后得到的金额F F 的现值计算公式为的现值计算公式为：nrFA)1/(nr)1/(1被称作现值系数。被称作现值系数。（二）连续复利现值（二）连续复利现值在连续复利现值的情况下，按贴现率在连续复利现值的情况下，按贴现率r 计算，计算，n 年（期）后得到年（期）后得到F 元元的现值计算公式为：的现值计算公式为：rnFeA11三、投资性商品与消费性商品三、投资性商品与消费性商品所谓投资性商品所谓投资性商品（Investment assets）
9、系指投资者持有的、用于投系指投资者持有的、用于投资目的的商品（如股票、债券、黄金、白银等）；资目的的商品（如股票、债券、黄金、白银等）；消费性商品消费性商品（Consumption assets）则主要是用于消费的商品，这类则主要是用于消费的商品，这类商品一般不用于投资性目的（如铜、石油等）。商品一般不用于投资性目的（如铜、石油等）。四、合理的假定四、合理的假定1.1.交易费用为零；交易费用为零；2.2.所有交易的净利润适用同一税率；所有交易的净利润适用同一税率；3.3.参与者能够随时以相同的无风险利率借入和贷出资金；参与者能够随时以相同的无风险利率借入和贷出资金；4.4.当套利机会出现时，市
10、场参与者将主动、迅速地参与套利活动。当套利机会出现时，市场参与者将主动、迅速地参与套利活动。12第二节第二节 投资性商品的远期投资性商品的远期/期货合约定价期货合约定价远期价格与期货价格存在区别。但差别并不非常明显，尤其是短期，远期价格与期货价格存在区别。但差别并不非常明显，尤其是短期，可以将其忽略。因此，讨论中所使用的符号一般既适应远期价格又适可以将其忽略。因此，讨论中所使用的符号一般既适应远期价格又适应期货价格的分析。应期货价格的分析。符号的界定：符号的界定：T：远期合约至到期时的时间间隔（年）；远期合约至到期时的时间间隔（年）；S：远期合约标的资产的即期价格；远期合约标的资产的即期价格；
11、F：远期价格；远期价格；K：远期合约中的交割价格；远期合约中的交割价格；f：持有远期合约多头的合约价值持有远期合约多头的合约价值r：无风险利率无风险利率13一、不支付收益的投资资产远期价格一、不支付收益的投资资产远期价格 最基本、最易理解的类型。最基本、最易理解的类型。例如例如期限内不支付任何红利的股票以及贴现债券（零息票债券）或不考期限内不支付任何红利的股票以及贴现债券（零息票债券）或不考虑持有成本的黄金等资产。虑持有成本的黄金等资产。14当已知连续复利时当已知连续复利时TrSF)1(rTSeF 1.1.引例引例若黄金的当前价格为若黄金的当前价格为$1000，一年后到期的黄金远期合约价格为一
12、年后到期的黄金远期合约价格为$1050。一年期无风险利率为一年期无风险利率为4%（年复利率），不考虑黄金的持有成本与交（年复利率），不考虑黄金的持有成本与交易成本。此时，是否存在套利机会？若其他条件不变，远期价格变为易成本。此时，是否存在套利机会？若其他条件不变，远期价格变为$1020，此时是否存在套利机会？，此时是否存在套利机会？结论：合约到期期限内不支付收益资产的当前价格为结论：合约到期期限内不支付收益资产的当前价格为S，到期期限为到期期限为T 年的远期价格为年的远期价格为F，无风险利率（年复利利率）为无风险利率（年复利利率）为r，则有：则有：152 2.一般分析一般分析资产即期价格为资产
13、即期价格为S，远期合约到期时间为远期合约到期时间为T，r是无风险利率（连续复是无风险利率（连续复利），利），F 为远期价格。构造如下两个投资组合：为远期价格。构造如下两个投资组合：投资组合投资组合A A：即期购买即期购买1 1单位资产单位资产投资组合投资组合B B：1 1单位标的资产的远期合约多头单位标的资产的远期合约多头+数量为数量为Fe-rT 的现金的现金组合组合B B中，现金以无风险利率投资，时间中，现金以无风险利率投资，时间T后其价值为后其价值为F，正好用来交正好用来交割合约购买割合约购买1 1单位资产。单位资产。组合组合B B实际上是通过合约多头和现金组合复制实际上是通过合约多头和现
14、金组合复制了组合了组合A A中的中的1 1单位资产。单位资产。在时间在时间T后，组合后，组合A A、B B的价值相同。即期购买两种组合的成本应该相的价值相同。即期购买两种组合的成本应该相等，因而：等，因而：rTFeSrTSeF 16Another way of seeing this result,consider the following strategy:Buy one unit of the asset and enter into a short forward contract to sell it for F0 at time T.This costs S0 and is cer
15、tain to lead to a cash inflow of F0 at time T.S0 must therefore equal the present value of F0;that is S0=F0e-rT,or equivalently F0=S0erT 173.3.套利分析套利分析假定假定F SerT ，投资者可以：投资者可以：(1)(1)以无风险利率以无风险利率r 即期借入即期借入S，期限为期限为T，并购买并购买1 1单位资产。单位资产。(2)(2)卖出卖出1 1单位标的资产的远期合约。单位标的资产的远期合约。在时间在时间T 后，将资产按远期合约规定价格后，将资产按远期合
16、约规定价格F 卖掉，同时归还借款本卖掉，同时归还借款本息息SerT ，实现无风险利润。实现无风险利润。若若F00。在时间在时间T T后，以价格后，以价格F F交割单位资产，补回卖空的资产，并需支付现金交割单位资产，补回卖空的资产，并需支付现金收益收益IeIerTrT 。这样，在时刻这样，在时刻T T实现现金净流入（利润）实现现金净流入（利润）00。21Buy one unit of the asset and enter into a short forward contract to sell it for F0 at time T.This costs S0 and is certain
17、to lead to a cash inflow of F0 at time T and income with a present value of I.The initial outflow is S0,the present value of the inflows is F0e-rT+I.Hence S0=F0e-rT+Ior equivalently F0=(S0-I)erTAnother way of seeing this result,consider the following strategy:22案例分析案例分析面值面值10001000元债券当前价格为元债券当前价格为90
18、0900元，息票利率为元，息票利率为8 8，每半年付息一次。，每半年付息一次。若远期合约期限为若远期合约期限为1 1年，债券在年，债券在5 5年之后到期。在合约有效期限内该债年之后到期。在合约有效期限内该债券共支付两次利息，其中第二次付息日是远期合约交割日的前一天。券共支付两次利息，其中第二次付息日是远期合约交割日的前一天。6 6个月期和个月期和1 1年期连续复利的无风险年利率分别为年期连续复利的无风险年利率分别为9 9和和1010。债券利息的现值：债券利息的现值：I=40e-0.090.5+40e-0.11=38.24+36.19=74.43远期价格：远期价格：F=(900.00-74.43
19、)e0.11912.39元元23讨论讨论1 1：若远期价格为：若远期价格为920920元元借入借入900900元购买债券，并开立远期合约空头。该债券在元购买债券，并开立远期合约空头。该债券在6 6个月之后支付个月之后支付4040美元现金收益，其现值为：美元现金收益，其现值为：40e40e-0.09-0.090.50.5=38.24=38.24在在900900元中，元中，38.2438.24元可以以元可以以9 9的年利率借入的年利率借入6 6个月，在首次付息日收个月，在首次付息日收到到4040元之后偿还本金和利息，余下的元之后偿还本金和利息，余下的861.76861.76元则须以元则须以1010
20、的年利率借的年利率借入入1 1年。年。1 1年后所归还的本利和为：年后所归还的本利和为：861.76e861.76e0.10.11 1952.39 952.39 债券第二次付息收到债券第二次付息收到4040元，以远期合约价格卖出债券可获元，以远期合约价格卖出债券可获920920元，净元，净盈利为盈利为40+92040+920952.39952.397.677.67元元 讨论讨论2 2：若远期价格为：若远期价格为910910元（略）元（略）24三、已知红利率三、已知红利率(Known Yield)投资资产远期价格投资资产远期价格 TqrSeF)(qTerTFe已知红利收益率系指表示为资产价格百分
21、比的收益是已知的。如货币、已知红利收益率系指表示为资产价格百分比的收益是已知的。如货币、股票指数等可以认为属该类资产。股票指数等可以认为属该类资产。1.1.一般性结论一般性结论假设已知收益率为假设已知收益率为q q（连续复利），则有连续复利），则有：投资组合投资组合A A：即期购买即期购买 单位资产单位资产投资组合投资组合B B：1 1单位该标的资产的远期合约多头单位该标的资产的远期合约多头+的现金的现金投资组合投资组合A A在在T T时间后其价格正好等于时间后其价格正好等于1 1单位资产的价值。投资组合单位资产的价值。投资组合B B中中的现金以无风险利率投资，的现金以无风险利率投资，T T时
22、间后正好可以用于交割一单位资产。即时间后正好可以用于交割一单位资产。即时间时间T T后，投资组合后，投资组合A A和和B B具有相同的价值。期初价值也应相同：具有相同的价值。期初价值也应相同：qTrTSeFe252.2.套利分析套利分析如果如果F Se(r-q)T，套利者可以买入资产，卖出远期合约来实现无风险套利者可以买入资产，卖出远期合约来实现无风险利润：利润：F-Se(r-q)T。如果如果F 0时，交割价格为时，交割价格为K的期货合约多头头寸具有价值。的期货合约多头头寸具有价值。当当f r and F0 E(ST)-negative systematic risk,thenk E(ST)42本章结束本章结束
