1、第八章第八章 离散模型离散模型8.1 层次分析模型层次分析模型8.2 循环比赛的名次循环比赛的名次8.3 社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程8.4 公平的席位分配公平的席位分配8.5 存在公正的选举规则吗存在公正的选举规则吗8.6 价格指数价格指数离散模型离散模型 离散模型：离散模型：代数方程与代数方程与差分方程（第差分方程（第6章）、整数规划（第章）、整数规划（第4章）、图论、对策章）、图论、对策论、网络流、论、网络流、应用较广应用较广,是分析社会经济系统的有力工具是分析社会经济系统的有力工具.只用到代数、集合及只用到代数、集合及(少许少许)图论的知识图论的知识.8.1 层次分析模
2、型层次分析模型背背景景 日常工作、生活中的决策问题日常工作、生活中的决策问题.涉及经济、社会等方面的因素涉及经济、社会等方面的因素.作比较判断时人的主观选择起相当大作比较判断时人的主观选择起相当大 的作用，各因素的重要性难以量化的作用，各因素的重要性难以量化.Saaty于于20世纪世纪70年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process)AHP一种一种定性与定量相结合的、定性与定量相结合的、系统化、层次化系统化、层次化的分析方法的分析方法目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居
3、住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途一一.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳 将决策问题分为将决策问题分为3个个层次层次：目标层：目标层O，准则层，准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，；每层有若干元素，各层元素间的关系各层元素间的关系 用相连的直线表示用相连的直线表示.通过通过相互比较相互比较确定各准则对目标的确定各准则对目标的权重权重，及各方，及各方 案对每一准则的权重案对每一准
4、则的权重.将上述两组权重进行将上述两组权重进行综合综合，确定各方案对目标的，确定各方案对目标的 权重权重.层次分析法将层次分析法将定性分析与定量分析定性分析与定量分析结合起来结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果完成以上步骤，给出决策问题的定量结果.1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1,0,)(层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性
5、的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa 一致比较一致比较允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况nwwwW,)(211 jiijwwa/令权向量),(Tnwwww21成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量不一致不一致nnnnnwww
6、wwwwwwwwwA2112111成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij,21满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量对于不一致对于不一致(但在允许范围内但在允许范围内)的成对比较阵的成对比较阵A,建议用对应于最大特征根建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权的特征向量作为权向量向量w，即，即wAw 2 4
7、6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度,即即aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强的重要性jiCC:jiCC:aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个.用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，阵，
8、算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优尺度较优.便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵1nnCI定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引
9、入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机随机模拟得到模拟得到aij,形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI.定义一致性比率定义一致性比率CR=CI/RI当当CR0.1时通过一致性检验时通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)
10、T018.0155073.5CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)个顶点的双向连通竞赛图，存在个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数正整数r，使邻接矩阵，使邻接矩阵A 满足满足Ar 0，A称称素阵素阵.eAAsskkk)1()(0001100011000110A排名为排名为1，2，4，3sskk)(,)(归一化后T1.4,(0.323,0.280,0.167,0.230)s用用s排名排名1234(4)1,2,3,4?素阵素阵A的最大特征根为正单的最大特征根为正单 根根，对应正特征向量，对应正特
11、征向量s，且且seAkkk lim000100100100110000001010111000111010A(1)T(4,3,3,2,2,1),s1234566支球队比赛结果支球队比赛结果T2.232,(0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104)s排名次序为排名次序为1，3，2，5，4，632,4 5排名排名 132456?(3)T(15,10,16,7,12,9),s(2)T(8,5,9,3,4,3),s(4)T(38,28,32,21,25,16)s1:4分分;2,3:3分分;4,5:2分分;6:1分分.v1能源利用量能源利用量,v2能源价格能源价格,v3能源
12、生产率能源生产率,v4环境质量环境质量,v5工业产值工业产值,v6就业机会就业机会,v7人口总数人口总数.8.3 社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程系统的元素系统的元素图的顶点图的顶点元素间的直接影响元素间的直接影响有方向的弧有方向的弧正面影响正面影响弧旁的弧旁的+号；负面影响号；负面影响弧旁的弧旁的号号带符号的有向图带符号的有向图符号、符号、客观规律；客观规律；方针政策方针政策例例 能源利用系统的预测能源利用系统的预测+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5Evvvvvvajijijiij若，为若为若，0,1100000011000000010000110000000010010
13、00000010001110A带符号有向图带符号有向图G1=(V,E)的邻接矩阵的邻接矩阵AV顶点集顶点集,E弧集弧集定性模型定性模型-vivj+某时段某时段vi 增加导致增加导致下时段下时段vj 增加增加(减少减少)带符号的有向图带符号的有向图G1+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v50000005.1100000005.100002.13.000000000100200000007.00002.18.05.00W加权有向图加权有向图G2及其邻接矩阵及其邻接矩阵W定量模型定量模型某时段某时段vi 增加增加1单位导致单位导致下时段下时段vj 增加增加wij单位单位jwivvij的特例视为
14、WAv70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加权有向图加权有向图G2,2,1,0,2,1),1()()1(tnitptvtviiininiiijjiijjtpatptpwtp11)()1(),()1(或)1()()1(tptvtv冲量过程冲量过程（Pulse Process)研究由某元素研究由某元素vi变化引起的系统的演变过程变化引起的系统的演变过程 vi(t)vi在时段在时段t 的的值值；pi(t)vi在时段在时段t 的的改变量改变量(冲量冲量)(),(),()(),(,),(),()(2121tptptptptvtvtvtvnnjwivvij冲
15、量过程模型冲量过程模型Wtptp)()1(Atptp)()1(或或能源利用系统的预测能源利用系统的预测简单冲量过程简单冲量过程初始冲量初始冲量p(0)中中某个分量为某个分量为1，其余为，其余为0的冲量过程的冲量过程.若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变.)0()0(pv)1()()1(tptvtvAtptp)()1(设设能源利用系统的能源利用系统的 p(t)和和v(t)-110-11-100011-10000t4p3p5p6p7p2p4v3v2v1v5v6v7v01000000100000001p231-10010-12-21-110-11-
16、11-10103-32-211-1简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性 任意时段任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限的各元素的值和冲量是否为有限(稳定稳定)?S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定?S冲量稳定冲量稳定对任意对任意 i,t,|pi(t)|有界有界 S值稳定值稳定对任意对任意 i,t,|vi(t)|有界有界值稳定值稳定冲量稳定冲量稳定)1()()1(tptvtvWtptp)()1(tWptp)0()(S的稳定性取决于的稳定性取决于W的特征根的特征根记记W的的非零非零特征根为特征根为 S冲量稳定冲量稳定|1 S冲量稳定冲量稳定|
17、1且均为单根且均为单根 S值稳定值稳定 S冲量稳定冲量稳定且且 不等于不等于10000001100000001000011000000001001000000010001110A对于能源利用系统的邻接矩阵对于能源利用系统的邻接矩阵A2532()(1)f特征多项式特征多项式76)2(,2)1(ff)2,1(能源利用系统存在能源利用系统存在冲量冲量不稳定不稳定的简单冲量过程的简单冲量过程简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性 简单冲量过程的稳定性简单冲量过程的稳定性 改进的玫瑰形图改进的玫瑰形图S*带符号的带符号的有向图双向连通，且存在一个有向图双向连通，且存在一个位于所有回路上的中心顶点位于
18、所有回路上的中心顶点.回路长度回路长度 构成回路的边数构成回路的边数.回路符号回路符号 构成回路的各有向边符号构成回路的各有向边符号+1或或-1之乘积之乘积.ak长度为长度为k的回路符号和的回路符号和r使使ak不等于不等于0的最大整数的最大整数 S*冲量稳定冲量稳定 )1,2,1(rkaaar-krk,1ra 若若S*冲量稳定，则冲量稳定，则S*值稳定值稳定 1r1kka+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5简单冲量过程简单冲量过程S*的稳定性的稳定性 a1=0,a2=(-1)v1v2 (-1)v2v1=1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=
19、1,a4=0,a5=1,r=5 S*冲量稳定冲量稳定 (1,2,1)krr-kaa akr,1ra352aaa(-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓励利用变为限制利用由鼓励利用变为限制利用)a2=-1+S*冲量不稳定冲量不稳定)1()(2352fA的的特征多项式特征多项式0,0,1,i,(13i)1 且为单根S*冲量稳定冲量稳定 S*冲量稳定冲量稳定|1且均为单根且均为单根v1利用量利用量,v2价格价格v7+-+-+-+v2v1v3v4v6v5 若S*冲量稳定，则冲量稳定，则S*值稳定值稳定 1r1kka1,0,1,1,0,54321aaaaa S*冲量稳定冲量稳定 ),(121rkaaar-
20、krk,1rav3能源生产率能源生产率 v5工业产值工业产值1,1,5353aaaa(-1)v3v5 违反客观规律违反客观规律S*值不稳定值不稳定S*值值稳定稳定(+1)v3v5(-1)v3v5能源利用系统的值能源利用系统的值不应稳定？不应稳定？-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5+简单冲量过程简单冲量过程S*的稳定性的稳定性 社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程 定性与定量相结合的定性与定量相结合的系统分析系统分析方法方法,适合社会经济适合社会经济 领域中复杂大系统的宏观研究领域中复杂大系统的宏观研究.解决问题的解决问题的关键关键是确定研究的对象及其范围是确定研究的对象及其范围(
21、系统系统 的边界的边界),),以及各因素间的相互关系以及各因素间的相互关系.以能源系统为例介绍以能源系统为例介绍有向图有向图和和冲量过程冲量过程的建模方法的建模方法.冲量过程模型及预测是简单的冲量过程模型及预测是简单的,但是但是稳定性稳定性判断及判断及 其改进比较复杂其改进比较复杂.8.4 公平的席位分配公平的席位分配每每10年，美国联邦政府进行一次全国人口普查年，美国联邦政府进行一次全国人口普查,各州在各州在联邦众议院的代表名额也据此重新确定联邦众议院的代表名额也据此重新确定.公平的席位分配问题（公平的席位分配问题（apportionment）2000年人口普查后，犹他州向联邦政府提出控诉，
22、说年人口普查后，犹他州向联邦政府提出控诉，说分配给北卡罗莱纳州的名额应该是他们的分配给北卡罗莱纳州的名额应该是他们的.问题的数学本质是什么？问题的数学本质是什么？事实上，过去事实上，过去200年来，美国国会在名额分配上打过多年来，美国国会在名额分配上打过多起法律官司，曾有过长期争论并使用过起法律官司，曾有过长期争论并使用过4种分配方案种分配方案.一个简单例子一个简单例子系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例
23、 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名名(甲甲100，乙，乙60，丙，丙40)，代表会，代表会议共议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10,6,4席席.因学生转系因学生转系,三系人数为三系人数为103,63,34,如何分配如何分配20席席?若代表会议增加若代表会议增加1席，如何分配席，如何分配21席席?比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗？吗？系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3
24、丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21模模型型已知已知:m方人数分别为方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数记总人数为为 P=p1+p2+pm,待分配的总席位为待分配的总席位为N.各方先分配各方先分配qi的整数部分的
25、整数部分qi,总余额为总余额为miiqNN1 记记ri=qi-qi,则第则第i方的分配名额方的分配名额ni为为其他个最大的,1iiiiqNrqn要要求求已知份额向量已知份额向量q=(q1,qm)0,找一个非负找一个非负整数分配向量整数分配向量n=(n1,nm),使使n与与q最最接近接近.比例加惯例法比例加惯例法记记 qi=Npi/P,称为第称为第i方的份额方的份额(i=1,2,m)背景背景Hamilton(比例加惯例比例加惯例)方法方法 A.Hamilton提出的这种办法提出的这种办法1792年被美国国会否决年被美国国会否决 1850-1900年被美国国会采用年被美国国会采用(称为称为Vint
26、on法法)又称为又称为最大剩余法最大剩余法（GR:Greatest Remainders）或）或最大分数法最大分数法（LF:Largest Fractions），等等，等等 席位悖论席位悖论总席位增加反而可能导致某州席位减少总席位增加反而可能导致某州席位减少 1880年年Alabama州曾遇到，又称州曾遇到，又称Alabama悖论悖论 该方法的另一个重大缺陷：该方法的另一个重大缺陷：（下页给例子）（下页给例子）人口悖论人口悖论某州人口增加较多反而可能该州席位减少某州人口增加较多反而可能该州席位减少 Hamilton方法的不公平性方法的不公平性1.p1,p2,pm不变不变,N的增加会使某个的增加
27、会使某个ni减少减少(上例上例).2.N不变不变,pi 比比pj的增长率大的增长率大,会使会使 ni减少减少 nj增加增加(下例下例).pinii=1 10311i=2637i=3343和和20021pi1146434212ni116421pini1031063634420020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215ni116320“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度p1=
28、150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低!虽二者虽二者的的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2，对对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应公平分配方案应使使 rA,rB 尽量小尽量小设设A,B已分别有已分别有n1,n2 席席,若增加若增加1席席,问应分给问应分给A,还是还是B?不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即
29、对即对A不公平不公平.),(/21222211nnrnpnpnpA 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2，定义定义1）若）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则
30、这席应给则这席应给 B当当 rB(n1+1,n2)1)A=x,y,z,u,v,m位位候选人集合候选人集合(m 1)选民选民 i(I)对全体对全体候选人候选人投票投票 A的一个排序的一个排序 pi根据全体根据全体候选人的投票候选人的投票 pi(i=1,2,n)确定群体确定群体对对A的一个排序的一个排序 p(选举结果选举结果)选举规则：选举规则：pi(i=1,2,n)p 的对应关系的对应关系（群体一致函数）（群体一致函数）选举选举规则规则选举规则选举规则排序排序pi(i=1,2,n)和和 p应满足的性质应满足的性质(公理公理)：1.对于任意的对于任意的 x,y A,或者或者 x优于优于y(xy),
31、或者或者 x 等同等同 y(xy),或者或者 x劣于劣于y(xy时，时，选举结果选举结果 p中才有中才有xy（yuv，p2:yxuv，p3:xuvy，选举结果选举结果 p:xyuv简单多数规则简单多数规则 使用方便使用方便 不满足排序的可传递性不满足排序的可传递性例例2.p1:xyz，p2:yzx，p3:zxy，按规则按规则 p 应有应有 xy,yz,zx 破坏可传递性破坏可传递性选举规则选举规则2 记分规则（记分规则（Borda数）数）Bi(x)pi 中中劣于劣于x的候选人数目的候选人数目(i=1,2,n)例例1.设设I=1,2,3对对A=x,y,u,v的投票为的投票为 p1:xyuv，p2
32、:yxuv，p3:xuvy，x 在选举在选举中的分数中的分数,称称Borda数数niixBxB1)()(当且仅当当且仅当B(x)B(y)时，选举结果时，选举结果 p中才有中才有xyB1(x)=3,B2(x)=2,B3(x)=2 B(x)=7B(y)=5,B(u)=3,B(v)=1p:xyuv例例2.p1:xyz，p2:yzx，p3:zxy，选举规则选举规则2 记分规则（记分规则（Borda数）数）B(x)=B(y)=B(z)=3 p:xyz问题：投票时只要求顺序，而记分规则考虑优劣程度问题：投票时只要求顺序，而记分规则考虑优劣程度例例3.设设I=1,2,3,4对对A=x,y,z,u,v的投票为
33、的投票为 p1,p2,p3:xyzuv，p4:yzuvx，两种规则都有不满意之处，是否有适合所有情况两种规则都有不满意之处，是否有适合所有情况的、公正合理的规则？的、公正合理的规则？公理化方法！公理化方法！B(x)=12,B(y)=13违反多数人的意愿违反多数人的意愿 yxArrow公理：选举规则应满足的公理：选举规则应满足的5条公理条公理公理公理1 （选举的完全性）（选举的完全性）选民对候选人的任何一种排序都是允许的选民对候选人的任何一种排序都是允许的.公理公理2 （选举结果与选民投票的正相关性）（选举结果与选民投票的正相关性）对于对于pi(i=1,2,n),设p:xy.若若pi (i=1,
34、2,n)中中x,y的排序相同或的排序相同或x提前提前,其他候选人排序不变，则其他候选人排序不变，则p :xy.公理公理3（无关候选人的独立性）（无关候选人的独立性）设设A1是是A的子集，若在的子集，若在pi 和和pi (i=1,2,n)中中A1内候选内候选人的人的排序相同，则排序相同，则p 和和p 中中A1内候选人的内候选人的排序也相同排序也相同.Arrow公理：选举规则应满足的公理：选举规则应满足的5条公理条公理公理公理4 （选民的主权性）（选民的主权性）对任意候选人对任意候选人x,y，存在，存在pi(i=1,2,n)使使 p:xy.公理公理5 （选民的非独裁性）（选民的非独裁性）不存在这样
35、的选民不存在这样的选民i，使，使对任意候选人对任意候选人x,y，只要只要pi:xy,选举规则选举规则就确定就确定 p:xy.讨论满足上述讨论满足上述5条公理的选举规则条公理的选举规则 当只有当只有2位候选人时位候选人时简单多数规则满足简单多数规则满足Arrow公理公理.至少有至少有3位候选人时位候选人时是否存在是否存在满足满足Arrow公理的规则公理的规则?Arrow定理定理当至少有当至少有3位候选人时位候选人时,不存在满足不存在满足对对公理公理3提出置疑提出置疑zyxpzyxp:)1(2)1(1yxzpyzxp:)2(2)2(1xyzpxzyp:)3(2)3(1yxzpzyxp:)4(2)4
36、(1zyxp:)1(yzxp:)2(xzyp:)3(yxpyxA:),()4(1不变zxpzxA:),()4(1不变zypzyA:),()4(1不变3个个p(4)出现矛盾出现矛盾A1外候选人的插入影响外候选人的插入影响A1内排序的优劣内排序的优劣Arrow公理的选举规则公理的选举规则公理公理3未考虑排序的优劣未考虑排序的优劣怎么办怎么办?联合尺度下的选举规则联合尺度下的选举规则所有候选人按照同一指标在所有候选人按照同一指标在0,1尺度上确定各自的位置尺度上确定各自的位置.所有选民所有选民在在0,1尺度上确定各自理想候选人的位置尺度上确定各自理想候选人的位置.00.10.70.9 1xyuv0.
37、40.6123 p1:uv yx，p2:yvxu，p3:vuyx 简单多数规则得简单多数规则得 p:vuyx若有奇数个选民若有奇数个选民,pi由由联合尺度得到联合尺度得到,j是居中的那位选民是居中的那位选民,则则pj与与简单多数规则得到的简单多数规则得到的p一致一致,且且满足满足Arrow公理公理.候选人与选民的联合尺度候选人与选民的联合尺度联合尺度限制了投票情况联合尺度限制了投票情况,才能够满足才能够满足Arrow公理公理.最小距离意义下的选举规则最小距离意义下的选举规则I=1,2,n 选民集合选民集合,A=x,y,z,u,v,候选人集合候选人集合P A的所有排序的集合的所有排序的集合,合理
38、地定义两点合理地定义两点pi 和和 pj的的“距离距离”pi P 中的一个点中的一个点I 的一次投票的一次投票:p1,pn从从投票投票 p1,pn确定选举结果归结为确定选举结果归结为,在集合在集合P 中中找一个点找一个点 p,使它到使它到 n个点的总距离最小个点的总距离最小.可以用公理化的方法定义可以用公理化的方法定义距离距离 最小距离意义下的选举规则最小距离意义下的选举规则任意一对候选任意一对候选人人x,y在选民在选民投票投票pi,pj中的中的距离距离定义为定义为排序相反中，或另一个含，中一个含排序相同中yxppyxyxyxppyxppppjijijijiyx,),(),(210pi,pj之
39、间的之间的距离距离定义为定义为),(),(),(),(jiAyxyxjippppd候选人成对地候选人成对地跑遍集合跑遍集合A例例 p1:xyz，p2:xzy),(),(),(),(21),(21),(21),(21ppppppppdzyzxyx3210最小距离意义下的选举规则最小距离意义下的选举规则从从投票投票 p1,pn确定选举结果确定选举结果 p的准则的准则.niippd1),(minniippd12),(min平均地照顾各位选民的意见平均地照顾各位选民的意见.对与多数选民意见不同的少对与多数选民意见不同的少数选民的意见给予更多考虑数选民的意见给予更多考虑.缺点缺点 没有确定没有确定p的有
40、效方法的有效方法(基本上是枚举法基本上是枚举法).p可能不唯一可能不唯一(习题习题20).存在公正的选举规则吗存在公正的选举规则吗 选举规则选举规则 通过选民投票确定对候选人的排序通过选民投票确定对候选人的排序.规定排序的性质规定排序的性质提出一组公理提出一组公理寻求寻求选举规则选举规则.若公理过多、过于严格若公理过多、过于严格可能得不到满足公理的结果可能得不到满足公理的结果.若公理过少、过于宽松若公理过少、过于宽松可能无法得到结果或不惟一可能无法得到结果或不惟一.Arrow得到了反面得到了反面结果结果不存在满足公理的选举规则不存在满足公理的选举规则.联合尺度规则联合尺度规则以缩小应用范围为代
41、价换取一定结果以缩小应用范围为代价换取一定结果.最小距离规则最小距离规则不便于应用不便于应用.8.6 价格指数价格指数问问题题价格指数是消费品价格变化的度量价格指数是消费品价格变化的度量.几百年来，经济学家们提出了许多种价格指数几百年来，经济学家们提出了许多种价格指数.如何评价这些价格指数的合理性？如何评价这些价格指数的合理性？从种、种商品的价格指数谈起从种、种商品的价格指数谈起对一种给定商品，原价对一种给定商品，原价p0,现价现价p,价格变化价格变化 I=p/p0对两种给定商品，原价对两种给定商品，原价p10,p20,现价现价p1,p2,价格变化价格变化022011ppppI020121pp
42、ppI020121ppppI 不合理不合理:人们对大米涨价比钢琴降价更为关切人们对大米涨价比钢琴降价更为关切加权加权!问题的一般提法问题的一般提法基年基年(基准年基准年)现年现年(考察年考察年)各种价格指数各种价格指数 I(p,q|p0,q0)哪个更合理？哪个更合理？价格权重价格权重n 种代表性消费品种代表性消费品0000T12(,.,)npppp0000T12(,.,)nqqqqT12(,.,)nppppT12(,.,)nqq qq0001.qpqpI qpqpI.02003.qpqpI 215III apapI.04ai 0niiiippI10700,iiiqqniiiippI108iii
43、qq,niiiippI106,1,0ii1.价格单调性价格单调性：一种商品涨价，其他不降，则：一种商品涨价，其他不降，则I应上升应上升价格指数的公理化价格指数的公理化p,q,p0,q00,I(p,q|p0,q0)0),|,(),|,(0000qpqpIqpqpIpp2.权重不变性权重不变性：所有商品价格不变，则：所有商品价格不变，则I应不变应不变1),|,(000qpqpI3.价格齐次性价格齐次性：所有商品涨价：所有商品涨价k倍，则倍，则I应上升应上升k倍倍0),|,(),|,(0000kqpqpkIqpqkpI4.I应位于单种商品价格比值的最小、最大值之间应位于单种商品价格比值的最小、最大值
44、之间0000max),|,(miniiiiiippqpqpIpp5.货币单位独立性货币单位独立性：I应与货币单位的选取无关应与货币单位的选取无关价格指数的公理化价格指数的公理化p,q,p0,q00,I(p,q|p0,q0)00),|,(),|,(0000qpqpIqpqpI6.计量单位独立性计量单位独立性：I应与商品计量单位的选取无关应与商品计量单位的选取无关为非负对角阵qpqpIqpqpI),|,(),|,(0001017.两年的价格指数之比与基年选取无关两年的价格指数之比与基年选取无关),|,(),|,(),|,(),|,(00000000qpqpIqpqpIqpqpIqpqpI8.价格指
45、数不因某种商品被淘汰失去意义价格指数不因某种商品被淘汰失去意义iqpqpIip,0),|,(lim000I1,I2,I5不满足公理不满足公理7该定理没有涉及公理该定理没有涉及公理1,4,5,为什么为什么?Eichhorn 证明了证明了定理定理 不存在同时满足公理不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数的价格指数.I6,I7,I8不满足公理不满足公理8I3不满足公理不满足公理2I4不满足公理不满足公理6I满足公理满足公理1,2,3 I满足公理满足公理4 I满足公理满足公理2,3,7 I满足公理满足公理5目前常用的价格指数目前常用的价格指数:I1,I2I1,I2满足除公理满足除公理7外的所有
46、公理，且计算简单外的所有公理，且计算简单.价格指数的公理化价格指数的公理化定理定理不存在同时满足公理不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数的价格指数证明思路证明思路:满足满足2,3,6,7,8的价格指数的价格指数I必不满足公理必不满足公理8记记e=(1,1,1)T,C=Diagc1,c2,cn,ci0 D=Diagd1,d2,dn,di0),|,(),|,(),|,(),|,(111111eeeCCeIeeeCCeIeeeDCCDeIeeeDCCDeI(*)证明证明),|,(),|,(),|,(1111117eeeCCeIeCCeeCCeIeCCeeDCCDeI公理),|,(),|,(
47、1162eeeCCeIeeeDDeI，公理证明证明记记i=Diag1,1(第第i位置元素位置元素 0，其余为，其余为1),|,(),|,(),|,(),|,(11eeppIeeppIeeepIeeepI(*)为单位阵）EEnii(1(*)定理定理不存在同时满足公理不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数的价格指数),|,(),|,(),|,(),|,(12117eeppIeeppIepppIepepI公理公理与公理矛盾！与公理矛盾！),|,(1niieeeeIs令),|,(11(*)niiieeeeI),|,111(*)niniiieeeeIeeeeI,|,1*)*(*213,|,公理公理eeeeI当当 0 0时时,s0 0存在某个存在某个i,当当 0 0时时0),|,(lim0eeeeIi证毕证毕证明证明定理定理不存在同时满足公理不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数的价格指数
