1、路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索 人教人教B版版 必修必修3 第三章第三章 概概 率率 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 概概 率率 第三章第三章 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 3.1 事件与概率事件与概率 3.1.4 概率的加法公式概率的加法公式 第三章第三章 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 课前自主预习课前自主预习 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高
2、中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 第二次世界大战中，英美盟军因为运输队在大西洋上常常 受到德国潜艇的袭击而焦头烂额为此，有位美国海军将领专 门去请教了几位数学家数学家们运用概率论分析后发现，舰 队与敌潜艇相遇近似于一个随机事件，从数学角度来看这一问 题，它具有一定的规律一定数量的船(如100艘)编队规模越 小，编次就越多(如每次20艘，就要有5个编次)；编次越多，与 敌人相遇的概率就越大美国海军接受了数学家的建议，命令 船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预 定港口结果奇迹出现了，盟军舰队遭到袭击的概率由原来的 25%降低为1%，大大减少了损失，
3、保证了物资的及时供应. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 一、事件的关系与运算 1互斥事件 不可能同时发生的两个事件叫_(或称为 _) 2并(和)事件 若事件A和事件B中_有一个发生，则C发生；若C发 生，则A、B中_有一个发生，称事件C为A与B的并(或 和) 互斥事件 互不相容事件 至少 至少 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 一般地， 由事件 A 和 B_有一个发生所构成的事件 C， 称为事件 A 与 B 的并(或和) (1)与集合定义
4、类似，并事件可如图表示 (2)事件 A 与事件 B 的并事件等于事件 B 与事件 A 的并事 件，即 ABBA. 至少 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (3)并事件包含三种情形：事件A发生，事件B不发生；事 件A不发生，事件B发生；事件A、B同时发生 (4)推广：如果事件A1、A2、An中的任何两个都互斥， 就称事件A1、A2、An彼此互斥，从集合角度看，n个事件彼 此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交 如在一次投掷骰子的实验中，若 C1出现1点；C2出现2点；C3出现3点； C4出现4点或出现5点；C5出现
5、6点； 则事件C1，C2，C3，C4，C5彼此互斥 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 3对立事件 不可能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事 件 (1)事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅 有一个发生 (2)对立事件是针对两个事件来说的，一般地，两个事件对 立，则两个事件必是互斥事件；反之，两个事件是互斥事件， 却未必是对立事件 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (3)对立事件是一种特殊的互斥事件， 若A与B是对立事件，
6、 则 A 与 B 互斥且 AB 为必然事件 (4)从集合角度看，事件 A 的对立事件，是全集中由事件 A 所含结果组成的集合的补集 (5)设事件 A 的对立事件为A，则 P(A)_. 1P(A) 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 二、概率的几条基本性质 1概率P(A)的取值范围 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在 0和1之间，从而任何事件的概率在0到1之间，即0P(A)1. (1)必然事件B一定发生，则P(B)1. (2)不可能事件C一定不发生，因此P(C)0. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中
7、新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 2互斥事件的概率加法公式 如果 A、B 是互斥事件，在 n 次试验中，事件 A 出现的频 数为 n1，事件 B 出现的频数为 n2，则事件 AB 出现的频数为 n1n2，事件 AB 的频率为n 1n2 n n1 n n2 n ，而n1 n 、 n2 n 分别为事 件 A、B 出现的频率，由概率的统计定义可知 P(AB) _. (1)用频率可以估计概率，因此概率应具有频率的性质 (2)加法公式的前提条件是：事件 A 与事件 B 互斥，如果没 有这一条件，加法公式将不能应用 P(A)P(B) 第三章第三章 3.1 3.1.4
8、 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 如掷骰子试验中，“出现偶数点”，“出现2点”分别记 为事件A、B，则A、B不互斥，P(AB)P(A)P(B) (3)如果事件A1、A2、An彼此互斥，那么 P(A1A2An)_. 即彼此互斥的事件并的概率等于它们的概率的和 (4)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解成一些较易 求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易 P(A1)P(A2)P(An) 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 3对立事件的概率公式 若事件A与B互为对立事件，则AB为
9、必然事件，所以 P(AB)1，又P(AB)P(A)P(B)，P(A)1P(B) (1)公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公 式 (2)当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求 时，可运用此公式使用间接法求概率 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 答案 B 1.如果事件 A、B 互斥，那么( ) AAB 是必然事件 BAB是必然事件 C.A与B一定互斥 DA与B一定不互斥 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 A、B 互斥，
10、不一定是对立事件， 故 A 不正确；当 A、B 不是对立事件时，A与B 不互斥，故 C 不正确；当 A、B 是对立事件时， A与B也是对立事件，当然也是互斥事件，故 D 也不正确另外，用集合表示方法中的“韦恩图”来解决此题 比较直观如图所示，AB是必然事件，故选 B. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 2下列说法正确的是( ) A事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有 一个发生的概率大 B事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发 生的概率小 C互斥事件一定是对立事件，对立事件并不一定是互斥 事件
11、 D互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事 件 答案 D 解析 由互斥事件及对立事件的定义知选D. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 3(2015湖南津市一中高一月考)袋内分别有红、白、黑 球为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事 件是( ) A至少有一个白球；红、黑球各1个 B至少有一个白球；至少有一个红球 C恰有一个白球；一个白球一个黑球 D至少有一个白球；都是白球 答案 A 解析 至少有一个白球与红、黑球各1个是互斥事件但不 是对立事件 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中
12、新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 4甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为30%，两人下成 和棋的概率为50%，则乙获胜的概率为_，甲不输的概 率为_ 答案 20% 80% 解析 设事件“甲胜”、“乙胜”、“甲乙和棋”分别 为A、B、C，则P(A)30%，P(C)50%， 甲不输的概率为：P(AC)P(A)P(C)80%， P(B)1P(AC)180%20%. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 5在某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围 内的概率如下： 年最高水位 (单位：m) 8,10
13、) 10,12) 12,14) 14,16) 16,18) 概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围 内的概率： (1)10,16)(m)；(2)8,12)(m)；(3)14,18)(m) 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 记河流年最高水位在“8,10)”为事件 A，“10,12)” 为事件 B，“12,14)”为事件 C，“14,16)”为事件 D，“16,18)”为 事件 E，则 A、B、C、D、E 为互斥事件，由互斥事件的概率 的加法公式，得
14、 (1)最高水位在10,16)的概率为 P(BCD)P(B)P(C) P(D)0.280.380.160.82. (2)最高水位在8,12)的概率为 P(AB)P(A)P(B)0.1 0.280.38. (3)最高水位在14,18的概率为 P(DE)P(D)P(E) 0.160.080.24. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 课堂典例讲练课堂典例讲练 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 判断下列每对事件是否为互斥事件 (1)将一枚硬币抛两次
15、，事件A：两次出现正面，事件B： 只有一次出现正面； (2)某人射击一次，事件A：中靶，事件B：射中9环； (3)某人射击一次，事件A：射中环数大于5，事件B：射中 环数小于5. 互斥事件的概念 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 (1)若“两次出现正面”发生，则“只有一次出现 正面”不发生，反之亦然，即事件A与B不可能同时发生， A、B互斥 (2)某人射击一次中靶不一定击中9环，但击中9环一定中 靶，即B发生则A一定发生，A、B不互斥 (3)事件A发生，则事件B一定不发生，故A、B互斥 第三章第三章 3.1 3
16、.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲 比赛判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它 们是不是对立事件 (1)恰有一名男生与两名全是男生； (2)至少有1名男生与全是男生； (3)至少有1名男生与全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 判别两个事件是否互斥，就是考察它们是否能同 时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有 一个发生 (1)因为“恰有
17、1名男生”与“两名全是男生”不可能同时 发生，所以它们是互斥事件；当两名都是女生时它们都不发 生，所以它们不是对立事件 (2)因为“两名全是男生”发生时“至少有一名男生”也同 时发生，所以它们不是互斥事件 (3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发 生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (4)由于选出的是“一名男生一名女生”时“至少有一名男 生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事 件 点评 两个互斥事件是否对立要依据试验条件本题条 件若改成“
18、某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1 名男生”与“恰有2名男生”便是对立事件. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶 叶分为不发酵茶(如：龙井、碧螺春)和发酵茶(如：茉莉花茶、 铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类， 现有6个完全相同的纸盒， 里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普 洱茶，从中任取一盒，根据以上材料，判断下列两个事件是否 为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由 (1)“取出龙井”和“取出铁观音”； (2)“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”； (
19、3)“取出发酵茶”和“取出普洱茶”； (4)“取出不发酵茶”和“取出乌龙茶” 对立事件的概念 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 (1)事件“取出龙井”和事件“取出铁观音”不可 能同时发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立 事件 (2)事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同 时发生，但必有一个发生，所以既是互斥事件又是对立事件 (3)事件“取出发酵茶”和事件“取出普洱茶”不是互斥事 件，因为“取出普洱茶”时，事件“取出发酵茶”也发生了 (4)事件“取出不发酵茶”和事件“取出乌龙茶”不可能同 时
20、发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事 件 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2015河北成安县一中高一月考)抽查10件产品，设事件 A：“至少有两件次品”，则A的对立事件为( ) A至多两件次品 B至多一件次品 C至多两件正品 D至少两件正品 答案 B 解析 “至少有两件次品”的对立事件为“至多有一件 次品”. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 一盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、 1绿，从中取1球求： (1)取出
21、球的颜色是红或黑的概率； (2)取出球的颜色是红或黑或白的概率 互斥事件与对立事件的概率 解析 解法一： (1)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取 法，得黑球有 4 种取法，得红球或黑球共有 549 种不同取 法，任取一球有 12 种取法 任取 1 球得红球或黑球的概率为 P1 9 12 3 4. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 (2)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法，得黑球有 4 种方法，得白球有 2 种取法，从而得红或黑或白球的概率为 P2 542 12 11 12. 解法二：利用互
22、斥事件求概率 记事件 A1：从 12 只球中任取 1 球得红球； A2：从中任取 1 球得黑球； A3：从中任取 1 球得白球； A4：从中任取 1 球得绿球， 则 P(A1) 5 12，P(A2) 4 12，P(A3) 2 12，P(A4) 1 12. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率得 (1)取出红球或黑球的概率为 P(A1A2)P(A1)P(A2) 5 12 4 12 3 4； (2)取出红或黑或白球的概率为 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A
23、3) 5 12 4 12 2 12 11 12. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解法三 ：利用对立事件求概率 (1)由解法二，取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿 球，即 A1A2的对立事件为 A3A4， 取出红球或黑球的概率为 P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1 2 12 1 12 9 12 3 4. (2)A1A2A3的对立事件为 A4. P(A1A2A3)1P(A4)1 1 12 11 12即为所求 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版
24、版 数学数学 必修必修3 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在 8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069 分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率： (1)小明在数学考试中取得80分以上； (2)小明考试及格 解析 小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件 “8089分”、“90分以上”的并事件，小明考试及格可看作 是“6069分”、“7079分”、“8089分”、“90分以 上”这几个彼此互斥的事件的并事件，又可看作是“不及格” 的对立事件 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教
25、人教B版版 数学数学 必修必修3 分别记小明的成绩在“90分以上”、在“8089分”、在 “7079分”、在“6069分”为事件B、C、D、E，这四个 事件彼此互斥 (1)小明的成绩在80分以上的概率是P(BC) P(B)P(C)0.180.510.69. (2)解法一：小明考试及格的概率是 P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E) 0.180.510.150.090.93. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解法二：小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及 格的概率是P(A)10.070.93. 小明在
26、数学考试中取得80分以上成绩的概率是0.69，考 试及格的概率是0.93. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 易错疑难辨析易错疑难辨析 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现 1 点、 2 点、 3 点、 4 点、 5 点、 6 点的概率都是1 6， 记事件 A 为“出 现奇数”，事件 B 为“向上的数不超过 3”，求 P(AB) 错解 P(A)1 2，P(B) 1 2，A、B 互斥， P(AB)P(A)P
27、(B)1 2 1 21. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 辨析 错误的原因为误认为事件A与事件B互斥 正解 记事件“出现 1 点”，“出现 2 点”，“出现 3 点”，“出现 5 点”分别为 A1，A2，A3，A4，这四个事件彼此 互斥， 故 P(AB)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)1 6 1 6 1 6 1 6 2 3. 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 思想方法技巧思想方法技巧 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高
28、中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 利用集合观点判定互斥事件、对立事件的方法 一个射手进行一次射击， 试判断下列事件中哪些 是互斥事件，哪些是对立事件 事件 A：命中环数大于 7 环； 事件 B：命中环数为 10 环； 事件 C：命中环数小于 6 环； 事件 D：命中环数为 6、7、8、9、10 环 第三章第三章 3.1 3.1.4 高中新课程高中新课程 学习指导学习指导 人教人教B版版 数学数学 必修必修3 解析 根据题意，作出 Venn 图，如图所示. 由图知，AC，BC，CD，故 A 与 C 互斥， B 与 C 互斥，C 与 D 互斥而 CD，故 C 与 D 是对立事 件.
