1、2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-1 平面弯曲的概念1、弯曲：当杆件受到垂直于杆轴线的外力（即横向力）或力偶作用时，杆的轴线由直线变成曲线的变形。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-1 平面弯曲的概念2、梁：以弯曲变形为主的杆件。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3、纵向对称平面：工程上常见的梁，其横截面都具有一根对称轴y。纵向对称面由对称轴和梁的轴线
2、组成的平面。3-1 平面弯曲的概念2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础4、平面弯曲：梁由直线在纵向对称平面内变成曲线的弯曲。5、载荷分类：作用在梁上的载荷一般可分为三种：1）集中载荷（KN，N）2）分布载荷（N/m）3）集中力偶（Nm，KNm）3-1 平面弯曲的概念2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-1 平面弯曲的概念6、梁的类型：梁根据约束有以下三种基本类型：1）简支梁 2）外伸梁 3）悬臂梁 （注：以上梁都为静定梁）2008.920
3、08.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-2 直梁弯曲时的内力分析一、内力1、剪力和弯矩 直梁弯曲时横截面上将产生两种内力，即剪力和弯矩。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础2、内力符号规定：1）剪力：横截面上的剪力Q使该截面的邻近微段有作顺时针转动趋势时取正号；有反时针转动趋势时取负号。3-2 直梁弯曲时的内力分析2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础2）弯矩：横截面上的弯矩M使该
4、截面的邻近微段发生上凹的弯曲变形时取正号；使其发生下凹的弯曲变形使取负号。3-2 3-2 直梁弯曲时的内力分析直梁弯曲时的内力分析2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础二、剪力图和弯矩图1、剪力方程和弯矩方程：若以梁的轴线x为横坐标，表示横截面的位置，则剪力和弯矩均可表示为x的函数，即：)()(21xfMxfQ3-2 3-2 直梁弯曲时的内力分析直梁弯曲时的内力分析2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-2 直梁弯曲时的内力分析 2、剪力图和
5、弯矩图：以如图所示受集中力P作用的简支梁为例来具体说明剪力图和弯矩图的作法。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-2 直梁弯曲时的内力分析解：1、先求支座反力：1）A处支座反力为：2）B处支座反力为：lPbRAlPaRB2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-2 直梁弯曲时的内力分析 2、作剪力图：1）AC段梁的剪力方程为：2）CB段梁的剪力方程为：3）剪力图：见右图。lPbQ 1)0(1ax lPaQ2)(2lxa2008.92008.
6、92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-2 直梁弯曲时的内力分析3、作弯矩图:1）AC段梁的弯矩方程为：2）CB段梁的弯矩方程为：3）弯矩图：见右图。11xlPbM)0(1ax)(22xllPaM)(2lxa2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-2 直梁弯曲时的内力分析2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础例 填料塔内支承填料用的栅条可简化为受均布载荷作用的简支梁。已知梁所受的均布载荷
7、集度为q（N/m）,跨度为l（m）.试做该梁的剪力图和弯矩图。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础例解：1、求支座反力：2、列剪力方程和 弯矩方程：3、作剪力图和弯矩图：qlRRBA21qxqlqxRQA2)0(lx 2222xqxqlxqxxRMA)0(lx 2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础例2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础例2008.92008.920
8、09.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力剪切弯曲：横截面上既有剪力又有弯矩。纯弯曲：横截面上只有弯矩而无剪力。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲时的变形现象与假设1、变形现象：1）两条横向线mm nn不再相互平行，而是相互倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的轴线垂直。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-3纯弯曲时梁横截面上
9、的正应力内凹一侧的纵向线内凹一侧的纵向线aaaa缩短了，缩短了，外凸一侧的纵向线外凸一侧的纵向线bbbb伸长了。伸长了。中性层既不伸长也不缩短。中性层既不伸长也不缩短。变成变成曲线曲线2 2）两条纵向线）两条纵向线aaaa、bbbb 梁的轴线梁的轴线2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 2、梁纯弯曲问题的假设：1）梁变形前后横截面均为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一个角度。2）纤维互不挤压假设：纵向纤维只受轴向拉压，他们之间没有相互挤压。故梁的横截面上只
10、产生拉（压）应力，而无剪应力。由于拉（压）应力都垂直于横截面，故为正应力。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 3）纵向纤维的变形（伸长或缩短）与它到中性层的距离有关，在横截面的同一高度处，梁的纵向纤维的变形是相同的，与它在横截面宽度上的位置无关。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力二、弯曲变形与应力的关系 1、纵向纤维的线应变：ydddyOOOObb)(2008.92008.
11、92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 2、正应力：根据轴向拉压时的虎克定律有：yEE2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 1）曲率半径：在距中性轴为y处任取一微面积dA，则该截面上的弯矩为：AydAMAAdAyEydAyEM22008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 如果令：则：其中：IZ 整个
12、横截面对中性轴z的惯性矩，单位：m4AzdAyI2zEIM12008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力 2）正应力计算公式:最大正应力：其中：WZ 横截面对中性轴z的抗弯截面 模量，zzIMyEIMEyyEzzzWMyIMIMy)/(maxmaxmax即：zIMy即：zWMmaxmax/yIWzZ2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-4 截面惯性矩和抗弯截面模量1、矩形截面的IZ和wZ：即：Ahhzbhbdyyd
13、AyI2232212621223maxbhhbhyIWzz61223hbWhbIzz2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-4 截面惯性矩和抗弯截面模量2、圆形截面：3、圆环形截面（=d/D）：对薄壁圆环截面：644DzI)1(6444DzI)1(3243DzWsdzI34.0sdzW28.0323DzW2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-4 截面惯性矩和抗弯截面模量4、组合截面：1）平行移轴定理：AAAAAAzdAaydAadAydA
14、aayydAaydAyI22222122)2()(1AaaAyIIcZz221AbIIyy210cy若若AaIIZz21则则同理：同理：2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-4 截面惯性矩和抗弯截面模量 2）组合截面的惯性矩：设A为组合截面的面积，A1、A2、An 为各组分的面积，则IZ：同理：iniZnZZZAAAAAAAzIIIIdAydAydAydAydAyInn121222)(22)()()()(1221iniynyyyyIIIII121)()()()(2008.92008.92009.12009.1第三章
15、第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-4 截面惯性矩和抗弯截面模量例3-5 求图示T字形截面对通过其形心C的z轴之惯性矩（图中尺寸单位为mm）。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础解:静矩定理（求组合截面的形心位置）：3-4 截面惯性矩和抗弯截面模量mma1032010020140)10140(2010070201402008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-4 截面惯性矩和抗弯截面模量464623222246462
16、3121110906.710906.7201405.3414020121)(10207.410207.4201005.4520100121)(mmmAaIImmmAaIIZIIZZZ466610113.1210906.710207.4)()(mIIIIIzIzz2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-5 梁的弯曲强度计算 为了保证梁安全可靠的工作，必须使最大工作应力不超过材料的许用应力。zWMmaxmax根据强度条件，可以进行三方面的问题计算：1）强度校核；2）截面尺寸的确定；3）许可载荷的计算。2008.92008
17、.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-5 梁的弯曲强度计算说明：1）危险截面（危险点）的确定；2）对于抗拉和抗压强度相同的材料，梁的横截面不对称于中性轴，两个抗弯截面模量W1,W2，取较小者代入计算；3）对于抗拉和抗压强度不同的材料，应同时满足：ccppWMWM2maxmax1maxmax2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础例 图示为一T字型截面铸铁梁。在梁上作用有集中载荷，P1=10KN、P2=4KN。铸铁的抗拉许用应力p=40MPa，抗压许用应力c=70
18、MPa。T字型横截面尺寸如图所示，已知截面对形心轴z的惯性矩IZ=76310-8m4，且y1=52mm。试校核此梁的强度。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础 解：（1）求支座反力，画弯矩图。kNRkNRBA113mkNMc3mkNMB 4例2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础（2）校核梁的强度。B截面：C截面：强度满足要求。268331max/103.27107631052104mNIyMzBp268332max/101.46107631
19、0)5220120(104mNIyMzBc268332max/106.341076310)5220120(103mNIyMzCp例2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-7 提高梁弯曲强度的主要途径一、选用合理截面，提高抗弯截面模量Wz1、选用合理的截面形状 如：设正方形边长为a，矩形的宽度为b，高度为h，且b/h=1/3。若两截面面积相等，即，A1=A2,h=31/2a.正方形截面的抗弯截面模量为 矩形截面的抗弯截面模量为 两者之比为：6/31aW 6/36/322abhW557.06363321aaWW2008.
20、92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-7 提高梁弯曲强度的主要途径(0.270.31)h2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-7 提高梁弯曲强度的主要途径 2、选择截面的合理工作位置：161612221bhhbbhWW2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-7 提高梁弯曲强度的主要途径二、合理安排受力情况，减小最大弯矩Mmax1、合理安排支座位置：2008.92008.
21、92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-7 提高梁弯曲强度的主要途径2、合理布置载荷：2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-8 梁的弯曲变形与刚度校核一、挠度和转角 梁的变形可以用两种位移量表示：1、横向位移y（挠度）：正负值规定：与y向一致时，为正。)(xfy 2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-8 梁的弯曲变形与刚度校核 2、角位移（转角）：正负值规定：梁变形时横截面绕中 性
22、轴按逆时针转动时，为正。)(xfyydxdytg2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-8 梁的弯曲变形与刚度校核二、用叠加法求梁的变形 2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-8 梁的弯曲变形与刚度校核 从上述情况看出：梁变形很小情况下，梁的挠度和转角与载荷成线形关系。这样，当梁同时受到几个载荷作用时，由每一个载荷所引起的梁的变形将不受其他载荷的影响，故可以用叠加法来计算梁的变形。即：梁上同时承受几个载荷作用时所产生的变形，等于各个载荷单
23、独作用下所产生的变形的代数和。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础例 图示为桥式起重机横梁的受力简图。起吊时在梁中点C所受的集中载荷为P，梁的自重可看作集度为q的均布载荷，梁的跨度为L，抗弯刚度为EI。试求此梁的最大挠度。2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础例解：最大挠度发生在梁的中点C处。所以：EIqlyEIPlyCqCP38454843EIqlEIPly38454843max2008.92008.92009.12009.1第三章第三章
24、直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-8 梁的弯曲变形与刚度校核三、梁弯曲时的刚度校核 1、梁的刚度条件：2、工程中常见构件的许可变形量规定：1）桥式起重机横梁：maxmaxyy ly400170012008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-8 梁的弯曲变形与刚度校核2）一般用途的转轴：3）架空管道：4）一般塔器：ly5001 hy100015001 ly)0005.00003.0(2008.92008.92009.12009.1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲化工设备设计基础化工设备设计基础3-8 梁的弯曲变形与刚度校核四、提高梁弯曲时刚度的主要途径 1、减小跨度或增加支座 2、选择合理的截面形状 3、减小载荷（合理分配载荷）
