1、 2.1.1 向量的概念向量的概念 课件（人教课件（人教B版版 必修必修4） 2.1 向量的线性运算向量的线性运算 2.1.1 向量的概念向量的概念 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 2.1.1 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 学习目标学习目标 1.了解向量的实际背景了解向量的实际背景 2理解向量的相关概念和向量的几何表示理解向量的相关概念和向量的几何表示 3理解相等向量理解相等向量、共线共线(平行平行)向量的含义向量的含义，并并 会判断向量间平行会判断向量间平行(共线共线)、相等的关系相等的关系 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1力的三要素：力的三要
2、素：_、_、 _ 2位移位移、速度速度_大小和方向大小和方向，_特定特定 位置位置 大小大小 方向方向 作用点作用点 有有 无无 1向量的定义向量的定义 具有具有_和和_的量称为向量的量称为向量. 知新益能知新益能 大小大小 方向方向 2向量的表示方法向量的表示方法 方向方向 始点始点 终点终点 同向且等长同向且等长 向量向量AB a 、 、b 、 、c 思考感悟思考感悟 1.向量与有向线段有什么区别向量与有向线段有什么区别？ 提示：提示：(1)向量只有大小和方向两个要素向量只有大小和方向两个要素，与起与起 点无关点无关，只要大小和方向相同只要大小和方向相同，则这两个向量则这两个向量 就是相同
3、的向量；就是相同的向量； (2)有向线段有起点有向线段有起点、大小和方向三个要素大小和方向三个要素，起起 点不同点不同，即使大小即使大小、方向相同方向相同，也是不同的有也是不同的有 向线段向线段 3向量的长度向量的长度(模模) 如果如果AB a，那么，那么AB 的的_表示向量表示向量 a 的大小，的大小， 也叫做也叫做 a 的长的长(或模或模)，记作，记作|a|. 4与向量有关的概念与向量有关的概念 (1)零向量：零向量：_的向量，记作的向量，记作 0. (2)向量共线或平行向量共线或平行 基线：通过基线：通过_，叫做向量，叫做向量AB 的基线如的基线如 果向量的基线果向量的基线_，则称这些向
4、量共线或，则称这些向量共线或 平行，共线向量的方向平行，共线向量的方向_向量向量 a 平行于平行于 b， 记作记作_. (3)相等向量：两个向量相等向量：两个向量 a 和和 b_，即，即 a 和和 b 相等，记作相等，记作 ab. 长度长度 长度等于长度等于0 有向线段有向线段AB 的直线的直线 互相平行或重合互相平行或重合 同向且等长同向且等长 相同或相反相同或相反 ab 2把有向线段把有向线段AB 向右平移向右平移 1 个单位，向上平移个单位，向上平移 2 个单位，得到有向线段个单位，得到有向线段AB ，则，则AB 与与AB 表表 示的向量一样吗？示的向量一样吗？ 思考感悟思考感悟 提示：
5、提示：平移前的有向线段与平移后的有向线段在平移前的有向线段与平移后的有向线段在 长度和方向上都没发生改变，也就是说它们的大长度和方向上都没发生改变，也就是说它们的大 小和方向相同，所以它们表示的向量一样小和方向相同，所以它们表示的向量一样 3向量向量AB 与向量与向量CD 是共线向量，则是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一条直线上，正确吗？必在同一条直线上，正确吗？ 提示：提示：不正确不正确共线向量还可以指表示向量的有共线向量还可以指表示向量的有 向线段所在的直线平行向线段所在的直线平行，故故A、B、C、D不一定不一定 共线共线 5位置向量位置向量 任给一定点任给一定点 O 和向量和向量
6、a，过点，过点 O 作有向线段作有向线段OA a，则点，则点 A 相对于点相对于点 O 的位置被向量的位置被向量 a 所所 _， 这时向量， 这时向量OA 叫做点叫做点 A 相对于点相对于点 O 的位置向量的位置向量 唯一确定唯一确定 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 向量的概念向量的概念 数学中研究的向量是自由向量数学中研究的向量是自由向量，即向量的长即向量的长 度与方向与起点的位置无关度与方向与起点的位置无关，所以要严格区所以要严格区 分平行向量与平行线分平行向量与平行线，共线向量与多点共线共线向量与多点共线， 两者不能混为一谈两者不能混为一谈 下列关于向量的说法正确的个数是下列
7、关于向量的说法正确的个数是 ( ) 起点相同起点相同，方向相同的两个非零向量的终方向相同的两个非零向量的终 点相同；点相同；起点相同起点相同，相等的两个非零向量相等的两个非零向量 的终点相同；的终点相同；两个平行的非零向量的方向两个平行的非零向量的方向 相同；相同；两个共线的非零向量的起点与终点两个共线的非零向量的起点与终点 一定共线一定共线 A3 B2 C1 D0 例例1 【思路点拨思路点拨】 解答本题应根据向量的有关概念解答本题应根据向量的有关概念， 注意向量的大小与方向两个要素注意向量的大小与方向两个要素 【解析解析】 起点相同起点相同，方向相同的两个非零向量方向相同的两个非零向量 若长
8、度不相等若长度不相等，则终点不相同则终点不相同，故故不正确；起不正确；起 点相同点相同，相等的两个非零向量的终点相同相等的两个非零向量的终点相同，故故 正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反， 故故不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不正确；两个共线的非零向量的起点与终点 不一定共线不一定共线，所对应的直线可能平行所对应的直线可能平行，故故不正不正 确确 【答案答案】 C 【点评点评】 对于概念性题目对于概念性题目，关键把握好概念的关键把握好概念的 内涵与外延内涵与外延，正确理解向量共线正确理解向量共线，向量相等的概向量相等的概 念念，清楚它们的区别
9、与联系清楚它们的区别与联系 变式训练变式训练1 给出下列几种说法：给出下列几种说法： 若非零向量若非零向量a与与b共线共线，则则ab； 若向量若向量a与与b同向同向，且且|a|b|，则则ab； 若两向量有相同基线若两向量有相同基线，则两向量相等则两向量相等 其中错误的序号是其中错误的序号是_ 解析：解析：错误错误共线向量指向量的基线互相平行共线向量指向量的基线互相平行 或重合或重合，其方向相同或相反其方向相同或相反，所以共线向量未必所以共线向量未必 相等相等 错误错误向量是既有大小向量是既有大小，又有方向的量又有方向的量，不能不能 只比较大小只比较大小 错误错误两向量有相同基线表示两向量的有向
10、线两向量有相同基线表示两向量的有向线 段在同一条直线上段在同一条直线上，但两向量的大小和方向不一但两向量的大小和方向不一 定都相同定都相同 答案：答案： 向量的表示方法有几何表示法和字母表示法，向量的表示方法有几何表示法和字母表示法， 几何表示法的优点是便于用向量处理几何问题，几何表示法的优点是便于用向量处理几何问题， 字母表示法的优点是便于向量的运算字母表示法的优点是便于向量的运算 向量的表示向量的表示 在如图所示的坐标纸在如图所示的坐标纸中，画出下列向量中，画出下列向量 (1)|OA |3，点，点 A 在点在点 O 正西方向；正西方向； (2)|OB |3 2，点，点 B 在点在点 O 北
11、偏西北偏西 45 方向方向 例例2 【思路点拨思路点拨】 先定方向先定方向，再由长度定终点再由长度定终点， 最后标箭头方向最后标箭头方向 【解】【解】 (1)(2)如图，如图， 【点评点评】 画出向量的方法是先确定向量的起点画出向量的方法是先确定向量的起点， 再确定向量的方向再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定终最后根据向量的大小确定终 点点，标出箭头方向标出箭头方向 变式训练变式训练2 在如图的方格纸上在如图的方格纸上，已知向量已知向量a，每每 个小正方形的边长为个小正方形的边长为1. (1)试以试以B为起点画一个向量为起点画一个向量b，使使ba； (2)画一个以画一个以C为起点的向量为
12、起点的向量c， 使使|c|2，并说出并说出c的终点的轨的终点的轨 迹是什么迹是什么？并作出轨迹并作出轨迹 解：解：(1)根据相等向量的定义根据相等向量的定义，所作向量应与所作向量应与a平行平行， 且长度相等且长度相等，如图如图 (2)由平面几何知识可作由平面几何知识可作 满足条件的向量满足条件的向量c.所有这所有这 样的向量样的向量c的终点的轨迹的终点的轨迹 是以是以C为圆心为圆心，2为半径的圆为半径的圆，如图如图 相等向量与共线向量相等向量与共线向量 共线向量的方向相同或相反共线向量的方向相同或相反相等向量一定相等向量一定 是共线向量是共线向量，共线向量不一定是相等向量共线向量不一定是相等向
13、量 判断两向量的关系时一要看向量的长度判断两向量的关系时一要看向量的长度，二二 要看向量的方向要看向量的方向 如图所示，如图所示，O 是正六边形是正六边形 ABCDEF 的中心，的中心， 且且OA a，OB b，OC c. (1)与与 a 的模相等的向量有多少个？的模相等的向量有多少个？ (2)与与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与与 a 共线的向量有哪些？共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与请一一列出与 a，b，c 相等的向量相等的向量 例例3 【思路点拨思路点拨】 借助几何图形的性质及向量相关借助几何图形的性质及向量相关 概念进行判断概念
14、进行判断 【解】【解】 (1)与与 a 的模相等的向量有的模相等的向量有 23 个个 (2)与与 a 的长度相等且方向相反的向量有的长度相等且方向相反的向量有OD ，BC ，AO ，FE . (3)与与 a 共线的向量有共线的向量有EF ，BC ，OD ，FE ，CB ，DO ，AO ，DA ， AD . (4)与与 a 相等的向量有相等的向量有EF ，DO ，CB ； 与与 b 相等的向量有相等的向量有DC ，EO ，FA ；与；与 c 相等的向量有相等的向量有FO ，ED ， AB . 【点评点评】 (1)向量的相关概念性质与几何知识交汇向量的相关概念性质与几何知识交汇， 要注意联系几何图
15、形的相关性质要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图使向量与几何图 形有机地结合起来形有机地结合起来 (2)零向量是共线向量判定的一个盲点零向量是共线向量判定的一个盲点，要特别注意要特别注意 变式训练变式训练 3 七巧板， 也称七巧板， 也称“七巧图七巧图”、 “智智 慧板慧板”，是，是汉族民间流传的智力玩具原为汉族民间流传的智力玩具原为 文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图文人的一种室内游戏，后在民间演变为拼图 板玩具现在的七巧板是将一块正方形切割板玩具现在的七巧板是将一块正方形切割 为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个 平行四边形， 如图所示
16、试写出图中与平行四边形， 如图所示 试写出图中与DG 、 FE 模长相等的向量模长相等的向量 解：解：与与DG 模长相等的向量有：模长相等的向量有： GD 、GO 、 OG 、OH 、 HO 、HB 、BH 、FI 、 、IF 、 、IE 、 、EI 、 、FG 、GF 、IO 、 OI 共共 15 个； 与个； 与FE 模长相等的向量有：模长相等的向量有： EF 、 DO 、 OD 、 GH 、HG 、OB 、BO 、AO 、OA 共共 9 个个 1向量既有大小又有方向，但不能比较大小，向量既有大小又有方向，但不能比较大小， 向量的模是数量，可以比较大小对于一个向向量的模是数量，可以比较大小对于一个向 量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意 平行移动的平行移动的 2平行平行(共线共线)概念不是平面几何中平行线概念概念不是平面几何中平行线概念 的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反 的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条的一对向量，它与长度无关，它与是否在一条 直线上无关直线上无关 3规定零向量与任何向量平行，由于零向量规定零向量与任何向量平行，由于零向量 的方向不确定，因而在解题时，要特别注意向的方向不确定，因而在解题时，要特别注意向 量为零的情况量为零的情况 方法感悟方法感悟
