1、向量的坐标表示与运算向量的坐标表示与运算 复复 习习 1、平面向量基本定理的内容是什么？、平面向量基本定理的内容是什么？ 2、什么是平面向量的基底？、什么是平面向量的基底？ 平面向量的基本定理平面向量的基本定理: 向量的基底向量的基底: 不共线的平面向量不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这叫做这 一平面内所有向量的一组基底一平面内所有向量的一组基底. 如果如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共 线的向量，那么对于这一平面内的任一线的向量，那么对于这一平面内的任一 向量向量 a ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 1 , 2 使使 得得a= 1 e1+ 2 e2
2、1在平面内有点在平面内有点A和点和点B，怎样表示向量，怎样表示向量 ？ AB O x y 思考思考1:1: A A B B 任一向量任一向量a ，用这组基底，用这组基底 能不能表示能不能表示? 2.分别与分别与x 轴、轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作为平面向量的基底能否作为平面向量的基底? i j a A B C D o x y i j 思考：思考：如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中， 已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设设 ，填空：，填空： ,OAi OBj （1） | | _,| _, | _; ij OC （2）
3、若用）若用 来表示来表示 ，则：，则： , i j ,OC OD _,_.OCOD34ij 57ij 1 1 5 3 5 4 7 （3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？表示出来？ CD, i j 23CDij 探索探索1: 以以O为起点，为起点， P为终点的向量能为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？否用坐标表示？如何表示？ o P x y a 4 3 2 1 -1 -2 -3 -2246 i j ），（ 23P 32(3,2)OPij O 4 3 2 1 -1 -2 -3 -2246 i j ），（yx P ( , )OPxiyjx y 向量的坐标表示 O 向量向量 P（x ，y） 一
4、一 一一 对对 应应 OP 在平面直角坐标系内，起点不在坐标在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点原点O的向量如何用坐标来表示的向量如何用坐标来表示? 探索探索2: A o x y 可通过向量的可通过向量的 平移，将向量的起点平移，将向量的起点 移到坐标的原点移到坐标的原点O处处. 解决方案解决方案: : a a O x y A i j a x y +axiy j +OAxiy j A B C D o x y i j a 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 如图，如图， 是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同 的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则 , i j ,
5、i j xyxy 对对于于该该平平面面内内的的任任一一向向量量 a a ， 有有且且只只有有一一对对实实数数 、 ，可可使使 a ax x= i += i +y yj j 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做）叫做 向量向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作 a ( , )ax y 其中，其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 在在 y y轴上的坐标，式叫做轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示向量的坐标表示。 a a 1 、把、把 a=x i+y j 称为称为向量基底形式向量基底形式. 2 、把、把(x , y)叫做向量叫做向量a的（直角）坐标的（直角）
6、坐标, 记为：记为：a=(x , y) , 称其为称其为向量的坐标形式向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中、其中 x、 y 叫做叫做 a 在在X 、Y轴上的坐标轴上的坐标. 单位向量单位向量 i =（1，0），），j =（0，1） 思考思考: 3两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？ 1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定? aOA 由由a 唯一确定唯一确定 2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？ 2121 yyxxba 且且 向量向量a 坐标（坐标（x ，y）
7、 一一 一一 对对 应应 若若a以为起点以为起点,两者相同两者相同 O x y i j a A(x, y) a CO 例例1 1 A(-1,3),B(1,-3)A(-1,3),B(1,-3)，C(4, 1)C(4, 1)，D(3,4)D(3,4)， 求求向向量量OA,OB,OD,OA,OB,OD,的的坐坐标标。 变形变形:如图分别用基底如图分别用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ， 并求出它们的坐标。并求出它们的坐标。 i j a bcd A A1 A2 解：如图可知解：如图可知 12 23aAAAAij (2,3)a 同理同理 b=-2i+3j=(-2,3);b=-2i+3j=(-2,
8、3); c =-2i-3j=(-2,-3);c =-2i-3j=(-2,-3); d =2i-3j=(2,-3).d =2i-3j=(2,-3). 思考：思考：已知已知 你能得出你能得出 的坐标吗？的坐标吗？ 1122 ( ,),(,)ax ybx y ,ab aba 平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算： 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个两个向量和（差）的坐标分别等于这两个 向量相应坐标的和（差）向量相应坐标的和（差） 1212 1212 (,) (,) abxx yy abxx yy 11 (,)axy 实数与向量的积的坐标等于用这个实实数与向量的积的坐标等于用这个实 数乘原来向量的
9、坐标数乘原来向量的坐标 探究探究3 向量的加法： y x o a b x1 x2 x1+x2 y1 y2 y1+y2 ab 已知已知a=(x1,y1), b=(x2,y2),则则a+b=(x1+x2,y1+y2) ab 向量的减法： 同理可得同理可得数乘向量的坐标运算数乘向量的坐标运算 已知已知a=(x1,y1), b=(x2,y2), 则则a-b=(x1-x2,y1-y2) o y x x1 x2 y1 y2 a b x1x2 y1y2 已知已知a=(x,y)和实数和实数，则，则a=（x,y） ),( ),( ),( ),(),( 11 2121 2121 2211 yxa yyxxba y
10、yxxba yxbyxa 则： 向量的坐标运算法则 练习练习:已知已知 求求 的坐标。的坐标。 (2,1),( 3,4)ab ,34ab abab 例例2.如图，已知如图，已知 求求 的坐标。的坐标。 1122 ( ,),(,)A x yB xy AB x y O B A 解：解： ABOB OA 2211 ( ,) ( , )x yx y 2121 (,)xx yy 一个向量的坐标等于表示此向量的一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 这是一个重要结论这是一个重要结论！ 例例3.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B
11、、C的的 坐标分别是（坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），）， 试求顶点试求顶点D的坐标。的坐标。 ABCD A B C D x y O 解法：解法：设点设点D的坐标为（的坐标为（x,y） ( 1,3)( 2,1)(1,2) (3,4)( , )(3,4) AB DCx yxy ABDC 且 且 (1,2)(3,4)xy 13 24 x y 解得解得 x=2,y=2 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2） 例例3.如图，已知如图，已知 的三个顶点的三个顶点A、B、C的的 坐标分别是（坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），）， 试求顶点试
12、求顶点D的坐标的坐标。 ABCD A B C D x y O 解法解法2：由平行四边形法则可得由平行四边形法则可得 ( 2( 1),1 3)(3( 1),43) (3, 1) BDBABC 而而 ( 1,3)(3, 1) (2,2) ODOBBD 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2） 变形变形:如图，已知如图，已知 平行四边形的三个顶点的坐标平行四边形的三个顶点的坐标 分别是（分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），）， 试求第四个顶点的坐标试求第四个顶点的坐标。 x y O ( (- -2,1)2,1) ( (- -1,3)1,3) (3,4)(3,4) 课堂小结课堂小结: : 2 加、减法法则加、减法法则. 3 实数与向量积的运算法则实数与向量积的运算法则： 4 向量坐标向量坐标. 若若A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 1 向量坐标定义向量坐标定义. 则则 =(x2 - x1 , y2 y1 ) AB a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1) a =(x,y )=(x ,y )
