1、 1. 向量的数量积定义向量的数量积定义 2.数量积的重要性质数量积的重要性质 (1)|cos,e aa eaa e (2)0aba b 2 |)3(aaa aaa |或 (4)cos | a b a b | )5(baba 知识回顾知识回顾 a b=|a| |b|cos 我们小学时学过数与数相乘，它们满足哪些运算律？我们小学时学过数与数相乘，它们满足哪些运算律？ 1.交换律交换律 abba 2.2.结合律结合律 a bcab cb ac 3.3.分配律分配律 ab cacbc 向量的数量积是否具有类似向量的数量积是否具有类似 于数量乘法那样的运算律？于数量乘法那样的运算律？ a bb a 交
2、换律交换律 分配律：分配律： ()abca cb c 结合律：结合律： )(cbacba ）（ ？ ？ ？ 探探 究究 将结合律中的某一向量换成数将结合律中的某一向量换成数 ()()()a ba bab ？ ？ 分配律：分配律： ()abca cb c 将结合律中的某一向量换成数将结合律中的某一向量换成数 ()()()a ba bab ？ ？ ？ 数乘结合律数乘结合律 a bb a 交换律交换律 结合律：结合律： )(cbacba ）（ ？ ？ 探探 究究 讨论结果讨论结果 思路探究：思路探究： 0 0 0 )(cbcacba只需证只需证 a e laaea,cos| l 探究一探究一 分配律
3、的证明分配律的证明 ()ab ca cb c 分配律证明：分配律证明： B1 A a B b A1 O C c C0 0 0 0000 (ab) ca cb c(ab) ca cb c OAa ABb OCc任取点O，作, 1 , OA 根据向量的数量积的定义 有 0000 a cca cc OB 0000 (ab) cc(ab) cc AB 0000 b ccb cc OBOAAB 11111111 又又 上式两边同时乘以上式两边同时乘以 ， 得得 | |c c| | c cb bc ca ac c) )b ba a( ( 11 设点O为O,A,B在,A,B在向向量量c上c上的的射射影影,A
4、 ,B ,A ,B , 1 OA 11 AB 1 OB 平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律 已知向量已知向量 和实数和实数 ，则向量的数量积满足：，则向量的数量积满足： , ,a b c （2） ()()()aba bab（数乘结合律）（数乘结合律） （3） ()abca cb c （分配律）（分配律） a bb a （交换律）（交换律） （1） 探究二探究二 数量积的运算律应用（一）数量积的运算律应用（一） 求证：求证： 22 2 |2|1bbaaba）（ 22 |2bababa）（ 22 1 2 abab a aa bb ab b aa bb 证明： 22 (2)a bab a
5、aa bb ab b ab （ + ） （） 探究三探究三 数量积的运算律应用（二）数量积的运算律应用（二） 已知：ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线 求证： ACBD 思路探究：将线线垂直转化为向量垂直 =AC ABAD BDADAB证明： ， 22 () () 0 AC BDABADADABADAB ADAB AC BD ACBD 小结：先将几何问题转换为向量问题， 再利用 向量数量积及运算律解决此问题. 跟踪练习跟踪练习 0 =3=5ABC=60 . ABCABBC AC 在中，已知边长， 求边长 222 202 2 , 2 32 3 5cos1205 19 19 19= 19
6、ACABBC ABBCABAB BCBC ABBCABBC ACAC 解析： 即边长 , 4, 6baba与与 的夹角为的夹角为60， 已知已知 baba32 当且仅当当且仅当 为何值时，为何值时， 与与 互相垂直？互相垂直？ kba2bak 求（求（1） （2） 探究四探究四 数量积的运算律应用（三）数量积的运算律应用（三） 思路探究（1）用向量数量积定义及运算律 （2） 0aba b 解析： 22 22 0 22 23=3+26 6 366 4cos606 16 72 2,2=0 2=+ 212 3612 2132 60440 11 2 15 ababaa ba bb aa bb abka
7、babkab abkabkaka bb kk k kabkab （1） （2）若则 时， 已知： 求：（1） （2） 跟踪练习跟踪练习 0 4,2,120aba b ab () (2 ) .abab 思路探究（1）利用向量数量积定义及运算律 （2） 2 aa利用求解 平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律 已知向量已知向量 和实数和实数 ，则向量的数量积满足：，则向量的数量积满足： , ,a b c （2） ()()()aba bab（数乘结合律）（数乘结合律） （3） ()abca cb c （分配律）（分配律） 课堂小结课堂小结 a bb a （交换律）（交换律） （1） 1. 已知向量 的夹角为 ，且 则 =（ ） A B 3 C D 2. 已知向量 的夹角为 ，且 求 , 3, 3baba 3323 32 0 60 ba, ba, 0 120, 4 ba )2(bab 当堂检测当堂检测 A (2)0bab 3.若 且 求向量 的夹 角。 , 2, 1bacba, ac ba, 0 ,120a b 1.已知 ， 求 2.用内积运算，证明长方形的两条对角线相等。 0 120, 8, 6baba., 2 baba 课后巩固课后巩固
