1、1.2.3 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 课课 件（人教件（人教B版必修版必修4） 12.3 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 12.3 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 学习目标学习目标 1.理解同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos2 1，tan sin cos . 2 会利用这两个公式求三角函数式的值， 化简三会利用这两个公式求三角函数式的值， 化简三 角函数式或证明三角恒等式角函数式或证明三角恒等式 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 y r 1 三
2、角函数定义：三角函数定义： sin_， cos_， tan _ (r x2y20) x r y x 2同角同角 终边相同的角终边相同的角 的集合为的集合为 _ 3利用正弦线、余弦线可以看出，当利用正弦线、余弦线可以看出，当 ( 4 ， 5 4 ) 时，时，sincos，当，当 (0， 4 )(5 4 ，2)时，时， sin_cos. |k 360，kZ 0，cos 5 5 ， sin2 5 5 2 5 5 . 综合综合(1)(2)知：当知：当 为第二象限角时，为第二象限角时， cos 5 5 ，sin2 5 5 ， 当当 为第四象限角时，为第四象限角时，cos 5 5 ，sin2 5 5 .
3、【点评点评】 同角三角函数的基本关系式揭示了同角三角函数的基本关系式揭示了 同角之间的三角函数关系同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是其最基本的应用是 “知一求二知一求二”，要注意角所在象限要注意角所在象限，必要时必必要时必 须进行讨论须进行讨论，另外在本例中要注意体会方程思另外在本例中要注意体会方程思 想的应用想的应用 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结 果尽可能地简单，也就是项数尽可能地少，次果尽可能地简单，也就是项数尽可能地少，次 数尽可能地低，函数的种类尽可能地少，分母数尽可能地低，函数的种类尽可能地少，分母 中尽量不含三角函数符号，能
4、求值的一定要求中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求 值值 三角函数式的化简三角函数式的化简 【思路点拨思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息： (1)中含有二次根式中含有二次根式 (2)中所含角中所含角的三角函数次数相对较高的三角函数次数相对较高，且分子且分子 分母含常数分母含常数“1”解答本题中的解答本题中的(1)，(2)时应充分时应充分 利用利用“sin2cos21”这一条件这一条件 例例2 化简下列各式：化简下列各式： (1) 12sin 10 cos 10 sin 10 1sin2 10 ；(2) 1cos4sin4 1cos6sin6 . 【解】【解】 (
5、1)原式原式 cos10 sin10 2 sin 10 cos2 10 |cos 10 sin 10 | sin 10 cos 10 cos 10 sin 10 sin10 cos10 1. (2)法一：原式法一：原式 cos 2 sin2 2 cos4sin4 cos2sin2 3 cos6sin6 2cos2 sin 2 3cos2 sin 2 cos2 sin2 2 3. 法二：原式法二：原式1 cos4sin4 1 cos6sin6 1 cos2sin 2 2 2sin 2cos2 1 cos2sin2 cos4cos2sin2sin 4 112cos2sin2 1 cos2sin 2
6、 2 3cos2sin 2 2cos2sin2 3cos2sin2 2 3. 法三： 原式法三： 原式 1cos2 1cos2 sin4 1cos2 1cos2cos4 sin6 sin2 1cos2sin 2 sin2 1cos2cos4sin 4 2cos2 1cos2cos2sin2 2cos 2 3cos2 2 3. 【点评】【点评】 (1)在进行三角函数式的化简或求值在进行三角函数式的化简或求值 时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公 式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关 系式变形的出发点系
7、式变形的出发点 (2)第第(2)题的三种方法虽然思路不同，但都是应题的三种方法虽然思路不同，但都是应 用公式用公式 sin2cos21， 法二和法三都是顺用公， 法二和法三都是顺用公 式，而法一则是逆用公式，三种方法中以法一最式，而法一则是逆用公式，三种方法中以法一最 简单简单 这里所谓逆用公式这里所谓逆用公式 sin 2 cos21， 实质， 实质 就是就是“1”的三角代换：的三角代换：“1sin2cos2”，“1 tan 4” ”等等，等等，“1”的三角代换在三角函数式的的三角代换在三角函数式的 恒等变形过程中有着广泛的应用恒等变形过程中有着广泛的应用 变式训练变式训练 1 若若 sin
8、tan0， 化简， 化简 1sin 1sin 1sin 1sin. 解：解：由于由于 sin tan0，则，则 sin tan 异号，异号， 为第二、三象限角，为第二、三象限角，cos0， 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 2 1sin2 1sin 2 1sin2 1 sin |cos| 1 sin |cos| 2 |cos| 2 cos . 三角恒等式的证明三角恒等式的证明 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差 异异，有目的地化简有目的地化简 例例3 求证：求证： sin 1cos 1 cos sin . 【思路点拨】【思路点拨】 可以
9、用作差法证明恒等式，也可以用作差法证明恒等式，也 可以用可以用“1”的代换的代换 【证明】【证明】 法一：法一： sin 1cos 1cos sin sin 2 1cos 1cos 1cos sin sin 2 1cos2 1cos sin sin2sin 2 1cos sin 0， sin 1cos 1 cos sin . 法二：法二：sin2cos211cos2sin2 (1cos)(1cos)sin sin sin 1cos 1 cos sin . 【点评】【点评】 (1)利用同角三角函数关系式证明时，利用同角三角函数关系式证明时， 要熟悉公式要熟悉公式方法有从左至右，从右至左或两方法有
10、从左至右，从右至左或两 侧同时证明，或可用比较法与分析法侧同时证明，或可用比较法与分析法 (2)注意切化弦、弦化切及平方关系的应用注意切化弦、弦化切及平方关系的应用 变式训练变式训练 2 求证：求证：2(1sin)(1cos)(1 sincos)2. 证明：证明：法一：左边法一：左边112sin2cos 2sincos 1sin2cos22sin2cos2sincos (1sincos)2右边右边 法二：右边法二：右边1sin2cos22sin2cos 2sincos 2(1sincossincos) 2(1sin)(1cos)左边左边 方法感悟方法感悟 1掌握三种基本题型掌握三种基本题型 (
11、1)求值：注意是否指明角的所在象限，确定解求值：注意是否指明角的所在象限，确定解 的个数；的个数； (2)化简：化简标准一般是函数种类尽量少，项化简：化简标准一般是函数种类尽量少，项 数尽量少，次数尽量低，能求值要求值，尽量分数尽量少，次数尽量低，能求值要求值，尽量分 母不含三角形式与根式母不含三角形式与根式 (3)证明：要掌握基本思路，消除等式两边的差证明：要掌握基本思路，消除等式两边的差 异异 2对同角三角函数关系式还应注意：对同角三角函数关系式还应注意：(1)是使是使 两边都有意义的角的取值；两边都有意义的角的取值；(2)对公式除了顺用对公式除了顺用、 逆用逆用，还要学会变形使用；还要学会变形使用；(3)对平方关系对平方关系，尽尽 可能少使用可能少使用，使用时注意对正负号的选取使用时注意对正负号的选取
