1、3.3 三角函数的积化和差与和差三角函数的积化和差与和差 化积化积 课件（人教课件（人教B版必修版必修4） 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 3.3 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 学习目标学习目标 1. 了解三角函数的积化和差与和差化积公式了解三角函数的积化和差与和差化积公式 2能利用三角函数的积化和差与和差化积公式能利用三角函数的积化和差与和差化积公式 解决有关问题解决有关问题 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1sin 2 _ cos 2 _ 1cos 2 1cos 2 tan 2 1cos 1cos _1 cos sin 2若若 x，y，则，则
2、_， _. sin 1cos xy 2 xy 2 知新益能知新益能 1积化和差公式积化和差公式 coscos_； sinsin_； sincos_； cossin_ 1 2cos( )cos() 1 2cos( )cos() 1 2sin( )sin() 1 2sin( )sin() 2和差化积公式和差化积公式 sinsin_； sinsin_； coscos_； coscos_. 2sin 2 cos 2 2cos 2 sin 2 2cos 2 cos 2 2sin 2 sin 2 思考感悟思考感悟 1和差化积公式的适用条件是什么和差化积公式的适用条件是什么？ 提示：提示：只有系数绝对值相同
3、的同名函数的和与差，只有系数绝对值相同的同名函数的和与差， 才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正 弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成 同名函数后再运用公式同名函数后再运用公式 思考感悟思考感悟 2积化和差与和差化积之间有什么关系积化和差与和差化积之间有什么关系？ 提示：提示：和差化积与积化和差关系密切和差化积与积化和差关系密切，在解题中在解题中 可交替使用可交替使用当和积互化时当和积互化时，角度要重新组合角度要重新组合， 因此有可能产生特殊角；结构将变化因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可因
4、此有可 能产生互为相反项或为互约因式能产生互为相反项或为互约因式，从而有利于化从而有利于化 简简 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 化简并求值化简并求值 化简时注意利用特殊角的三角函数值，可使化简时注意利用特殊角的三角函数值，可使 问题变得简单化，有利于求解问题变得简单化，有利于求解 例例1 已知已知 coscos1 2， ，sinsin1 3， ， 求求 sin()的值的值 【思路点拨思路点拨】 解答本题利用和差化积公式解答本题利用和差化积公式， 对所求式子进行变形对所求式子进行变形，利用特殊角或所给条件利用特殊角或所给条件 求解求解 【解】【解】 coscos1 2， ， 2si
5、n 2 sin 2 1 2 sinsin1 3， ，2cos 2 sin 2 1 3 sin 2 0， tan 2 3 2. 即即 tan 2 3 2， ，sin() 2sin 2 cos 2 sin2 2 cos2 2 2tan 2 1tan2 2 23 2 19 4 12 13. 【点评点评】 对于给角求值问题对于给角求值问题，要分析式子的特要分析式子的特 点点，是否具备同名的和差形式或者同名是否具备同名的和差形式或者同名、异名正异名正、 余弦函数乘积的形式余弦函数乘积的形式，通过通过“配对配对”，进行另一进行另一 种形式的转化；对于给值求值问题种形式的转化；对于给值求值问题，一般思路是一
6、般思路是 先对条件化简先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满之后看能否直接求结果；若不满 足足，再对所求化简再对所求化简，直到找到两者的联系为止直到找到两者的联系为止 变式训练变式训练 1 不查表求值：不查表求值：(1)sin54 sin18 ； (2)sin5 12cos 12. 解：解：(1)原式原式2cos36 sin18 22sin18 cos18 cos36 2cos18 2sin36 cos36 2cos18 sin72 2cos18 1 2. (2)sin5 12cos 12 1 2sin( 5 12 12) sin(5 12 12) 1 2(sin 2 sin 3) 1 2
7、(1 3 2 )1 2 3 4 . 证明过程中要注意切化弦、化异为同基本原则的证明过程中要注意切化弦、化异为同基本原则的 应用应用 证明三角恒等式证明三角恒等式 例例2 证明：证明：11 4sin 22 sin2cos4sin( ) sin() 【思路点拨思路点拨】 先利用先利用1sin2cos2化简，再化简，再 将将2的三角函数转化为的三角函数转化为的三角函数，最后用降的三角函数，最后用降 幂公式与和差化积公式即可完成幂公式与和差化积公式即可完成 【证明】【证明】 左边左边(1sin2) 1 4 (2sincos)2 cos4 cos2cos2(sin2cos2) cos2cos2 1cos
8、2 2 1cos2 2 1 2 (cos2 cos2) 1 2 2sin()sin()sin( )sin()右边右边 【点评点评】 证明三角恒等式，一般是从左证右或证明三角恒等式，一般是从左证右或 从右证左或是两边分头化简得同一结果从右证左或是两边分头化简得同一结果 变 式 训 练变 式 训 练2 证 明 ：证 明 ： tan 3x 2 tan x 2 2sinx cosxcos2x. 证明：证明：法一：法一：tan3x 2 tanx 2 sin3x 2 cos3x 2 sinx 2 cosx 2 sin3x 2 cosx 2 cos3x 2 sinx 2 cos3x 2 cosx 2 sin
9、 3x 2 x 2 cos3x 2 cosx 2 sinx cos3x 2 cosx 2 2sinx cosxcos2x. 法二：法二： 2sinx cosxcos2x sinx cos3x 2 cosx 2 sin 3x 2 x 2 cos3x 2 cosx 2 sin3x 2 cosx 2 cos3x 2 sinx 2 cos3x 2 cosx 2 sin3x 2 cos3x 2 sinx 2 cosx 2 tan3x 2 tanx 2. 综合应用综合应用 解综合问题一定要明确各知识的内容，在利用解综合问题一定要明确各知识的内容，在利用 三角公式化简时要注意向已知过渡，力求消除三角公式化简
10、时要注意向已知过渡，力求消除 形式的差异，有利于简化问题形式的差异，有利于简化问题 例例3 在在ABC 中，中，a，b，c 分别是角分别是角 A，B，C 所对所对 的边长，且的边长，且 2sin2A B 2 cos2C1. (1)求求 C 的大小；的大小； (2)若若 sin2Asin2B1 2sin 2C，试求 ，试求 sin 2A 3 的值的值 【思路点拨思路点拨】 在在ABC中涉及的有关问题中涉及的有关问题，要要 根据三角形的边角关系根据三角形的边角关系、内角和定理等相关性质内角和定理等相关性质 进行运算进行运算 【解】【解】 (1)由由 2sin2A B 2 cos2C1 得得 1co
11、s(A B)2cos2C11， 又又 ABC，将上式整理得，将上式整理得 2cos2CcosC1 0， 即即(2cosC1)(cosC1)0， 解得解得 cosC1 2或 或 cosC1(舍去舍去) 由由 0C，得，得 C 3. (2)由由 sin2Asin2B1 2sin 2C，有 ，有 2sin2A2sin2B sin2C， 即即 1cos2A1cos2B3 4， ，cos2Bcos2A3 4， ， 所以所以2sin(AB)sin(BA)3 4， ， 又又 AB2 3 ，所以，所以 sin(BA) 3 4 ， 因为因为 B2 3 A，所以，所以 sin 2 3 2A 3 4 ， 所以所以
12、sin 2A 3 sin 2A 3 sin 2 3 2A 3 4 . 【点评点评】 分清已知分清已知、未知未知、恰当选取公式恰当选取公式， 能起到事半功倍的效果能起到事半功倍的效果 方法感悟方法感悟 1积化和差与和差化积是一对孪生兄弟积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分不可分 离离，在解题过程中在解题过程中，要切实注意两者的交替使要切实注意两者的交替使 用用一般情况下一般情况下，遇有正遇有正、余弦函数的平方余弦函数的平方，要要 先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然然 后应用和差化积后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计积化和差公式进行化简或计 算算 2不论是积化和差还是和差化积中的不论是积化和差还是和差化积中的“和差和差”与与 “积积”，都是指三角函数间的关系而言都是指三角函数间的关系而言，并不是并不是 指角的关系指角的关系 3化简过程应注意角的特殊值化简过程应注意角的特殊值，使两角和差使两角和差(积积) 为特殊角为特殊角，再求值再求值
