1、1.6 微积分基本定理 3 1 1.4 dx 0 2 a xdx. 3 2 0 3(2) x dx. 3 2 0 49 x dx. 8 2 5 2 2 1 a 引入引入1 你能求出下列各式的值吗？不妨试试你能求出下列各式的值吗？不妨试试. 4 9 引入引入2 一个做变速直线运动的物体的运动规律一个做变速直线运动的物体的运动规律s s(t).由导数的概念可以知道，它在任意时刻由导数的概念可以知道，它在任意时刻t的速的速 度度v(t)s(t).设这个物体在时间段设这个物体在时间段(a，b)内的位移内的位移 为为s，你能分别用，你能分别用s(t)，v(t)来表示来表示s吗？从中你能发吗？从中你能发
2、现导数和定积分的内在联系吗？现导数和定积分的内在联系吗？ 1.1.探究变速直线运动物体的速度与位移的关系探究变速直线运动物体的速度与位移的关系. . 2.2.了解微积分基本定理的含义了解微积分基本定理的含义. .（难点）（难点） 3.3.正确运用基本定理计算简单的定积分正确运用基本定理计算简单的定积分. . （重点）（重点） 从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数 为为v=v(t)v=v(t)，那么在时间区间，那么在时间区间a,ba,b内物体的位移内物体的位移s s可可 以用定积分表示为以用定积分表示为 ( )d . b a sv tt 探究点探究点1
3、 导数和定积分的关系导数和定积分的关系 另一方面，从导数角度来看：如果已知该变另一方面，从导数角度来看：如果已知该变 速直线运动的路程函数为速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间，则在时间区间 a,b内物体的位移为内物体的位移为s(b)s(a)，所以又有，所以又有 ( )d( )( ). b a v tts bs a 由于由于 ，即，即s(t)s(t)是是v(t)v(t)的原函数，这就的原函数，这就 是说，定积分是说，定积分 等于被积函数等于被积函数v(t)v(t)的原函的原函 数数s(t)s(t)在区间在区间a,ba,b上的增量上的增量s(b)s(b)s(a).s(a). ( )(
4、 )s tv t ( )d b a v tt , , , yy t tv ty t a bSy tv t 如如图图，一一个个做做变变速速直直线线运运动动的的物物体体的的运运动动规规律律是是 由由导导数数的的概概念念可可知知，它它在在任任意意时时刻刻的的速速度度为为设设这这个个 物物体体在在时时间间段段内内的的位位移移为为 ，你你能能分分别别用用表表示示S S吗吗？ t O y tyy B a ay b S a(t ) 0 t1 i t 1i t n b(t ) n t 1 t2 S1 S2 i S n S 1 h 2 h i h n h A y b ii Sh tanDPCt 1i y tt
5、12in SSSSS Sy by a 1ii Sv tt 1i ba y t n 1i y tt y(a)y(a) P P D D C C S=yS=y（b b） -y-y（a a） b a y t dt yy t ay by 12 in SSSSS ii-1i-1ii-1i-1 i-1i-1 S S v tv t t=y tt=y t t t b-ab-a =y t=y t n n n n i-1i-1 n n i=1i=1 S =limv tS =limv t t t n n i-1i-1 n n i=1i=1 =limy t=limy t t t b a v t dt aybydttyS
6、 b a 探究点探究点2 2 微积分基本定理微积分基本定理 y y 微积分基本定理：微积分基本定理： 如果如果f( (x) )是区间是区间 a, ,b 上的连续函数，并且上的连续函数，并且F F( (x) ) f（x) )，那么，那么 ( )d( )( ) b a f xxF bF a 这个结论叫做这个结论叫做微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式 （Newton-Leibniz formula). b b b b a a a a f(x) dx=F(x) =F(b)-Ff(x) dx=F(x)
7、 =F(b)-F 或或记记作作 (a).(a). ( )d ( )( ) b a f x xF bF a 微积分基本定理表明：微积分基本定理表明： 一个连续函数在区间一个连续函数在区间 , a b 上的定积分等于它上的定积分等于它 的任意一个原函数在区间的任意一个原函数在区间 , a b 上的增量上的增量. 注意注意: ( )d( )( ) b a f xxF bF a 仍成立仍成立. 求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题. . 当当ab时，时， F F (x)=f(x)(x)=f(x) b a xF)( . . 计计算算定定积积分分的的关关键键是是找找到到满满足足
8、 的的函函数数通通常常，我我们们可可以以运运 用用基基本本初初等等函函数数的的求求导导公公式式和和导导数数的的四四则则 运运算算法法则则从从反反方方向向求求出出 F F F F b a f x dx xfF xx x 函数函数 f(x)f(x) 导函数导函数 f(x)f(x) 回顾：基本初等函数的导数公式回顾：基本初等函数的导数公式 n x 1n nx 1 x 1 lnxa sin x cosxsinx cos x x e x a ln x aa x e c 0 log a xln x 被积被积 函数函数 f(x)f(x) 一个原一个原 函数函数 F(x)F(x) 基本初等函数的原函数公式基本
9、初等函数的原函数公式 c cx n x 1 1 1 n x n sin x cosx sinx cos x x a ln x a a x e x e 1 x ln|x 23 2 11 11 : 1;221.dxxdx xx 计计算算下下列列分分例例定定积积 1 ln,x x （1 1 因因解解） 为为 2 2 1 1 1 ln|dxx x 所所以以ln 2ln1ln 2. 2 2 11 2 ,xx xx （2 2） 因因为为 333 22 111 11 22xdxxdxdx xx 3 2 3 1 1 1 |x x 122 911. 33 2 22 2 0 00 0 计计算算下下列列定定积积分分
10、 : : sin x dx,sin x dx,sin x dsin x dx,sin x dx,sin x d 例例 2 2 x x . . cossin,xx解解因因为为 coscos02; 2 2 sincos|xdxx cos2cos2; 2 2 0 0 sincos|xdxx cos2cos00. 0 0 sincos|xdxx 我们发现：我们发现： 定积分的值可取正值也可取负值，还可能是定积分的值可取正值也可取负值，还可能是0 0； （1 1）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方时，定积分的值取正值；轴上方时，定积分的值取正值； ox y 2 1 1 sinyx + + （2
11、2）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴下方时，定积分的值取负值；轴下方时，定积分的值取负值； （3 3）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方的面积等于位于轴上方的面积等于位于x x轴下方轴下方 的面积时，定积分的值为的面积时，定积分的值为0 0 ox y 1 1 2 sinyx - - o x y 1 1 2 sinyx - - + + 1 1 2 1 4 15 4 1 0 1 0 1 3 0 2 3 1 1. 11 2 3 4 dx xdx x dx x dx 填空： 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1 2 2 2 2 -1-1 2 2 x x 1 1 2.2.填填空空： 1-
12、3t +2 dt = _1-3t +2 dt = _ 1 1 2x+dx = _2x+dx = _ x x 33x +2x-1 dx = _33x +2x-1 dx = _ 4e +1 dx = _4e +1 dx = _ 1 3 2 2 ln 9 2 1ee 3 3计算定积分计算定积分 解解: : 3 2 2 1 1 3xdx x 32 2 11 3,xx xx 为因因 3333 22 22 1111 11 33x dxdxx dxdx xx 所所以以原原式式 3 3333 11 11176 31 313 x x 3 01 1 41222 .:cos;. x xdxdx x 计计算算下下列列
13、定定积积分分 1 122 2 sincos,xx 解解因因为为 0 0 1 22 2 cossin|xdxx 所所以以 11 200 22 sinsin. 21 222 2 , ln x x x x 因因为为 333 111 11 22 xx dxdxdx xx 3 3 1 1 2 2 2 | ln x x 826 2 322 32 222 . lnlnln 2 0 201 5.( )( ). 512 xx f xf x dx x 设，求 212 001 ( )( )( ) f x dxf x dxf x dx 解解 12 01 25xdxdx 原原式式= = 6. x y o12 2 12 01 |5 |xx 1.微积分基本定理：微积分基本定理： ( )d( )( ) b a f xxF bF a 被积被积 函数函数 f(x)f(x) 一个原一个原 函数函数 F(x)F(x) 2.2.基本初等函数的原函数公式基本初等函数的原函数公式 c cx n x 1 1 1 n x n sin x cosx sinx cos x x a ln x a a x e x e 1 x ln|x 付出，不一定会有收获；不付出，却一定 不会有收获，不要奢望出现奇迹.
