1、第2课时 导数的运算法则 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 (1)(1)若若f(x)f(x)c(cc(c为常数为常数) )，则，则f(x)f(x) ； (2)(2)若若f(x)f(x)x xa a(aQ*)(aQ*)，则，则f(x)f(x) ； (3)(3)若若f(x)f(x)sin xsin x，则，则f(x)f(x) ； (4)(4)若若f(x)f(x)cos xcos x，则，则f(x)f(x) _； 0 a axa a 1 cos x sin x (5)若若f(x)ax，则，则f(x) ； (6)若若f(x)ex，则，则f(x) ； (7)若若f(x)logax，则，则f(
2、x) ； (8)若若f(x)ln x，则，则f(x) . axln a ex 1 lnxa 1 x x f x g 观察下图你能作出判断吗？观察下图你能作出判断吗？ h（x） = f（x） + g(x) x h = ？ + 求 导 求 导 求 导 求 导 本节课我们就主要解决这一问题本节课我们就主要解决这一问题 1.1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则掌握导数的和、差、积、商的求导法则. .（重点）（重点） 2.2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导 问题问题. . （难点）（难点） 3.3.运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导运用复合函
3、数的求导法则进行复合函数的求导. . （难点）（难点） 探究点探究点1 导数的运算法则导数的运算法则: 法则法则1:1: 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数两个函数和（差）的导数，等于这两个函数 导数的和（差），即导数的和（差），即 ( )( )( )( )f xg xfxg x 法则法则2:2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数, ,等于第一个函数的导等于第一个函数的导 数乘第二个函数数乘第二个函数, ,加上第一个函数乘第二个函数的加上第一个函数乘第二个函数的 导数导数, ,即即: : ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x 法则法则3:3:两个函
4、数的商的导数两个函数的商的导数, ,等于第一个函数的等于第一个函数的 导数乘第二个函数导数乘第二个函数, ,减去第一个函数乘第二个函减去第一个函数乘第二个函 数的导数数的导数, ,再除以第二个函数的平方再除以第二个函数的平方. .即即: : 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ( )0) ( ) ( ) f xfx g xf x g x g x g x g x 由由法则法则2:2: ( ) ( )( )( ) c f xc f xc f xc f x 例例1 求函数求函数y=x3-2x+3的导数的导数. 解解:y =(x3-2x+3) =(x3) -(2x) +(3) =3x2-2 所以
5、所以,所求函数的导数是所求函数的导数是y =3x2-2 求下列函数的导数求下列函数的导数: 73 5 (1)1; 2 (2). yxxx yx x 答案答案: 62 xx(1)y =7+3-1;(1)y =7+3-1; 4 4 2 2 2 2 (2)y =5x +;(2)y =5x +; x x 【变式训练变式训练】 净费时变净费数 导数. 化化用用的的瞬瞬化化率率就就是是化化用用函函 的的 解解: : 2 5284 ( ) 100 5284 (100)5284 (100) (100) c x x xx x =( 2 5284 (100)x 2 0 (100)5284 ( 1) (100) x
6、 x 纯净为时净费 时变 所所以以度度90%，90%，化化用用的的 瞬瞬化化率率是是52.84元52.84元/吨/吨. . (). () c （1）1）因因为为 2 2 52845284 9052 849052 84 1009010090 纯净为时净费时变所所以以度度98%，98%，化化用用的的瞬瞬化化率率 是是1321元1321元/吨/吨. . () () c （2）2）因因为为 2 2 52845284 981321981321 1009810098 函数函数f(x)f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附在某点处导数的大小表示函数在此点附 近变化的快慢近变化的快慢. .由上述计算可知由
7、上述计算可知 . .它它 表示纯净度为表示纯净度为98%98%左右时净化费用的变化率左右时净化费用的变化率, ,大约是纯大约是纯 净度为净度为90%90%左右时净化费用变化率的左右时净化费用变化率的2525倍倍. .这说明这说明, ,水水 的纯净度越高的纯净度越高, ,需要的净化费用就越多需要的净化费用就越多, ,而且净化费用而且净化费用 增加的速度也越快增加的速度也越快. . (98)25 (90)cc 【总结提升总结提升】 探究点探究点2 2 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 一般地一般地,对于两个函数对于两个函数yf(u)和和ug(x),如果通过变如果通过变 量量u,y可以表示成可以
8、表示成x的函数的函数,那么称这个函数为函数那么称这个函数为函数y f(u)和和ug(x)的的_,记作记作yf(g(x). 复合函数复合函数yf(g(x)的导数和函数的导数和函数yf(u),ug(x)的导的导 数间的关系为数间的关系为yxyu ux,即即y对对x的导数等于的导数等于 _与与_的乘积的乘积. 复合函数复合函数 y对对u的导数的导数 u对对x的导数的导数 例例3 求下列函数的导数：求下列函数的导数： 2 (1)(23)yx 数数 数. 数导则 2222 函函y =(2x+3)可y =(2x+3)可以以看看作作函函y = u 和y = u 和u =u = 2x+3的2x+3的复复合合函
9、函 根根据据复复合合函函求求 解解 法法 ： 有有 2 () (23) 4 812 xux yyu ux u x 0.051 (2)e x y 数数 数 数导则 -0.05x+1u-0.05x+1u 函函y = e可y = e可以以看看作作函函y = e 和y = e 和 u = -0.05x+1的u = -0.05x+1的复复合合函函. . 根根据据复复合合函函求求 解解 法法 ： 有有 0.051 () ( 0.051) 0.05e 0.05e xux u u x yyu ex (3)sin()() yx其中 ， 均为常数 (sin ) () cos cos() xux yyu ux u
10、x 【总结提升总结提升】 利用复合函数求导法则求复合函数的导数的利用复合函数求导法则求复合函数的导数的 步骤步骤: : 1 1. .分解复合函数为基本初等函数分解复合函数为基本初等函数, ,适当选取中间适当选取中间 变量变量; ; 2 2. .求每一层基本初等函数的导数求每一层基本初等函数的导数; ; 3.3.每层函数求导后每层函数求导后, ,需把中间变量转化为自变量需把中间变量转化为自变量 的函数的函数. . 1.1.若若f(x)f(x)与与g(x)g(x)是定义在是定义在R R上的两个可导函数，上的两个可导函数， 且且f(x)f(x)，g(x)g(x)满足满足f f (x)=g (x)=g
11、 (x)(x)，则，则f(x)f(x)与与g(x)g(x) 满足（满足（ ） A.f(x)A.f(x)g(x) g(x) B.f(x)B.f(x)g(x)g(x)为常数函数为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)D.f(x)+g(x)为常数函数为常数函数 B B 2.2.函数函数 y y=sin=sinx x(cos(cosx x1)1)的导数为的导数为_._. y =cos2x+cosx 3.3.曲线曲线y=xy=x3 3x x2 2l l在点在点P(P(1 1，1)1)处的切线方程处的切线方程 为为 . . y y= =x x2 2 4.4
12、.求下列函数的导数求下列函数的导数: : 2 2 22 12 (1); (2); 1 (3)tan ; (4)(23) 1; y xx x y x yx yxx 答案答案: : 23 14 ;y xx （1）1） ; () x y x （2）2） 2 2 2 1 1 ; cos y x （3）3） 2 2 1 1 ; xx y x （4）4） 3 3 2 2 6 6 1 1 5.求下列函数的导数求下列函数的导数: （1）yln(3x1); （2）ysin 2x 3 . 解：解：(1)函数函数 yln(3x1)可以看作函数可以看作函数 y ln u和和u3x1的复合函数的复合函数,根根据复合函数
13、求据复合函数求 导法则有导法则有 yxyuux(ln u)(3x1) 1 u 3 3 3x1. (2)y sin 2x 3 cos 2x 3 2x 3 2cos 2x 3 . 6已知抛物线已知抛物线y=x2bxc在点在点(1，2)处与直处与直 线线y=x1相切，求相切，求b，c的值的值 解：解：令令f（x）= x2bxc，则则f （x）=2x+b 又因为点（又因为点（1,21,2）在抛物线上）在抛物线上 所以所以 所以所以 1, 2. b c 1b+c=2, 2b=1, 7.如果曲线如果曲线 y=x3+x- -10 的某一切线与直线的某一切线与直线 y=4x+3 平行平行, 求切点坐标与切线方
14、程求切点坐标与切线方程. 解解: 因为因为 切线与直线切线与直线 y=4x+3 平行平行, 所以所以 切线斜率为切线斜率为 4. 又切线在又切线在 x0 处斜率为处斜率为 所以所以 3x02+1=4.所以所以 x0= 1. 当当 x0=1 时时, y0=-8;当当 x0=-1 时时, y0=-12. 所以所以 切点坐标为切点坐标为 (1, -8) 或或 (-1, -12). 切线方程为切线方程为 y=4x-12 或或 y=4x-8. 00 32 0 |(10)|31. x xx x yxxx 8.8.某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t t秒后的距离秒后的距离s s满足满足s=s=
15、- -4t4t3 3+16t+16t2 2. . (1)(1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? ? (2)(2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零? ? 4 1 4 t 解解: :(1)(1)令令s=0,s=0,即即 t t4 4- -4t4t3 3+16t+16t2 2=0,=0,所以所以t t2 2(t(t- -8)8)2 2=0,=0,解解 得得: : t t1 1=0,t=0,t2 2=8.=8.故在故在t=0t=0或或t=8t=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点. . (2) (2) 即即t t3 3- -12t12t2 2+32t=0,+32t=0
16、, 解得解得:t:t1 1=0,t=0,t2 2=4,t=4,t3 3=8,=8, 32 ( )1232 ,( )0,s tttts t为令因因 故在故在t=0,t=4t=0,t=4和和t=8t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零. . 1 4 1.1.求导法则求导法则 注意注意: : (),uvu v uu vv 1.()uvuv 1212 () nn ffffff 2.()uvu vuv 2 3.( ) u v u vuv v ( ( ) ( ),( ) xux yf g x yf u ug x yyu 复复合合函函数数的的导导数数和和函函数数 的的导导数数间间的的关关系系为为 2.2.复合函数的导数复合函数的导数 3.函数求导的基本步骤：函数求导的基本步骤： （1）分析函数的结构和特征；）分析函数的结构和特征； （2）选择恰当的求导法则和导数公式；）选择恰当的求导法则和导数公式； （3）整理得到结果）整理得到结果. 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟.
