1、1.3.3 函数的最大（小）值与导数 汽油的消耗量（单位：汽油的消耗量（单位：L L）与）与 汽车的速度（单位：汽车的速度（单位：km/hkm/h） 之间有一定的关系，汽油的之间有一定的关系，汽油的 消耗量是汽车速度的函数消耗量是汽车速度的函数 根据你的生活经验，思考根据你的生活经验，思考 下面两个问题：下面两个问题： （1 1）是不是汽车的速度越快，汽油是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量越大的消耗量越大 ； （2 2）“汽油的使用率最高汽油的使用率最高”的含义是什么？的含义是什么？ 解析解析: :（1 1）显然不是；）显然不是； （2 2）行驶里程一定）行驶里程一定, ,汽油消耗量最小汽油消
2、耗量最小. . 今天我们来学习有关最大值与最小值的问题！今天我们来学习有关最大值与最小值的问题！ 飞驰的汽车飞驰的汽车 1.1.借助函数图象，直观地理解函数的最大值和借助函数图象，直观地理解函数的最大值和 最小值概念最小值概念. . 2.2.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值 的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值 和最小值的充分条件和最小值的充分条件. .( (重点重点) ) 3.3.掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和 最小值的思想方法和步骤最小值的思想方法和步骤. .( (
3、难点难点) ) 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益， 常常遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大常常遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大 等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数 的最大值和最小值问题的最大值和最小值问题. . 函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们 与函数极值关系如何？与函数极值关系如何？ 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值 与它附近点的函数值比较是最大或最小与它附近点的函数值比较是最
4、大或最小, ,并不意味并不意味 着它在函数的整个的定义域内最大或最小着它在函数的整个的定义域内最大或最小. . 探究点探究点 函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数 a 1 x 2 x 3 x o 4 x 5 x 6 x b x y xfy 图图3.3-133.3-13 如如图图3.3-13,3.3-13,观观察察区区间间 a,ba,b 上上函函数数y = f xy = f x 的的 图图象象, ,你你能能找找出出它它的的极极 大大值值、极极小小值值吗吗? ? . 1 1 3535 246246 观观察察图图象象, ,我我们们发发现现,f x,f x, f x,f xf x,f x是
5、是函函数数y = f xy = f x 的的极极小小值值,f x,f x,f x,f x,f x,f x是是极极大大值值 3 3 从从图图3.3-133.3-13可可以以看看出出, , 函函数数y = f xy = f x 在在区区间间 a,ba,b 上上最最大大值值是是f a ,f a ,最最小小值值是是f x.f x.的的 你你能能找找出出函函数数y = f xy = f x 在在区区间间 a,ba,b 上上的的最最 大大值值、最最 探探究究 小小值值吗吗? ? a 1 x 2 x 3 x o 4 x 5 x b x y xfy 图图3.3-143.3-14 xfy a b x y o 图
6、图3.3-153.3-15 在在图图3.3-143.3-14、 3.3-153.3-15中中, ,观观察察 a,ba,b 上上的的函函数数 y = f xy = f x 的的图图象象, ,它它们们在在 a,ba,b 上上有有最最大大值值、最最 小小值值吗吗? ?如如果果有有, ,最最大大值值和和最最小小值值分分别别是是什什 么么? ? 一一般般地地, ,如如果果在在区区间间 a,ba,b 上上函函数数y = f xy = f x 的的 图图象象是是一一条条连连 续续不不断断的的曲曲线线, ,那那么么它它必必有有 最最大大值值和和最最小小值值. . 4 3 3 结结合合图图3.3-143.3-1
7、4、图图3.3-15,3.3-15, 以以及及函函数数极极值值 中中的的例例子子, ,不不难难看看出出, ,只只要要把把函函数数 y = f xy = f x 的的 所所有有极极值值 连连同同端端点点的的函函数数值值进进行行比比较较, ,就就 可可以以求求出出函函数数的的最最大大值值f xf x与与最最小小值值 f x.f x. 为 为 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I I，如果存在，如果存在 实数实数M M满足：满足： 最大值与最小值的概念最大值与最小值的概念 （1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有f(x)M; f(x)M; （2 2）
8、存在）存在x x0 0II，使得，使得f(xf(x0 0) = M) = M 那么，称那么，称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值. . 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I I，如果存在，如果存在 实数实数M M满足：满足： （1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有f(x)M; f(x)M; （2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得f(xf(x0 0) = M) = M 那么，称那么，称M M是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值. . 1 3 3 1 1 求求函函数数f x =x -4x+4f x
9、 =x -4x+4在在 0,30,3 上上的的最最大大值值 3 3 与与 例例 最最小小值值. . ox y 2 3 3 3 1 1 f x =x -4x+4f x =x -4x+4 3 3 图 1 1 4 4 为 3 3 22 1 1 因因f x =x -4x+4,所f x =x -4x+4,所以以 3 3 fx = x -4 =fx = x -4 = 解解 x-2x+2 .x-2x+2 . 令令fx = 0,得fx = 0,得x = 2,或x = 2,或x = -2.x = -2. 当 变时变况 x化x化,fx ,f x 的,fx ,f x 的化化 情情如如 下下 表表 : : 由又又于于
10、f 0 =4,f 3 =1,f 0 =4,f 3 =1, 数 4 4 因因此此, 函, 函f x 在f x 在 0,3 上0,3 上的的最最大大值值是是4,最4,最小小值值是是-.-. 3 3 结论从数图图 观验证 上上述述可可函函f x 在f x 在 0,3 上0,3 上的的象象(1)(1) 得得到到直直. . 单调递单调递减单调递 x-x-,-2-2-2,222,+,-2-2-2,222,+ f x+0-0+f x+0-0+ 284284 f x增f x增-增-增 3333 一一般般地地, ,求求函函数数y = f xy = f x 在在 a,ba,b 上上的的最最 大大值值与与最最小小值
11、值的的步步骤骤如如下下: : 1 1 求求函函数数y=f xy=f x 在在 a,ba,b 内内的的极极值值; ; 2 2 将将函函数数y = f xy = f x 的的各各极极值值与与端端点点处处 的的函函数数值值f af bf af b 比比较较, ,其其中中最最大大的的 一一个个是是最最大大值值, ,最最小小的的一一个个是是最最小小值值. . ， 例例2 求函数求函数yx42x25在区间在区间-2,2上的最大值与上的最大值与 最小值最小值. 解解: : 3 44yxx 令令 , ,解得解得x x= =- -1 1，0 0，1.1. 0y 当当x x变化时变化时, , 的变化情况如下表的变
12、化情况如下表: : ,yy 从上表可知，最大值是从上表可知，最大值是1313，最小值是，最小值是4.4. 13 4 5 4 13 0 0 0 2 (1,2) 1 (0,1) 0 (-1,0) -1 (-2,-1) -2 y x y 1.1.函数的最值概念是全局性的函数的最值概念是全局性的 2.2.函数的最大值（最小值）唯一函数的最大值（最小值）唯一 3.3.函数的最值可在端点处取得函数的最值可在端点处取得 总结提升总结提升 1.1. 函数函数f(x)=xf(x)=x - -3x+13x+1在闭区间在闭区间 - -3,03,0上的最大值、上的最大值、 最小值分别是（最小值分别是（ ） A.A.
13、1 1，1 B. 11 B. 1，- -17 17 C. 3C. 3，- -17 D. 917 D. 9，- -1919 C C 2.2.函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，导函数，导函数f f(x)(x)的图象的图象 如图，则函数如图，则函数f(x)f(x)（ ） A.A.无极大值点，有两个极小值点无极大值点，有两个极小值点 B.B.有三个极大值点，两个极小值点有三个极大值点，两个极小值点 C.C.有两个极大值点，两个极小值点有两个极大值点，两个极小值点 D.D.有四个极大值点，有四个极大值点， 无极小值点无极小值点 C C x o y f (x) 3.3.设函数设函数 则则
14、 （ ） A A有最大值有最大值 B B有最小值有最小值 C C是增函数是增函数 D D是减函数是减函数 1 1 f(x)= 2x+-1(x0, 所以所以f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(2)=f(2)=- -16a+3=16a+3=- -29,29, 故故a=2.a=2. 1.1.求在求在a,ba,b上连续上连续,(a,b),(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)f(x)在在a,ba,b 上的最值的步骤上的最值的步骤: : (1)(1)求求f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内的极值内的极值; ; (2)(2)将将f(x)f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)，f(b)f
15、(b)比较比较, ,其中最大的一其中最大的一 个是最大值个是最大值, ,最小的一个是最小值最小的一个是最小值. . 一是利用函数性质一是利用函数性质 二是利用不等式二是利用不等式 三是利用导数三是利用导数 2.2.求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法： 3.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点: (1)要正确区分极值与最值这两个概念要正确区分极值与最值这两个概念. (2)在在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在(a,b)内未内未 必有最大值与最小值必有最大值与最小值. (3)一旦给出的函数在一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话上有个别不可导点的话,不不 要忘记在步骤要忘记在步骤(2)中中,要把这些点的函数值与各极值和要把这些点的函数值与各极值和 f(a)，f(b)放在一起比较放在一起比较. 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴.
