1、1.5.3 定积分的概念 求曲线求曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法 xi y=f(x) x y O b a xi+1 xi x ( (1 1) )分割分割: : 在区间在区间a,ba,b 上等间隔地插入上等间隔地插入n n- -1 1个点个点, ,将将 它等分成它等分成n n个小区间个小区间: : 每个小区间宽度每个小区间宽度x x 1121 1 , , ii n a xx xxx xb . ba n ( (2 2) )取近似求和取近似求和: : 任取任取x xi i xxi i- -1 1, , x xi i ， 第第i i个小曲边梯形的面积个小曲边梯形的面积
2、 用高为用高为f(xf(xi i) )而宽为而宽为x x的的 小矩形面积小矩形面积 f(xf(xi i) ) x x近近 似之似之. . xi y=f(x) x y O b a xi+1 xi x 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近的近 似值：似值： 1 ( ). n i i Sfxx (3)(3)取极限取极限: : 所求曲边梯形的面积所求曲边梯形的面积S S为为 xi y=f(x) x y O b a xi+1 xi x 1 lim( ). n i n i Sfxx 1.1.定积分的计算和简单应用定积分的计算和简单应用. .( (重点重点) ) 2.
3、2.利用定积分求平面区域围成的面积利用定积分求平面区域围成的面积. . ( (难点难点) ) 探究点探究点1 1 定积分的定义定积分的定义 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S S的过程中可以看出的过程中可以看出, , 通过通过 以下四步以下四步: : 分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限得到解得到解 决决. . 0 11 1 limlim. nn ii xn ii Sfxf n xx 曲曲边边梯梯形形面面积积 11 ( )( ) nn ii ii ba fxf n xx i-1iii-1ii 将将区区间间a,ba,b等等分分成成n n个个小小区区间间，在在每每个个小小区区间间 x,x
4、x,x 上上任任取取一一点点 (i=1,2,.,n),(i=1,2,.,n),作作和和式式 011iin axxxxxb 如如果果函函数数f(x)f(x)在在区区间间a,ba,b上上连连续续，用用分分点点 定积分的定义定积分的定义 0 11 1 limlim. nn ii tn ii svtv n xx 变变速速运运动动的的路路程程 1 ( )lim( ). n b i an i ba f x dxf n x 即即 ( ) , ( ) b a n f xa b f x dx 当当时时，上上述述和和式式无无限限接接近近某某个个常常数数， 这这个个常常数数叫叫做做函函数数在在区区间间上上的的定定积
5、积分分， 记记作作 , ( ) ) ( ab a bf f x dx x x 这这里里， 和和 分分别别叫叫做做积积分分下下限限和和积积分分上上限限, , 区区间间叫叫做做积积分分区区间间，函函数数叫叫做做被被积积函函数数， 叫叫做做积积分分变变量量，叫叫做做被被积积式式. . 定积分的定义的理解定积分的定义的理解: : 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号叫做积分号， f(x) 叫做被积函数叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积式叫做被积式， x 叫做积分变量叫做积分变量， a 叫做积分下限叫做积分下限， b 叫做积分上限叫做积分上限， a, b 叫做积分区间叫做积分区间. O
6、ab x y )(xfy 1 ( )lim( ). n b i an i ba f x dxf n x 被 积 函 数 被 积 函 数 被 积 式 被 积 式 积 分 变 量 积 分 变 量 积分下限积分下限 积分上限积分上限 1 ( )lim( ). n b i an i ba f x dxf n x 探究点探究点 2 定积分定积分( ) b a f x dx 的几何意义：的几何意义： 如果在区间如果在区间a,b上函数上函数 f(x)连续且恒有连续且恒有 f(x) )0,0, 那么定积分那么定积分( ) b a f x dx 表示表示 由直线由直线 x=a,x=b,y=0 和曲线和曲线 y=
7、f(x) 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积. O x y a b yf (x) 按定积分的几何意义按定积分的几何意义，有有 (1) (1) 由连续曲线由连续曲线y=f(x) (f(x)y=f(x) (f(x) 0) 0) ，直线，直线x=ax=a、 x=bx=b及及x x轴所围成的曲边梯形的面积为轴所围成的曲边梯形的面积为 ( (2 2) ) 设物体运动的速度设物体运动的速度v=v(t)v=v(t)，则此物体在时间区则此物体在时间区 间间a,a, bb内运动的距离内运动的距离s s为为 b b a a S=f(x)dx.S=f(x)dx. b b a a s=v(t)dt.s=v(
8、t)dt. 1 x y O f(x)=x2 1 3 S 根据定积分的定义根据定积分的定义，右边图形右边图形 的面积为的面积为 11 2 00 1 3 ( ).Sf x dxx dx 同样地，同样地，1.5.21.5.2中汽车在中汽车在0t10t1 这段时间内经过的路程这段时间内经过的路程 11 2 00 5 2 3 ( )().sv t dttdt ( (1 1) ) 定积分是一个数值定积分是一个数值, , 它只与被积函数及积分它只与被积函数及积分 区间有关区间有关，而与积分变量的记法无关而与积分变量的记法无关，即即 总结提升：总结提升： ( )( )( ). bbb aaa f x dxf
9、t dtf u du (2) (2) 定义中区间的分法和定义中区间的分法和x xi i的取法是任意的的取法是任意的. . 3 ( )( ). ba ab f x dxf x dx ( )0. b a abf x dx 特特别别地地， 当当时时， x y O 当当f(x)f(x) 0 0时，由时，由y y f (x)f (x)、x x a a、x x b b 与与 x x 轴所轴所 围成的曲边梯形位于围成的曲边梯形位于 x x 轴的下方，轴的下方， dxxfS b a )( a b yf (x) yf (x) dxxfS b a )( b a f (x)dx c a f (x)dx b c f
10、(x)dx。 S dxxf b a )( ( ). b a f x dxS 在几何上在几何上积分积分dxxf b a )( 表表示示上上述述曲曲边边梯梯形形面面积积 的的负负值值. . a b yf (x) O x y ( )yg x 根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义, ,如何用定积分表示图如何用定积分表示图 中蓝色阴影部分的面积中蓝色阴影部分的面积? ? b yf (x) O x y 1 ( ) b a Sf x dx ( )yg x 2 ( ) b a Sg x dx 探究点探究点3 3 用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积 12 ( )( ). bb aa
11、 SSSf x dxg x dx a 1 1 3 3 0 0 例例1 1利利用用定定积积分分的的定定义义, ,计计算算x dxx dx的的值值. . 3 3 令令f（f（x x解解） = x= x：. . 区区间间间间个个点点 区区间间个个区区间间 个个区区间间长长为为 (1)分(1)分割割在在0,1 上0,1 上等等隔隔地地插插入入n-1分n-1分, , i-1 ii-1 i 把把0,1 等0,1 等分分成成n小n小,(i=1,2,(i=1,2, nnnn ii-11ii-11 n),每n),每小小的的度度x =-=.x =-=. nnnnnn 则则 i i n n 1 1 n n 0 0
12、i=1i=1 i i (2) 近(2) 近似似代代替替、作作和和取取 =i=1,2,n ,=i=1,2,n , n n i i f x dxS =ff x dxS =fx x n n 3 3 n n i=1i=1 i1i1 = = nnnn 2 2 n n 2 2 3232 4444 i=1i=1 11 11111 111 =i =nn+1=1+.=i =nn+1=1+. nn44nnn44n 2 2 1 1 3 3 n n 0 0nn nn 111111 (3)取(3)取极极限限x dx =limS =lim1+=.x dx =limS =lim1+=. 4n44n4 探究点探究点4 定积分
13、的基本性质定积分的基本性质 性质性质1 12 ( )( ) b a f xfxdx 12 ( )( ) bb aa f x dxfx dx 性质性质2 ( ) b a kf x dx ( ) b a kf x dx (k(k为常数为常数) ) 性质性质3.定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 12 12 ( )( )( )( ) bccb aacc f x dxf x dxf x dxf x dx O x y a b yf (x) ( )( )( ) bcb aac f x dxf x dxf x dx( (其中 其中a ac cb)b) 性质性质3 不论不论a，b，c的相
14、对位置如何都有的相对位置如何都有 a b y=f(x) b a f (x)dx c a f (x)dx b c f (x)dx。 b a f (x)dx c a f (x)dx b c f (x)dx。 b a f (x)dx c a f (x)dx b c f (x)dx。 c O x y ( )( )( ) bcb aac f x dxf x dxf x dx 2 2 2 2 0 0 例例2 2利利用用定定积积分分的的定定义义, ,计计算算 (-t +5)dt.(-t +5)dt. 2 2 令令f(t)=f(t)=解解-t-t：+5.+5. (1)分(1)分割割在在0,2 上0,2 上等等
15、隔隔地地插插入入n-1分n-1分, , 2(i-1) 2i2(i-1) 2i 把把0,2 等0,2 等分分成成n小n小,(i=1,2,(i=1,2, nnnn 2i2(i-1)22i2(i-1)2 n),每n),每小小的的度度x =-=.x =-=. nnnnnn 区区间间间间点点 区区间间个个区区间间 个个区区间间长长为为 则则 i i nnnn 2 2 2 2 n n 0 0 i=1i=1i=1i=1 2i2i (2) 近(2) 近似似代代替替、作作和和取取 =i=1,2,n ,=i=1,2,n , n n 2i2i22i2i2 f(t)dtS =ff(t)dtS =fx =-() +5x
16、 =-() +5 nnnnnn n n 2 2 3333 i=1i=1 88 188 1 =10-i =10-n(n+1)(2n+1)=10-i =10-n(n+1)(2n+1) nn6nn6 411411 =10- (1+)(2+)=10- (1+)(2+) 3nn3nn 2 2 2 2 n n 0 0nn (3)取(3)取极极限限(-t +5)dt=limS(-t +5)dt=limS 411 lim10(1)(2) 3 n nn 822 10. 33 2 2 0 22 (5). 3 所所以以 tdt 1.1.用定积分表示图中四个阴影部分面积用定积分表示图中四个阴影部分面积 2 0 a A
17、x dx 2 2 （1）1）在在中中，被被函函f(x)= x 在f(x)= x 在0，0，aa 上上，且且f(x) 0,根f(x) 0,根据据定定分分的的几几何何意意 ，可可得得影影部部分分的的面面 图图积积数数 连连续续积积 义义阴阴积积为为 解：解： 0 a y x f(x)=x2 2 2 2222 -1-1 （2）2）在在中中，被被函函f(x)= x 在f(x)= x 在-1，-1，22 上上，且且f(x) 0,根f(x) 0,根据据定定分分的的几几何何意意 ，可可得得影影部部分分的的面面A =x dxA =x dx 图图积积数数 连连续续积积 义义阴阴积积为为 0 x y x -1 2
18、 f(x)=x2 x -1 b b a a （3）3）在在中中，被被函函f(x)=1在f(x)=1在a，a，bb 上上，且且f(x)0,根f(x)0,根据据定定分分的的几几何何意意 ，可可得得影影部部分分的的面面A =dxA =dx 图图积积数数 连连续续积积 义义阴阴积积为为 0 y x a b f(x)=1 2 2 02220222 -10-10 （4）4）在在中中，被被函函f(x)=(x-1) -1在f(x)=(x-1) -1在-1，-1，22 上上，且且在在-1，-1，0上0上f(x) 0,在f(x) 0,在0，0，2上2上f(x) 0，f(x) 0， 根根据据定定分分的的几几何何意意
19、可可得得影影部部分分的的面面 A =(x-1) -1 dx-(x-1) -1 dxA =(x-1) -1 dx-(x-1) -1 dx 图图积积数数 连连续续 积积义义阴阴积积为为 0 y x -1 2 f(x)=(x-1)2-1 2 2 sinxdx0 利用定积分的几何意义说明等式 成立. 解：解： 图图积积数数 连连续续 2 2 12122121 - - 2 2 在在右右中中，被被函函f(x)=sinxf(x)=sinx 在在-，-， 上上，且且在在-，-，00 2 222 22 上上sinx0,在sinx0,在0，0， 上上sinx0,并sinx0,并 2 2 有有A = A ,所A =
20、 A ,所以以f(x)dx = A -A =0f(x)dx = A -A =0 2 2 2 A 1 A x y f(x)=sinx 1 -1 2.2. 3.3. 1 1 2 2 0 0 计计算算积积分分1-x dx.1-x dx. ：由由定定分分的的几几何何意意知知，定定等等解解分分值值于于积义积 2 2 曲曲y =1-x ,x，y =1-x ,x，x =0及x =0及x =1所x =1所 的的面面 线线轴轴围围 积积 面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的 1 4 . 1 1 2 2 0 0 所所以以1-x dx =1-x dx = 4 4 1.1.求曲边梯形面积求曲边梯形面积 分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限 2.2.定积分定义定积分定义 3.3.定积分几何意义定积分几何意义 4.4.定积分计算性质定积分计算性质 健康身体是基础，良好学风是条件，勤奋 刻苦是前提，学习方法是关键，心理素质是保 证.
