1、1.3.2 1.3.2 杨辉三角与二项式杨辉三角与二项式 系数的性质系数的性质 1.了解杨辉三角的简单历史，理解二项式系数的 性质，应用性质解决一些简单问题 2.根据本节课的内容和学生的实际水平，通过对 二项式系数表（杨辉三角）的观察猜想、归纳出 二项式系数的性质. 为了实现本节课的教学目标，在教法上采用 “观察、猜想、归纳、论述、证明、合作交流” 的方法。多给学生一点空间、时间, 由学生观察、 探究与交流. 提高归纳猜想能力及表达能力,使学 生获得较全面的发展。让学生通过对低阶杨辉三 角的观察,猜想并归纳出二项式系数的性质。 本节课从杨辉三角出发，直观地认识二项 式性质，构造函数 . ),
2、2 , 1 , 0(nr r n Crf)( 利用函数的思想理解二项式系数的对称性、 增减性及最大值，并加以严格的证明，按知识 的逻辑关系来编排内容。 二项式定理 (a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn 展形式的第k+1项为 Tk+1= Cnkan-kbk 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表： n (a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 对称性 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b
3、)4 (a+b)5 (a+b)6 议一议 1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗? a).表中每行两端都是表中每行两端都是1。 b).除除1外的每一个数都等外的每一个数都等 于它肩上两个数的和于它肩上两个数的和。 4+6=10 2+1=3 例如：例如： c r n c r-1 n + c r n+1 = 当当n n不大时，可用该表来求二项式系数不大时，可用该表来求二项式系数。 C 2 3 C 2 2 C 1 2 + = = 3 C 2 5 C 2 4 C 1 4 + = = 10 因为：因为： 1 1 1 2 1 1 3 3 1
4、1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 2 1 3 4 6 10 1 1 0 1 CC 0 2 C 1 2 C 2 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 C 3 3 C 1 4 C 0 4 C 3 4 C 2 4 C 4 4 C 0 5 C 1 5 C 2 5 C 3 5 C 4 5 C 5 5 C 6 6 C 3 6 C 4 6 C 5 6 C 2 6 C 1 6 C 0 6 C 总结提炼1: 1 1 0 1C C 0 2 C 1 2 C 2 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 C 3 3 C 1 4 C 0 4 C 3 4 C 2 4 C 4
5、 4 C 0 5 C 1 5 C 2 5 C 3 5 C 4 5 C 5 5 C 6 6 C 3 6 C 4 6 C 5 6 C 2 6 C 1 6 C 0 6 C 第第1行行 第第2行行 第第6行行- 第第5行行- 第第4行行 第第3行行- 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 对称对称 总结提炼2: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 mn n m n CC 当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大 当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大 (a+b)1 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)2
6、 0 0 1 1 C C 1 1 1 1 C C 0 0 2 2 C C 1 1 2 2 C C 2 2 2 2 C C 0 0 3 3 C C 1 1 3 3 C C 2 2 3 3 C C 3 3 3 3 C C 0 0 5 5 C C 1 1 5 5 C C 2 2 5 5 C C 3 3 5 5 C C 4 4 5 5 C C 5 5 5 5 C C (a+b)6 (a+b)n 0 0 6 6 C C 1 1 6 6 C C 2 2 6 6 C C 3 3 6 6 C C 4 4 6 6 C C 5 5 6 6 C C 6 6 6 6 C C 0 0 4 4 C C 1 1 4 4 C
7、 C 2 2 4 4 C C 3 3 4 4 C C 4 4 4 4 C C Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 知识探究3: 每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上 的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 + + + + + + + + + + + + + + + 杨辉三角杨辉三角 九 章 算 术 九 章 算 术 杨 辉 杨 辉 详
8、 解 九 章 算 法 中 记 载 的 表 杨辉三角杨辉三角 类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的详解九章算法一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角.在书中，还说明 了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两 个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算 书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世 纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡 （1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做 帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧 洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成 就是非常值得中华民族自豪的. 二项式系数的性质 展开式的二项式展
9、开式的二项式 系数依次是：系数依次是： n ba)( n nnnn C,C,C,C 210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看 成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , , 其定义域是：其定义域是： r n C )(rf n, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右 图中的图中的7个孤立点个孤立点 6n 对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离” 的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到 mn n m n CC 图象的对称轴：图象的对称轴： 2 n r 二项式系数的性质 增减性与最大值增减性与最大值 k kn
10、 kk knnnn k n k n 1 C )!1( ) 1()2)(1( C 1 由于由于： 所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 k n C 1 C k n k kn1 二项式系数的性质二项式系数的性质 由由： 2 1 1 1 n k k kn 二项式系数前半部分是逐渐增大的，由 对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且 中间项取得最大值。 2 1 n k 可知，当可知，当 时，时， 增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式 2 C n n 系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数
11、时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 1 2 C n n 1 2 C n n 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。 增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质 各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1ba nn nnnn 2CCCC 210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系 数的和等于数的和等于： n ba)( n 2 同时由于同时由于 ，上式还可以写成：上式还可以写成： 1C 0 n 12CCCC 321 nn nnnn 这是组合总数公式这是组合总数公式 二项式系数的性质 例1.证明在(a+b)
12、n展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 在二项式定理中，令 ，则： 1, 1 ba n n n nnnn n CCCCC) 1(11 3210 nn n rrnr n n n n n n bCbaCbaCaCba 110 )( )()(0 3120 nnnn CCCC 531420 nnnnnn CCCCCC 特值法特值法 1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( ) (A)第6项 (B)第7项 （C）第8项 (D)第9项 2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个 灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮， 则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种 数
13、为 （ ） (A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1 C C D 练习 mCC. m n n 同时有最大值，则同时有最大值，则与与若若 19 3 4或5 7267 01267 (1 2 ) xaa xa xa xa x已知 7 )21 ()(:xxf设解 0 ) 1 ( a求： 0x （1）令 7 0 (0)(1 2 0)1,f a 即 展开式右边即为 0 (0)1af 例例2 7267 01267 (1 2 ) xaa xa xa xa x已知 7 )21 ()(:xxf设解 7210 7 1) 121 () 1 ( aaaa f 7321 .) 2(aaaa 1x （2）令
14、 127 0170 . () (1)(0)1 12 aaa aaaa ff 例例2 7267 01267 (1 2 ) xaa xa xa xa x已知 1357 (3)aaaa 7 )21 ()(:xxf设解 0127 (3)(1)faaaa 01237 ( 1)faaaaa 1357 2()(1)( 1)aaaaff 例例2 6420 7531 721 7 7 2 210 7 )21(. 4 aaaa aaaa aaa xaxaxaax 则 已知 -2 -1094 1093 练习: 小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解 例3:在(3x -2y)20的展开
15、式中，求系数最大的项; 解:设系数绝对值最大的项是第r+1项.则 201191 2020 201211 2020 3232 3232 rrrrrr rrrrrr CC CC 即即 3(r+1)2(20- -r) 得得 2(21- -r)3r 所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为 22 78 55 r 8128128 920 32TCx y 杨辉三角的其它规律 第0行 1 1、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15
16、 6 1 第n-1行 1 1 1n C 1 2 1n C 1 1 r n C r n C 1 2 1 n n C 第n行1 1 n C1 2 n C r n C 1n n C 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 杨辉三角的第2k-1行(k是正整数) 的各个数字都是奇数（质数的积） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第第6行行 1 6 15 20 15 6 1 第n-1行 1 1 1n C 1 2 1n C 1 1 r n C r n C 1 2 1 n n C 第n行1 1 n C
17、1 2 n C r n C 1n n C 第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1 2、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所 有数，则行数P是 质 数质 数 ( 素 数素 数 ) 思考1 求证求证: 0212222 2 ()()()(). nn nnnnn CCCCC 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比 较xn的系数得： 再由 得 01122 110 2 nnn nnnnnn nnn nnnnn C CC CC C CCC CC mn m nn CC 0212222 2 ()()()(). nn nnnnn CCCCC 思考2求证：求证： 0121
18、23122 nn nnnn CCCnCn 证明： 012 2231 n nnnn CCCnC 012 011 231 12 n nnnn nn nnnn CCCnC nCnCCC 012 2 () n nnnn nCCCC 22nn 012 23122 nn nnnn CCCnCn 倒序相加法 试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 即证： 02131 2n nnnn CCCC 证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得 011nnnn nnn C aC abC b 0123 (11)( 1) nnn nnnnn CCCCC 021
19、3 0 nnnn CCCC即即 0213 nnnn CCCC 启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法. 思考1: 0212222 2 ()()()(). nn nnnnn CCCCC 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后 比较xn的系数得： 再由 得 01122 110 2 nnn nnnnnn nnn nnnnn C CC CC C CCC CC mn m nn CC 0212222 2 ()()()(). nn nnnnn CCCCC 求证求证: 思考2 1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的 对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题. 课本第43页 A组 8题 B组第2题 课后作业课后作业 敬请指导敬请指导
