1、2.2.2 反证法 路路 边边 苦苦 李李 王戎王戎7 7岁时岁时, ,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩, ,看到路边的李看到路边的李 树上结满了果子树上结满了果子. .小伙伴们纷纷去摘取果子小伙伴们纷纷去摘取果子, ,只有王戎只有王戎 站在原地不动站在原地不动. .伙伴问他为什么不去摘？伙伴问他为什么不去摘？ 王戎回答说王戎回答说:“:“树在道边而多子树在道边而多子, ,此必苦李此必苦李.”.”小小 伙伴摘取一个尝了一下伙伴摘取一个尝了一下, ,果然是苦李果然是苦李. . 王戎是怎么知道李子是苦的呢王戎是怎么知道李子是苦的呢? ?他运用了怎样他运用了怎样 的推理方法的推理方法? ? 王戎
2、的推理方法是王戎的推理方法是: :假设李子不苦假设李子不苦, ,则因树在则因树在 “道”边“道”边, ,李子早就被别人采摘而没有了李子早就被别人采摘而没有了, ,这与“多这与“多 李”产生矛盾李”产生矛盾. .所以假设不成立所以假设不成立, ,李为苦李李为苦李. . 1.1.反证法的定义反证法的定义. . 2.2.反证法的一般步骤反证法的一般步骤. . （重点）（重点） 3.3.运用反证法的注意事项运用反证法的注意事项. . （难点）（难点） 探究点探究点1 反证法的定义反证法的定义 引例：引例： 证明：在一个三角形中至少有一个角不小证明：在一个三角形中至少有一个角不小 于于6060. . 已
3、知：已知：A， B， C是是ABC的内角的内角. 求证：求证： A， B， C中至少有一个中至少有一个 不小于不小于60. 证明：证明： 假设假设 的三个内角的三个内角A， B， C都小于都小于60， ABC 则有则有 A 60，B 60， C 60 所以所以 A+B+C180 这与这与 相矛盾相矛盾. 三角形内角和等于三角形内角和等于180 所以假设不成立，所求证的结论成立所以假设不成立，所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推 理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相 矛盾，说明假设
4、不成立，从而得到原结论正确矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确. 这种证明方法就是这种证明方法就是反证法反证法 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明成立的证明方法称为间接证明. . 注：反证法是最常见的间接证法注：反证法是最常见的间接证法. . 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条 件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出 矛盾矛盾. .因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明
5、方法叫做这样的证明方法叫做反证法反证法. . 反证法反证法 否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论肯定结论 即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真 反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立； 归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾；得出矛盾； 反证法的证明过程反证法的证明过程 存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立肯定原结论成立. . 归谬矛盾：归谬矛盾： （1 1）与已知条件矛盾）与已知条件矛盾. . （2 2）与假设矛盾或自相矛盾）与假设矛盾或自相矛盾. . （3 3
6、）与已有公理、定理、定义、事实矛盾）与已有公理、定理、定义、事实矛盾. . 反证法的思维方法：正难则反反证法的思维方法：正难则反. . 你能说出下列结论的反面吗你能说出下列结论的反面吗? 1. ab 2.d是正数是正数 3.a0 4.ab a不垂直于不垂直于b d不是正数不是正数,即即d0 a0 a不平行不平行b 万事开头难，让我们走好第一步！万事开头难，让我们走好第一步！ 探究点探究点2 反证法的应用反证法的应用 常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式： 至少有三个至少有三个 最多有一个最多有一个 至多有两个至多有两个 至少有两个至少有两个 原词语原词语 否定词否定词 原词语原词
7、语 否定词否定词 等于等于 任意的任意的 是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x, 成立成立 对任何对任何x x， 不成立不成立 准确地作出反设准确地作出反设( (即否定结论即否定结论) )是非常重要的是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式. . 不是不是 不都是不都是 不大于不大于 大于或等于大于或等于 一个也没有一个也没有 至少有两个至少有两个 至多有（至多有（n-1)个个 至少有（至少有（n+1)个个 存在某存在某x， 不成立不成立 存在某存在
8、某x, 成立成立 不等于不等于 某个某个 证明：证明：因为因为a b 所以经过直线所以经过直线a,b确定一个平确定一个平 面面 . 因为因为 , ,而而 ， 所以所以 与与 是两个不同的平面是两个不同的平面. . a a 因为因为 ， 所以所以 . . bb且, b 例例1 已知直线已知直线a，b和平面和平面 ,如果如果 , 且且 ,求证求证: . ba, ba /a a b P 下面用反证法证明直线下面用反证法证明直线a与平面与平面 没有公共点，假设没有公共点，假设 直线直线a与平面与平面 有公共点有公共点P P，则，则P P ，即点，即点P P是是 直线直线a与与b b的公共点，这与的公共
9、点，这与abb矛盾，所以矛盾，所以a . . b .2 2是无理数求证例 分析：分析：直接证明一个数是无理数比较困难直接证明一个数是无理数比较困难，我我 们采用反证法们采用反证法. . 假设假设 不是无理数不是无理数，那么它就是有理数那么它就是有理数. .我们我们 知道知道，任一有理数都可以写成形如任一有理数都可以写成形如 （m,nm,n互质互质， mZ,nNmZ,nN* *) )的形式的形式. .下面我们看看能否由此推出矛下面我们看看能否由此推出矛 盾盾. . 2 n m 证明：证明：假设假设 不是无理数，那么它就是有理数不是无理数，那么它就是有理数. . 2 于是，存在互质的正整数于是，存
10、在互质的正整数m,nm,n使得使得 ，从而有，从而有 n m 2 ,2nm 2222 因因此此 m = 2n , m = 2n , 为为数数设设数数从从所所以以m偶m偶.于.于是是可可m = 2k(k是m = 2k(k是正正整整)，)，而而有有 ,24 22 nk 2222 即即 n = 2k , n = 2k , 为为数数 这这质质所所 以以 n也n也偶偶.与.与 m,n互m,n互矛矛 盾盾 ！ 设设错错误误从从无无数数由由上上述述矛矛盾盾可可知知假假，而而 2是2是理理. . 反证法的一般步骤反证法的一般步骤 先假设命题的结论不成立先假设命题的结论不成立 从假设出发，经过推理从假设出发，经
11、过推理 得出矛盾得出矛盾 否定假设否定假设 肯定原命题肯定原命题 分清条件和结论分清条件和结论 【总结提升总结提升】 宜用反证法证明的题型宜用反证法证明的题型 （1 1）以否定性判断作为结论的命题）以否定性判断作为结论的命题. . （2 2）某些定理的逆命题）某些定理的逆命题. . （3 3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈 述的命题述的命题. . （4 4）关于“唯一性”结论的命题）关于“唯一性”结论的命题. . （8 8）涉及各种“无限”结论的命题等）涉及各种“无限”结论的命题等. . （7 7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段）有些基
12、本定理或某一知识体系的初始阶段. . （6 6）一些不等量命题的证明）一些不等量命题的证明. . （5 5）解决整除性问题）解决整除性问题. . 1.“a1.“ab”b”的反面应是（的反面应是（ ） A.A. abab或或a ab B. a b B. a b b C. a=b D. a=bC. a=b D. a=b或或a ab b 2. 2. 用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角” 时，应假设时，应假设 _ _ . . D D 三角形中有两个或三个角是直角三角形中有两个或三个角是直角 3.3.否定“自然数否定“自然数a a，b b，c c中恰有
13、一个偶数”时，正中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（确的反设为（ ） A.aA.a，b b，c c都是奇数都是奇数 B. aB. a，b b，c c都是偶数都是偶数 C. aC. a，b b，c c中至少有两个偶数中至少有两个偶数 D. aD. a，b b，c c中都是奇数或至少有两个偶数中都是奇数或至少有两个偶数 D D 4.4.如图，在如图，在ABCABC中中, ,若若C C是直角，那么是直角，那么B B一定是一定是 锐角锐角. . 证明：证明：假设结论不成立假设结论不成立, ,则则B B是是直角直角或或钝角钝角. . 当当B B是是直角直角时，则时，则B+ C= 180B+ C= 180
14、， 这与这与三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180180矛盾；矛盾； 当当B B是是钝角钝角时，则时，则B+ CB+ C180180， 这与这与三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180180矛盾；矛盾； 综上所述综上所述, ,假设不成立假设不成立. . 所以所以BB一定是锐角一定是锐角. . 分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则C C真真. .那么那么A A假且假且B B假假; ; 由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. . 那么假设那么假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; ; 则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.
15、 . 5.A5.A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C 说说A,BA,B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是在撒谎，为什么？必定是在撒谎，为什么？ 1.1.反证法的一般步骤反证法的一般步骤: : 假 设 命 题 不 成 立 假 设 命 题 不 成 立 引 出 矛 盾 引 出 矛 盾 假 设 不 成 立 假 设 不 成 立 求 证 的 命 题 正 确 求 证 的 命 题 正 确 假设假设 归谬归谬 结论结论 从假设从假设 出发出发 得出得出 结论结论 与假设、已知、定与假设、已知、定 义、定理、公理或义、定理、公理或 者事实矛盾等者事实矛盾等 2.2.用反证法证题时用反证法证题时, ,应注意的事项应注意的事项: : （1 1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定 不当或有所遗漏不当或有所遗漏. . （2 2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真 伪性伪性. . （3 3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则 推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的. . 沟潭之水，凝滞沉闷，飞瀑之流，奋迅高 亢同是为水，性却异，前者满足安逸，后 者进取不已.
