1、第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场 的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了 科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研 究中取得了丰硕的成果究中取得了丰硕的成果微积分的产生。微积分的产生。 牛牛 顿顿 莱莱 布布 尼尼 茨茨 背景介绍背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别 从运动学和几何学角度来研究微积分
2、。微积分靠着从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着 解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现， 此后，微积分得到了广泛应用。此后，微积分得到了广泛应用。 例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程 问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问 题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关，题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关， 更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。 2 4 96 510 ? ., :
3、m . ? ? ts h h ttt 你你看看过过高高台台跳跳水水比比赛赛吗吗 照照片片中中锁锁定定了了运运动动员员比比 赛赛的的瞬瞬间间已已知知起起跳跳后后 运运动动员员相相对对于于水水面面的的高高 度度单单位位可可用用函函数数 表表 示示 如如何何求求他他在在某某时时刻刻的的 速速 度度 他他距距水水面面的的最最大大 高高度度是是多多少少 1.1.了解导数概念的实际背景，体会导数的了解导数概念的实际背景，体会导数的 思想及其内涵思想及其内涵. . 2.2.导数概念的实际背景，导数的思想及其导数概念的实际背景，导数的思想及其 内涵内涵. .（重点）（重点） 探究点探究点1 变化率问题变化率问
4、题 问题问题1 1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球我们都吹过气球. .回忆一下吹气球的过程回忆一下吹气球的过程, ,可以发可以发 现现, ,随着气球内空气容量的增加随着气球内空气容量的增加, ,气球的半径增加得越气球的半径增加得越 来越慢来越慢. .从数学角度从数学角度, ,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? ? 气球的体积气球的体积V(V(单位单位:L):L)与半径与半径r(r(单位单位:dm):dm)之间的函数之间的函数 关系是关系是 如果将半径如果将半径r r表示为体积表示为体积V V的函数的函数, ,那么那么 3 3 4 ( ) V r V 3 4 ( ) 3 V rr 当当
5、V V从从0 0增加到增加到1L1L时时, ,气球半径增加了气球半径增加了 气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 当当V V从从1L1L增加到增加到2L2L时时, ,气球半径增加了气球半径增加了 气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 100 62 dm( )( ).()rr 10 0 62 dm L 1 0 ( )( ) .(/) rr (2)(1)0.16(dm)rr 21 0 16 dm L 2 1 ( )( ) .(/) rr 显然显然 0.620.16 3 3 4 ( ) V r V 我们来分析一下我们来分析一下: : 思考思考:当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的
6、平均气球的平均 膨胀率是多少膨胀率是多少? 解析：解析： 21 21 r(V )r(V ) VV h t o 问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面的运动员相对于水面的 高度高度h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t（单位：（单位： 秒）存在函数关系秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间如何用运动员在某些时间 段内的平均速度粗略地段内的平均速度粗略地 描述其运动状态描述其运动状态? 00 52.:ttv 请请计计算算和和1 1时时间间里里的的平平均均速速度度 h t o 解析：解析：h(t)=-
7、4.9t2+6.5t+10 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度, 并思考下面的问题并思考下面的问题: 65 0 49 t 思考：思考： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗什么问题吗? 65 010 49 ()( )hh0 h v t 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,平均速度不能准确反映他在平均速度不能准确反映他在 这段时间里的运动状态这段时间里的运动状态. . 1 21 )()f xf xy xxx 2 2 ( ( 这里这里 x
8、 x看作是相对于看作是相对于x x1 1的一的一 个“增量”可用个“增量”可用x x1 1+ + x x代替代替 x x2 2同样同样 y=f(xy=f(x2 2) )- -f(xf(x1 1) ) 平均变化率定义平均变化率定义: : 上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示. . 称为函数称为函数f(x)f(x)从从x x1 1到到x x2 2的的平均变化率平均变化率. . 若设若设 x=xx=x2 2- -x x1 1, , y=f(xy=f(x2 2) )- -f(xf(x1 1) ) 1 21 )() f xf x xx 2 ( 观察函数观察函数f(x)f(x)的
9、图象的图象 平均变化率平均变化率 表示什么表示什么? ? 1 21 )() xf xy xxx 2 f( O A B x y y=f(x)y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=x f(xf(x2 2) )- -f(xf(x1 1)=)=y y 直线直线ABAB的斜率的斜率 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,平均速度不能反映运动员平均速度不能反映运动员 在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述 运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度时速度. . 又如何求又如何求 瞬时速度
10、呢瞬时速度呢? ? 探究点探究点2 导数的概念导数的概念 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势的变化趋势. . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? ? 105 . 69 . 4)( 2 ttth 求：从求：从2s2s到到(2+(2+t)st)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度 解：解： (2)(2) 13.14.9 h v t hth t t t0时时, , 在在2, 2 +2, 2 +t t 这段时间内这段时间内 1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv 13.051 v 当当t=t=
11、0.010.01时时, , 13.149v 当当t=0.01t=0.01时时, , 13 0951.v 当当t=t=0.0010.001时时, , 13 104 9. v 当当t=0.001t=0.001时时, , 13.099 51v 当当t=t=0.000 10.000 1时时, , 13.100 49v 当当t=0.000 1t=0.000 1时时, , 13 099 951. v 当当t=t=0.000 010.000 01时时, , 13 100 049. v 当当t=0.000 01t=0.000 01时时, , 13.099 995 1v 当当t=t=0.000 0010.000
12、 001时时, , 13.100 004 9v 当当t=0.000 001t=0.000 001时时, , 当当 t t趋近于趋近于0 0时时, ,平均平均 速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势? ? 当当 t t 趋近于趋近于0 0时时, , 即无论即无论 t t 从小于从小于2 2的一边的一边, , 还是从大于还是从大于2 2的一边趋近于的一边趋近于2 2时时, , 平均速度都趋近于平均速度都趋近于 一个确定的值一个确定的值 13.1.13.1. 从物理的角度看从物理的角度看, , 时间间隔时间间隔 | |t |t |无限变小时无限变小时, , 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于
13、t = 2t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. . 因因 此此, , 运动员在运动员在 t = 2 t = 2 时的瞬时速度是时的瞬时速度是 13.1 m/s.13.1 m/s. v 从从2s2s到到(2+(2+t)st)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度 13.14.9 h vt t 1 .13 )2()2( lim 0 t hth t 表示“当表示“当t =2, t =2, t t趋近于趋近于0 0时时, , 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.13.1”. v 为了表述方便，我们用为了表述方便，我们用 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，局部以匀速代替变速
14、，以平均速度代替瞬时速度， 然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时 速度的精确值速度的精确值. .那么那么, ,运动员在某一时刻运动员在某一时刻 的瞬时速的瞬时速 度为度为 00 0 ()( ) lim t h tth t t 0 t 探究探究: : 运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t t0 0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示? ? 5 . 68 . 9 )5 . 68 . 99 . 4(lim )5 . 68 . 9()(9 . 4 lim )()( lim 0 0 0 0 2 0 00 0 t tt t ttt t thtth t
15、t t 导数的概念导数的概念: : 函数函数 y = f (x) y = f (x) 在在 x = xx = x0 0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 00 00 () limlim xx f xxf xy xx ( () ) ， 称为函数称为函数 y = f (x) y = f (x) 在在 x = xx = x0 0 处的导数处的导数, , 记作记作 或或 , , 即即 00 0 00 ( )() ()lim= lim. xx f xxf xy fx xx )( 0 x f 0 | xx y 000 1与与 的的值值有有关关，不不同同的的, ,其其导导数数值值一一般般也也不不相相同同.
16、f (x )xx 0 2与与的的具具体体取取值值无无关关. f (x )x 3. 瞬瞬时时变变化化率率与与导导数数是是同同一一概概念念的的两两个个名名称称 . . 总结提升总结提升 求函数求函数 y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数的一般方法处的导数的一般方法: : 1.1.求函数的改变量求函数的改变量 2. 2. 求平均变化率求平均变化率 3. 3. 求值求值 00 ()(); yf xxf x 0 0 ()lim. x y fx x 00 ()() ; f xxf xy xx 一差、二比、三极限一差、二比、三极限 例例 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼
17、为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, , 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. . 如果在第如果在第 x hx h时时, , 原油原油 的温度的温度( (单位单位: ): )为为 y=f (x) = xy=f (x) = x2 27x+15 (0x7x+15 (0x 8) . 8) . 计算第计算第2h2h与第与第6h6h时时, , 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率, ,并并 说明它们的意义说明它们的意义. . C 解解: : 在第在第2h2h和第和第6h6h时时, , 原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是 (2) f (6). f 和和 22y()( ) =
18、fxf xx 根据导数的定义根据导数的定义, , 22 27 215215 3 ()xx x x （）（2 -7）2 -7） 所以所以, , 00 (2)limlim(3)3. xx y fx x 同理可得同理可得 . 5)6( f 在第在第2h2h和第和第6h6h时时, , 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率 分别为分别为3 3和和5. 5. 它说明在第它说明在第2h2h附近附近, , 原油温度原油温度 大约以大约以3 /h3 /h的速率下降的速率下降; ; 在第在第6h6h附近附近, ,原油温原油温 度大约以度大约以5 /h5 /h的速率上升的速率上升. . C C 1.1.已知函数
19、已知函数f(x)=f(x)=- -x x2 2+x+x的图象上的一点的图象上的一点A(A(- -1,1,- -2)2)及及 临近一点临近一点B(B(- -1+1+ x,x,- -2+2+ y),y),则则 =( )=( ) A.3 B.3A.3 B.3 x x- -( ( x)x)2 2 C.3C.3- -( ( x)x)2 2 D.3D.3- - x x D D y x 2.2.如图，函数如图，函数y=fy=f（x x）在）在A A，B B 两点间的平均变化率是（两点间的平均变化率是（ ） A.1A.1 B.B.- -1 1 C.2C.2 D.D.- -2 2 B B 【解析解析】 00 0
20、 ()() 2 f xxf xy xx xx 3.3.求求y=xy=x2 2在在x=xx=x0 0附近的平均速度附近的平均速度. . 4.4.过曲线过曲线y=f(x)=xy=f(x)=x3 3上两点上两点P P（1 1，1 1）和）和Q (1+Q (1+ x,x, 1+1+ y)y)作曲线的割线，求出当作曲线的割线，求出当 x=0.1x=0.1时割线的斜时割线的斜 率率. . 33 22 (1)1 3 3()3 3 0.1 0.13.31 (1) 1 x kxx x 【解析解析】 2 4 .5y x 、求求函函数数的的导导数数 22 222 00 2222 222 00 44 44 () 2
21、limlim 44844 limlim (2) xx xx xxx xxxxx xx xxxxxx xxxxxx 解解 2 4x 2 222 0 84 (2) 8 lim x xxx xxxxxx xx 2 4 x 222 (2)xxxxxx 222 0 3 4 84 lim (2) 8 8 x xx xxxxx x x x 析析】 . . 【 1 21 )()( )ff xf x xxx 2 ( x 2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: : (1)(1)求函数的增量求函数的增量 y=f(xy=f(x2 2) )- -f(xf(x1 1) ) (2)(2)计算平均变化率计
22、算平均变化率 1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率 1 21 )()( )ff xf x xxx 2 2 (x(x 3.3.求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度： （1 1）求位移增量）求位移增量 s=s(t+s=s(t+ t)t)- -s(t)s(t) (2)(2)求平均速度求平均速度 （3 3）求极限）求极限 s v t 00 ()( ) . limlim tt ss tts t tt 4.4.由导数的定义求由导数的定义求f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的导数的一般步骤：处的导数的一般步骤： （1 1）求函数的增量）求函数的增量 y=f(xy=f(x0 0+ + x)x)- -f(xf(x0 0) ) (2)(2)求平均变化率求平均变化率 （3 3）求极限）求极限 y x 0 0 ( ) lim x y fx x 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时 间的人，生活就会冷落他.
