1、3.1.2 空间向量的数乘运算 平面向量平面向量 空间向量空间向量 加法加法 减法减法 运算运算 加法加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法减法:三角形法则 运 算 律 加法交换律加法交换律 abba 加法结合律加法结合律: : ()()abcabc abba加法交换律加法交换律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法结合律加法结合律 ()()abcabc 注注: :两个空间向量的加、减法两个空间向量的加、减法与两个平面向量与两个平面向量 的加、减法实质是一样的的加、减法实质是一样的. . 上一节课上一节课, ,我们把平面向量的有关概念及加减运算我们把平面向量的有关概念及
2、加减运算扩展扩展 到了空间到了空间. . a b a b b b 我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数乘运算. . 类似地类似地, ,同样可以定义空间向量的同样可以定义空间向量的数乘运算数乘运算, ,其其 运算律是否也与平面向量完全相同呢运算律是否也与平面向量完全相同呢? ? 1.1.空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算. .( (重点重点) ) 2.2.共线向量及共面向量的应用共线向量及共面向量的应用. .( (重点、难点重点、难点) ) 3.3.向量的共面、共线与直线的位置关系向量的共面、共线与直线的位置关系 观察下列各个集合观察下列各个集合, ,你能说出集合你能说出集合C
3、C与集合与集合 A,BA,B之间的关系吗之间的关系吗? ? (1) A=1,3,5, B=2,4,6 ,C=1,2,3,4,5,6.(1) A=1,3,5, B=2,4,6 ,C=1,2,3,4,5,6. (2) A=x|x(2) A=x|x是有理数是有理数,B=x|x,B=x|x是无理数是无理数, C=x|xC=x|x是实数是实数. 集合集合C C是由所有属于集合是由所有属于集合A A和集合和集合B B的元素组成的的元素组成的. . 例如例如: : a 3a 3a 显然显然, ,空间向量的数乘运算满足分配律及结空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律合律 () ()() abab aa 即：
4、如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合重合, ,则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量共线向量或或平行向量平行向量. . a b 对空间任意两个向量对空间任意两个向量a与与b, ,如果如果ab , ,那么那么 a与与b有什么关系有什么关系? ?反过来呢反过来呢? ? 类似于平面类似于平面, ,对于对于空间任意两个向量空间任意两个向量a, ,b( (0b ) ), , a/b,.R ab 若若P P为为A,BA,B中点中点, , 则则 1 2 OPOAOB 如如图图，l 为经过已知点为经过已知点 A A 且平行且平行于于已知非零向量已知非零向
5、量 a的直线的直线, ,对对空间空间任任意意一点一点 O,O,点点 P P 在直线在直线 l 上的充要上的充要 条件是存在实数条件是存在实数 t, ,使使aOPOAt， 其中向量其中向量a叫做直叫做直 线线 l 的的方向向量方向向量. . O A B P a l 和都称为空间直线的向量表示式，空间任意和都称为空间直线的向量表示式，空间任意 直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定. . 由此可判断空间任意三点是否共线由此可判断空间任意三点是否共线. l A B P O a ， ， l l 由由a a知知存存在在一一的的t,t,满满足足AP = ta,AP =
6、 ta, 对对空空间间任任意意一一点点O,AP = OP-OA,O,AP = OP-OA, 所所以以OP-OA = taOP-OA = ta 即即OP = OA+ta OP = OA+ta 若若在在 上上取取AB = a,AB = a,则则有有 OP = OA+tAB. OP = OA+tAB. 惟惟 探究点探究点2 2 共面向量共面向量 共面向量共面向量: :平行于同一个平面的向量平行于同一个平面的向量, ,叫做共面叫做共面 向量向量. . 注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意空间任意两个向量是共面的，但空间任意 三个向量三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面.
7、 . d b a c 由平面向量基本定理知，如果由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量 ，有且，有且 只有一对实数只有一对实数 ， 使使 a 那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？ 21 12 aee 1 e 2 e 1 2 a 1 e 2 e a b A B P p 空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内的充要条件是存在有序内的充要条件是存在有序 实数对实数对(x,y)(x,y)使使 APxAByAC C a b AB P p 或对空间任一点或对空间
8、任一点O,O,有有 OP = OA+xAB+yACOP = OA+xAB+yAC C 式称为空间平面式称为空间平面ABCABC的向量表示式，空间中任意的向量表示式，空间中任意 平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定. . O O P P与与A,B,CA,B,C共面共面 APxAByAC OPOAxAByAC 1()OPxOAyOBzOCxyz其其中中 例例1.1.若对任一点若对任一点O O和不共线的三点和不共线的三点A A，B B，C C，有，有 ( , ,),OPxOAyOBzOC x y zR 则则x+y+z=1x+y+z=1 是四点是四点P P，A
9、A，B B，C C共面的共面的 （ ） A.A.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 B.B.充分不必要条件充分不必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 C C . , OEOFOGOH k OAOBOCOD 2ABCDAC OOAOBOCOD EFGH EFGH 图图边边过过 点点线线条条线线 别别点点 证证点点 例例 如如，已已知知平平行行四四形形，平平面面外外 一一作作射射，在在四四射射上上 分分取取， ， ， ，并并且且使使 求求： ， ， ， 四四共共面面. . O B A H G F E C D , , ,. ( OEOFOGOH k OAOB
10、OCOD OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD ACABAD EGOGOEkOCkOA kAC k ABAD ABCD . = 因因 所所以以 由由于于四四形形是是平平行行四四形形，所所以以 ： ： 因因此此 )() k OBOAODOA OFOEOHOEEFEH 由由向向量量共共面面的的充充要要件件知知E, F, G , H 四E, F, G , H 四共共面面. . 证明证明 1 1下列命题中正确的个数是下列命题中正确的个数是( ( ) ) 若若 与与 共线，共线， 与与 共线，则共线，则 与与 共线；共线； 向量向量 , , , , 共面即它们所在的直线共面；共面即它们所在的直
11、线共面； 若若 ，则存在惟一的实数，则存在惟一的实数 ，使，使 . . A A1 1 B B2 2 C C3 3 D D0 0 D aa a aa bb b bb cc c 2在下列条件中，使在下列条件中，使 M 与与 A，B，C 一定共面的一定共面的 是是( ) A.OM 3OA 2OB OC BOM OA OB OC 0 C MA MB MC 0 DOM 1 4OB OA 1 2OC C 3.3.下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A.A.在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.B.在空间共线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线
12、 C.C.在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.D.在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线 D 4.（2013温州高二检测）空间四边 形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别 是BC，CD的中点，则MGABABAD 等于( ) A.3 2 DB B.3MG C.3GM D.2MG B 5已知已知 A，B，P 三点共线，三点共线，O 为空间任意一点，为空间任意一点， OP 1 3 OA OB ，则，则 _. 2 3 1.1.空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算. . 2.2.共线向量的概念共线向量的概念. . 3.3.直线直线l的方向向量的方向向量. . 4.4.共面向量的概念共面向量的概念. . 天才是不足恃的，聪明是不可靠的， 要想顺手拣来的伟大科学发明是不可想象 的.
