1、2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 第二章 圆锥曲线与方程 下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问 题：题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月 球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值 2a2a，视月球为球体，半径为，视月球为球体，半径为R R，你能写出一个轨迹的方，你能写出一个轨迹的方 程吗？程吗？ 1.1.理解曲线与方程的概念、意义理解曲线与方程的概念、意义. .（重点、难点）（重点、难点） 2.2.了解数与形结合的基本思想了解数与形结
2、合的基本思想. .（难点）（难点） 探究点探究点1 1 曲线的方程与方程的曲线曲线的方程与方程的曲线 问题问题1 1：在直角坐标系中：在直角坐标系中，平分第一平分第一、三象限的直三象限的直 线和方程线和方程x x- -y=y=0 0有什么关系有什么关系？ x O y x-y=0 ),( 00 yxM (1)(1)在直线上任找一点在直线上任找一点 则则 是方程是方程x x- -y=0y=0的解；的解； 00 (,),M xy 0000 , xyxy，即即（） (2)(2)如果如果 的解，那么的解，那么 00 (,) .xy以以为为坐坐标标的的点点在在直直线线上上 00 0(,)xyxy是是 图象
3、上的点图象上的点M M与此方程与此方程 ， 有什么关系？有什么关系？ 222 ()()xaybr 问题问题2 2：方：方程程 表示如图的圆，表示如图的圆， 222 ()()xaybr （1 1）圆上任一点）圆上任一点 222 00 (,)()()的的坐坐标标是是方方程程M xyxaybr ( , ) . 为为坐坐标标的的点点在在以以为为圆圆心心， 以以 为为半半径径的的圆圆上上 a b r 22 00 2 00 2(,)()() (,) （ ）若若是是方方程程 的的解解，则则以以 xyxayb rxy 的解的解. . 0 x y 00 (,)M xy 222 ()()xaybr . 按某种规律
4、运动按某种规律运动 几何对象几何对象 x,y制约关系制约关系 代数表示代数表示 点点 曲线曲线C C 坐标（坐标（x,y） 方程方程f(x,y)=0 通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内 的点与数对（的点与数对（x,yx,y）建立了一一对应关系）建立了一一对应关系. .点的运动形点的运动形 成曲线成曲线C C，与之对应的实数对的变化就形成了方程，与之对应的实数对的变化就形成了方程 f f( (x x, ,y y)=0.)=0. 曲线的方程与方程的曲线曲线的方程与方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C C
5、（看（看 作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一 个二元方程个二元方程f(x,y)=0f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：的实数解建立了如下的关系： （1 1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2 2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. . 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做 方程的曲线方程的曲线. . 由曲线的方程的定义可知，如果曲线由曲线的方程的定义可知，如果曲线C C的方程为的方程为 f(x,y)=
6、0, ,那么点那么点 在曲线在曲线C C上的充分必要上的充分必要 条件是条件是 000 (,)P xy 00 0(,).f xy 问题问题3:3:曲线曲线C C上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程f f( (x x, ,y y)=0)=0的解，的解， 能否说能否说f(x,y)=0f(x,y)=0是曲线是曲线C C的方程？的方程？ 解：解：不能，还要验证以方程不能，还要验证以方程f f( (x x, ,y y)=0)=0的解为坐标的解为坐标 的点是不是都在曲线上的点是不是都在曲线上, ,如如, ,以原点为圆心，以以原点为圆心，以2 2为为 半径的圆上半部分和方程半径的圆上半部分和方程 . 4 2
7、2 yx 【提升总结提升总结】 问题问题4 4：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念， “曲线的方程曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而强调的是图形所满足的数量关系；而 “方程的曲线方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形强调的是数量关系所表示的图形. .两两 者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方 程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲 线的性质转化到讨论相应方程的
8、问题上线的性质转化到讨论相应方程的问题上. . 例例1 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)k(k0) 的点的轨迹方程是的点的轨迹方程是xy=xy=k .k . 证明：证明：（1 1）设）设 是轨迹上的任意一点是轨迹上的任意一点. . 因为点因为点M M与与x x轴的距离为轴的距离为 ，与，与y y轴的距离为轴的距离为 ， 所以所以 00 (,)M xy 0 x 0 y 00 ,xyk 00 (,).xyxyk 即即是是方方程程的的解解 111 2(,)Mxyxyk （）设设点点的的坐坐标标是是方方程程的的解解，则则 11 .xyk即即 11 ,x y
9、k 而而 正是点正是点M M1 1到纵轴、横轴的距离，因到纵轴、横轴的距离，因 此点此点M M1 1到这两条直线的距离的积是常数到这两条直线的距离的积是常数k k，点，点M M1 1是是 曲线上的点曲线上的点. . 由由(1)(2)(1)(2)可知可知, , 是与两条坐标轴的距离的是与两条坐标轴的距离的 积为常数积为常数k k( (kk0)0)的点的轨迹方程的点的轨迹方程. . 11 xy， xyk C C 例例2 2 方程方程x x2 2y y2 21(xy0)1(xy0)的曲线形状是的曲线形状是 ( ( ) ) 解析：解析：选选C.C.方程方程x x2 2y y2 21 1表示以原点为圆心
10、，半径为表示以原点为圆心，半径为1 1 的单位圆，而约束条件的单位圆，而约束条件xy0xy0则表明单位圆上点的横、则表明单位圆上点的横、 纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分 故选故选C.C. 解析：解析：选选C.C.由由x x2 2xyxyx x，得，得x(xx(xy y1)1)0 0， 即即x x0 0或或x xy y1 10.0. 由此知方程由此知方程x x2 2xyxyx x表示两条直线表示两条直线 故选故选C.C. 【变式练习变式练习】 方程方程x x2 2xyxyx x表示的曲线是表示的曲线是( ( ) ) A A一个点一个点 B
11、 B一条直线一条直线 C C两条直线两条直线 D D一个点和一条直线一个点和一条直线 C C 1.1.若命题若命题“曲线曲线C C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f(xf(x，y)y)0 0 的解的解”是正确的，则下列命题为真命题的是是正确的，则下列命题为真命题的是( ( ) ) A A不是曲线不是曲线C C上的点的坐标，一定不满足方程上的点的坐标，一定不满足方程f(xf(x，y)y) 0 0 B B坐标满足方程坐标满足方程f(xf(x，y)y)0 0的点均在曲线的点均在曲线C C上上 C C曲线曲线C C是方程是方程f(xf(x，y)y)0 0的曲线的曲线 D D不是方程不是方程f(
12、xf(x，y)y)0 0的解，一定不是曲线的解，一定不是曲线C C上的点上的点 思路探索思路探索 从定义入手，考查定义中的两个条件从定义入手，考查定义中的两个条件 D D 2.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ( ) ) A Ay y2 2x x 与与 y y B By ylg xlg x2 2 与 与 y y2lg x2lg x C. C. 1 1 与与 lg (ylg (y1)1)lg (xlg (x2)2) D Dx x2 2y y2 21 1 与与 |y|y| x 1 2 y x 2 1x 解析：解析：选选D.D.主要考虑主要考虑x x与与y
13、y的范围的范围. . D D 3.3.方程方程y y 所表示的曲线是所表示的曲线是_ 12 2 xx 2 11(): yxx解解析析 答案：答案：以以(1(1，0)0)为端点的两条射线为端点的两条射线 4.4.已知曲线已知曲线C C的方程为的方程为x x ，说明曲线，说明曲线C C是什是什 么样的曲线，并求该曲线与么样的曲线，并求该曲线与y y轴围成的图形的面积轴围成的图形的面积 2 4y 解：解：由由x x ，得，得x x2 2y y2 24 4，又，又x0x0， 所以方程所以方程x x 表示的曲线是以原点为圆心，表示的曲线是以原点为圆心， 2 2为半径的右半圆为半径的右半圆, , 从而该曲
14、线从而该曲线C C与与y y轴围成的图形是半圆，轴围成的图形是半圆， 其面积其面积S S 4 42.2. 所以所求图形的面积为所以所求图形的面积为2.2. 1 2 2 4y 2 4y 在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程， 当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时 就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方 面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究, ,几何几何 问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想， 本节课正是这一思想的基础本节课正是这一思想的基础. . 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来， 都是微不足道；所有的失败，与失去自己的 失败比起来，更是微不足道.
