1、1.1.3 导数的几何意义 1.1.平均变化率平均变化率 函数函数y=f(x)y=f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: : 2.2.平均变化率的几何意义：平均变化率的几何意义： O A B x y y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=x f(x2)-f(x1)=y 1 21 )()xf x xx 2 2 f ( f (y k x 1 21 )()xf x xx 2 2 f ( f (y x 割线的斜率割线的斜率 3.3.导数的概念导数的概念 函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率处的瞬时变化率 0 00 0 (
2、)() ()lim x f xxf x fx x 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的导数处的导数, 记作记作 或或 , 即即 0 | xx y 0 () f x 4.4.求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数的一般步骤是处的导数的一般步骤是: : 00 1 ( )()(); yf xxf x求求函函数数的的增增量量 00 2 ()() ( ); 求求平平均均变变化化率率 f xxf xy xx 0 0 3( )()lim. 取取极极限限，得得导导数数 x y fx x 1.1.根据导数的几何意义描述实际问题根据导数的几何意义描述实际问题.
3、 . 2.2.求曲线上某点处的切线方程求曲线上某点处的切线方程. .（重点）（重点） 3.3.导函数的概念及对导数的几何意义的理解导函数的概念及对导数的几何意义的理解. . （难点）（难点） 平面几何中我们是怎样判断直线是否是平面几何中我们是怎样判断直线是否是 圆的圆的割线或割线或切线切线的呢的呢？ 探究点探究点1 1 切线切线 切线切线 割线割线 如图直线如图直线l1 1是曲线是曲线C C的切线吗的切线吗? ? l2 2呢呢? ? l2 l1 A B 0 x y l1 1不是曲线不是曲线C C的切线，的切线，l2 2是曲线是曲线C C的切线的切线. . 观察图形你能得到什么结论？观察图形你能
4、得到什么结论？ 切线的定义：切线的定义： 当点当点 沿着曲线趋近于沿着曲线趋近于 点点 ，即，即 时，割线时，割线 趋近于一个确定的位置，趋近于一个确定的位置， 这个确定位置的直线这个确定位置的直线PTPT 称为点称为点P P处的切线处的切线. . n P P 0x n PP 注：曲线的切线注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一并不一定与曲线只有一 个交点个交点, 可以有多个可以有多个,甚至可以有无穷多个甚至可以有无穷多个. x y o y=f(x) 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线 斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率斜率与某点附近的平均
5、变化率和某点的瞬时变化率 有何联系？有何联系？ 平均变化率平均变化率 割线的斜率割线的斜率 瞬时变化率（导数）瞬时变化率（导数） 切线的斜率切线的斜率 0x 0x 探究点探究点2 2 导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 在在 处的导数就是曲线处的导数就是曲线 在点在点(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率 ， 即：即： ( )yf x 0 xx k 00 0 0 () lim() x f xxf x kfx x 曲线在点曲线在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的方程为：处的切线的方程为： 000 ()()().yf xfxxx 导数的几何意义导数的几何意义 例例1 1
6、 求曲线求曲线y=f(x)=xy=f(x)=x2 2+1+1在点在点P(1,2)P(1,2)处的切线方程处的切线方程. . Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M y x 因此因此, ,切线方程为切线方程为y y- -2=2(x2=2(x- -1),1), 即即y=2x.y=2x. 00 0 2 0 2 0 111 1 2 2 ()() lim ()() lim () lim. x x x f xxf x k x x x xx x 解：解： 【总结提升总结提升】 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: : 求出切点求出切点P P的坐标；
7、的坐标； 求切线的斜率，即函数求切线的斜率，即函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的处的 导数；导数； 利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程. . 例例2 2 如图如图, , 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 105 . 69 . 4)( 2 ttth的图象的图象. . 根据图象根据图象, , 请描述、请描述、 比较曲线比较曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况. . )(th 210 ,ttt t o h t0 t1 t2 l0 l1 l2 t4 t3 解解: :可用曲线可用曲线 h(t) h(t) 在在t t0 0 , t ,
8、t1 1 , t , t2 2 处的切线刻画曲线处的切线刻画曲线h(t)h(t)在上述三在上述三 个时刻附近的变化情况个时刻附近的变化情况. . (1)(1)当当t = tt = t0 0时时, , 曲线曲线 h(t) h(t) 在在 t t0 0 处的切线处的切线 l0 0 平行于平行于 t t 轴轴. . 故在故在t = tt = t0 0 附近曲线比较平坦附近曲线比较平坦, , 几乎没有升降几乎没有升降. . t o h l0 t0 t1 l1 t2 l2 t4 t3 (2)(2)当当 t = tt = t1 1 时时, , 曲线曲线 h(t) h(t) 在在 t t1 1 处的切线 处
9、的切线 l1 1 的斜率的斜率 h (th (t1 1) 0 0 D Dh h(a)(a)不确定不确定 B B 4.4.曲线曲线y yx x3 3在点在点P P处的切线斜率为处的切线斜率为3 3，则点，则点P P的坐的坐 标为标为( ( ) ) A.(A.(2 2，8) B.(1,1)8) B.(1,1)，( (1 1，1)1) C.( 2 , 8) D.C.( 2 , 8) D. B B 11 28 （-，-，- ）- ） 二、填空题 5已知曲线 y1 x1 上两点 A(2， 1 2)，B(2x， 1 2y)，当 x1 时，割线 AB 的斜率为_ 1 6 - - 6P 是抛物线 yx2上一点
10、，若过点 P 的切线与直线 y1 2x1 垂直，则过点 P 的切线方程为_ y y2x2x1 1 2.2.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义几何意义， 就是函数就是函数 的图象在点的图象在点 处的切线的斜处的切线的斜 率率（数形结合）（数形结合） )(xf 0 xx 0 / xf )(xf 00 ,()P xf x 00 0 0 / ()() ()lim x f xxf x fx x 切线切线 的斜率的斜率k k 1.1.曲线的切线定义曲线的切线定义 4.4.导函数导函数( (简称导数简称导数) ) 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x 3.3.利用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题，体会解释实际生活问题，体会 “数形结合”，“以直代曲”“数形结合”，“以直代曲”的数学思想方法的数学思想方法. . 以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象 聪明在于勤奋，天才在于积累. 华罗庚
