1、2.5 平面向量应用举例 一、平面几何中的向量方法一、平面几何中的向量方法 1.1.请用连线的方式说明以下平面图形的性质和平面向量运算请用连线的方式说明以下平面图形的性质和平面向量运算 的关系的关系. . 2.2.用向量方法解决平面问题的“三步法”用向量方法解决平面问题的“三步法” 向量向量 向量问题向量问题 运算运算 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)若若ABCABC是直角三角形，则有是直角三角形，则有 ( )( ) (2)(2)若若 则直线则直线ABAB与与CDCD平行平行.( ).( ) (3)(3)向量向量 的夹角与直线的夹角与直线
2、AB,CDAB,CD的夹角不相等的夹角不相等.( ).( ) AB BC0. ABCD, AB,CD 提示：提示：(1)(1)错误错误. .因为因为ABCABC是直角三角形，并不一定是直角三角形，并不一定B B是直是直 角，有可能角，有可能A A或或C C是直角，故是直角，故 不一定成立不一定成立. . (2)(2)错误错误. . 所以直线所以直线ABAB与与CDCD平行或重合，故直线平行或重合，故直线ABAB与与 CDCD平行的结论不一定正确平行的结论不一定正确. . (3)(3)正确正确. .直线直线AB,CDAB,CD的夹角范围是的夹角范围是 当当ABAB与与CDCD的夹角是锐角或直角时
3、，即为直线的夹角是锐角或直角时，即为直线ABAB与与CDCD的夹角，的夹角， 否则不是直线否则不是直线ABAB与与CDCD的夹角的夹角. . 答案：答案：(1)(1) (2)(2) (3) (3) AB BC0 ABCD, (0, 2 二、物理学中的量与向量的关系二、物理学中的量与向量的关系 1.1.物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是_._. 2.2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量 的的_._. 思考：用向量法解答物理问题过程中，在给出答案时除了要考思考：用向量法
4、解答物理问题过程中，在给出答案时除了要考 虑向量本身的意义，还要考虑什么？虑向量本身的意义，还要考虑什么？ 提示：提示：在给出答案时还要考虑所给出的结果要满足实际意义在给出答案时还要考虑所给出的结果要满足实际意义. . 向量向量 加减加减 【知识点拨知识点拨】 1.1.平面几何中解析法与向量法的区别平面几何中解析法与向量法的区别 (1)(1)解析法是以数解析法是以数( (或代数式或代数式) )和数和数( (或代数式或代数式) )的运算为工具，的运算为工具， 对几何元素及其关系进行讨论；而向量法是以向量和向量的对几何元素及其关系进行讨论；而向量法是以向量和向量的 运算为工具，对几何运算及其关系进
5、行讨论运算为工具，对几何运算及其关系进行讨论. . (2)(2)解析法是研究几何的代数方法，实质是利用坐标系将点表解析法是研究几何的代数方法，实质是利用坐标系将点表 示成有序数对，建立点与有序数对之间的一一对应关系，从示成有序数对，建立点与有序数对之间的一一对应关系，从 而将平面直线而将平面直线( (曲线曲线) )表示为一个过程，即把几何问题归结为表示为一个过程，即把几何问题归结为 代数问题，然后运用代数运算或变换，对数、代数式及方程代数问题，然后运用代数运算或变换，对数、代数式及方程 进行计算并讨论，最后再把计算、讨论的结果翻译成相应的进行计算并讨论，最后再把计算、讨论的结果翻译成相应的 几
6、何结论几何结论. .其过程可描述为：形到数其过程可描述为：形到数数的运算数的运算数到形数到形. . (3)(3)向量法就思路而言同解析法一致，不同的只是用向量法就思路而言同解析法一致，不同的只是用“向量和向量和 向量的运算向量的运算”来代替来代替“数数( (或代数式或代数式) )和数和数( (或代数式或代数式) )的运的运 算算”. .这就是说把点、线等几何元素直接归结为向量，对这些这就是说把点、线等几何元素直接归结为向量，对这些 向量进行计算并讨论它们之间的关系，然后把这些计算、讨向量进行计算并讨论它们之间的关系，然后把这些计算、讨 论的结果翻译成关于点、线等相应的结论论的结果翻译成关于点、
7、线等相应的结论. . 其过程可描述为：其过程可描述为： 形到向量形到向量向量的运算向量的运算向量到形向量到形. . 2.2.向量在物理中应用时要注意的问题向量在物理中应用时要注意的问题 (1)(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系 抽象成数学模型抽象成数学模型. . (2)(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象. . (3)(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问 题的相关知识：题的相关知识： 动量动量
8、m m v是数乘向量是数乘向量; ; 功是力功是力F与在力与在力F的作用下物体所产生的位移的作用下物体所产生的位移s s的数量积的数量积. . 类型类型 一一 平面向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013武汉高一检测武汉高一检测) )已知已知| |a|= |= |b|=2, |=2, 向量向量a, ,b的夹的夹 角为角为3030, , 则以向量则以向量a, ,b为邻边的平行四边形的一条对角线的为邻边的平行四边形的一条对角线的 长度为长度为( )( ) A.10 B. C.2 D.22A.10 B. C.2 D.22 2.2.求等腰直角
9、三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值. . 2 3, 10 【解题探究解题探究】 1.1.以向量以向量a, ,b为邻边的平行四边形的对角线的长度如何用为邻边的平行四边形的对角线的长度如何用a, ,b 表示？如何求这些向量的模？表示？如何求这些向量的模？ 2.2.向量的运算有两种计算方法：一是根据向量线性运算和数向量的运算有两种计算方法：一是根据向量线性运算和数 量积的定义进行计算；二是依据向量的坐标来计算量积的定义进行计算；二是依据向量的坐标来计算. . 解答第解答第2 2题可以考虑用哪种运算方法？题可以考虑用哪种运算方法？ 探究提示：
10、探究提示： 1.1.以向量以向量a, ,b为邻边的平行四边形的对角线的长度分别是为邻边的平行四边形的对角线的长度分别是 | |ab| |和和| |a+ +b|.|.根据根据| |ab| |2 2=(=(ab) )2 2，| |a+ +b| |2 2=(=(a+ +b) )2 2，求这，求这 些向量的模些向量的模. . 2.2.解答第解答第2 2题可以建系后通过向量的坐标计算向量的夹角题可以建系后通过向量的坐标计算向量的夹角. . 【解析解析】1.1.选选C. C. 以向量以向量a, ,b为邻边的平行四边形的两条对角为邻边的平行四边形的两条对角 线的长度可以分别表示为线的长度可以分别表示为| |
11、ab| |和和| |a+ +b|.|. 因为因为| |a|= |= |b|=2, |=2, 且且a, ,b的夹角为的夹角为3030, , 所以所以ab=|=|a|b|cos 30|cos 30= = 所以所以| |ab| |2 2=(=(ab) )2 2=|=|a| |2 22 2ab+|+|b| |2 2= = 故故| |ab|=2|=2； 故故| |a+ +b|=|= 综上分析可知选综上分析可知选C.C. 2 3, 3 2 326, 2 2 2 2 32 624 ， 2 2222 2 22 32 6228 ，ababaa bb 2 7. 2.2.如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为如图，
12、分别以等腰直角三角形的两直角边为x x轴、轴、y y轴建立轴建立 直角坐标系，直角坐标系， 设设A(2a,0),B(0,2a)A(2a,0),B(0,2a)，则，则D(a,0),C(0,a)D(a,0),C(0,a)， 从而可求：从而可求： =(a,=(a,2a),2a),不妨设不妨设 的夹角为的夹角为, 则则 故所求钝角的余弦值为故所求钝角的余弦值为 AC2a,a , BDAC,BD 2 2 AC BD( 2a,a) (a,2a)4a4 cos. 5a5|AC|BD|5a5a 4 . 5 【拓展提升拓展提升】用向量证明平面几何问题的两种基本思路用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)(1
13、)向量的线性运算法的四个步骤：向量的线性运算法的四个步骤： 选取基底选取基底; ;用基底表示相关向量用基底表示相关向量; ;利用向量的线性运算利用向量的线性运算 或数量积找相应关系或数量积找相应关系; ;把几何问题向量化把几何问题向量化. . (2)(2)向量的坐标运算法的四个步骤：向量的坐标运算法的四个步骤： 建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化; ;用向用向 量的坐标运算找相应关系量的坐标运算找相应关系; ;把几何问题向量化把几何问题向量化. . 【变式训练变式训练】已知点已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),A(4,0),B(4,
14、4),C(2,6),试用向量方法求试用向量方法求 直线直线ACAC和和OB(OOB(O为坐标原点为坐标原点) )的交点的交点P P的坐标的坐标. . 【解题指南解题指南】先设点先设点P P的坐标，然后用向量共线表示的坐标，然后用向量共线表示P P在直线在直线 ACAC上，也在直线上，也在直线OBOB上，最后列出方程组求坐标上，最后列出方程组求坐标. . 【解析解析】设设P(x,y)P(x,y)，则，则 因为因为P P是是ACAC与与OBOB的交点，所以的交点，所以P P在直线在直线ACAC上，也在直线上，也在直线OBOB上，上， 即得即得 由点由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)A(4
15、,0),B(4,4),C(2,6)得，得， 得方程组得方程组 解得解得 故直线故直线ACAC与与OBOB的交点的交点P P的坐标为的坐标为(3,3).(3,3). OPx,y ,APx4,y . OPOB,APAC. AC2,6 ,OB4,4， 6 x42y0 4x4y0 ， ， x3 y3 ， ， 类型类型 二二 向量在物理中的应用向量在物理中的应用 【典型例题典型例题】 1.1.一质点受到平面上的三个力一质点受到平面上的三个力F1 1，F2 2，F3 3( (单位：单位：N)N)的作用而的作用而 处于平衡状态，已知处于平衡状态，已知F1 1，F2 2成成6060角，且角，且F1 1，F2
16、2的大小分别为的大小分别为 2 2和和4 4，则，则F3 3的大小为的大小为_ 2.2.一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标， 测得风往东偏南测得风往东偏南3030方向吹，风速为方向吹，风速为4 4米米/ /秒，这时气象台报告秒，这时气象台报告 实际风速为实际风速为2 2米米/ /秒秒. .试求风的实际方向和汽车的速度大小试求风的实际方向和汽车的速度大小. . 【解题探究解题探究】 1.1.一质点受到平面上的三个力一质点受到平面上的三个力F1 1，F2 2，F3 3的作用处于平衡状的作用处于平衡状 态，这三个力应满足什么关系
17、？态，这三个力应满足什么关系？ 2.2.题目中涉及以下三个速度：题目中涉及以下三个速度：“车对地车对地”，“风对地风对地”， “风对车风对车”，它们之间有什么关系？，它们之间有什么关系？ 探究提示：探究提示： 1.1.这三个力应满足这三个力应满足F1 1F2 2F3 30. . 2.2.v风地 风地= =v风车风车+ +v车地车地. . 【解析解析】1.1.由已知得：由已知得：F1 1F2 2F3 30， 所以所以F3 3( (F1 1F2 2),), 所以所以 2 22 24 42 22 22 24cos 604cos 60 =4+16+8=28=4+16+8=28， 所以所以| |F3 3
18、| | 答案：答案： 222 31212 2FFFF F 2 7. 2 7 2.2.依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地 车地、 、 风对车的速度为风对车的速度为v风车 风车、风对地的速度为 、风对地的速度为v风地 风地、风对地的速度可 、风对地的速度可 以看成车对地与风对车的速度的合速度，即以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地 风地= =v风车风车+ +v车地车地. . 如图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量如图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地 风地的 的 有向线段有向线段 是平行四边形是平行四
19、边形ABDCABDC的对角线的对角线. . AD 因为因为| |=4,ACD=30| |=4,ACD=30,| |=2,| |=2, 所以所以ADC=90ADC=90, , 在在RtRtADCADC中中,| |=| |cos 30,| |=| |cos 30= = 即风的实际方向是由正北向正南方向，汽车速度的大小为即风的实际方向是由正北向正南方向，汽车速度的大小为 米米/ /秒秒. . ACAD DCAC2 3, 2 3 【互动探究互动探究】题题1 1中，试求力中，试求力F1 1与与F3 3的夹角的余弦值的夹角的余弦值 【解析解析】设设F1 1与与F3 3的夹角为的夹角为，则，则 即即F3 3
20、与与F1 1的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 2 31121 31121 1 22 4 ()2 7 2 cos |72 72 ， F FFFF F FFFF 2 7 . 7 【拓展提升拓展提升】向量解决物理问题的步骤向量解决物理问题的步骤 类型类型 三三 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用 【典型例题典型例题】 1.1.平面上有三个点平面上有三个点A(A(2 2，y)y)，B( )B( )，C(xC(x，y)(x0)y)(x0)， 若若 则动点则动点C C的轨迹方程为的轨迹方程为_. _. 2.2.已知圆已知圆C C：(x(x- -3)3)2 2+(y+(y- -3)3)2 2=4=
21、4及点及点A(1,1)A(1,1)，M M是圆上的任意是圆上的任意 一点，点一点，点N N在线段在线段MAMA的延长线上，且的延长线上，且 求点求点N N的轨迹的轨迹 方程方程 y 0, 2 ABBC， MA2AN， 【解题探究解题探究】 1.1.由由 可得到什么等量关系？可得到什么等量关系？ 2.2.如何分析点如何分析点M M与与N N坐标之间的关系？点坐标之间的关系？点M M的坐标满足什么关系？的坐标满足什么关系？ 探究提示：探究提示： 1.1.由由 得得 2.(1)2.(1)根据相等向量对应坐标相等，可以得到点根据相等向量对应坐标相等，可以得到点M M与与N N坐标之间坐标之间 的关系的
22、关系.(2).(2)点点M M在圆在圆C C上，其坐标代入圆上，其坐标代入圆C C的方程后成立的方程后成立. . ABBC ABBCAB BC0. 【解析解析】 1.1.由题意由题意 因为因为 所以所以 即即 化简得化简得y y2 28x (x0)8x (x0) 答案：答案：y y2 28x (x0)8x (x0) yy AB(2,) BCx, 22 ，()， ABBC，AB BC 0 ， yy (2,) (x,) 0 22 ， 2.2.设设M(xM(x0 0,y,y0 0),N(x,y).),N(x,y). 由由 得得(1(1x x0 0,1,1y y0 0) )2(x2(x1 1，y y1
23、)1)， 所以所以 即即 因为点因为点M(xM(x0 0，y y0 0) )在圆在圆C C上，所以上，所以(x(x0 03)3)2 2(y(y0 03)3)2 24 4， 即即(3(32x2x3)3)2 2(3(32y2y3)3)2 24.4. 所以所以x x2 2y y2 21.1. 所以所求点所以所求点N N的轨迹方程是的轨迹方程是x x2 2y y2 21.1. MA2AN 0 0 1x2 x1 , 1y2 y 1 ， 0 0 x32x, y32y. 【拓展提升拓展提升】向量法解决解析几何问题的关键点及常用知识向量法解决解析几何问题的关键点及常用知识 (1)(1)关键点关键点 向量法解决
24、平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向 量的坐标，然后进行向量的运算量的坐标，然后进行向量的运算. . (2)(2)常用知识常用知识 相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须 熟练掌握熟练掌握. . 【变式训练变式训练】(2013(2013湛江高一检测湛江高一检测) )平面直角坐标系中，平面直角坐标系中， O O为坐标原点，已知两点为坐标原点，已知两点A(3,1)A(3,1)，B(B(- -1,3)1,3)，若点，若点C C满足满足 其中其中 , , RR且且 + + =1,
25、=1,求点求点C C的轨迹及的轨迹及 其轨迹方程其轨迹方程. . OCOAOB ， 【解析解析】因为因为A(3,1),B(A(3,1),B(- -1,3)1,3)，所以，所以 因为因为+=1+=1，所以，所以=1=1- -. 又因为又因为 所以所以 所以所以 所以所以 所以所以A,B,CA,B,C三点共线三点共线. . 所以点所以点C C的轨迹为直线的轨迹为直线AB.AB. 因为因为 所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为 化简得化简得x+2yx+2y- -5=05=0，所以点，所以点C C的轨迹方程为的轨迹方程为x+2yx+2y- -5=0.5=0. OA3,1 ,OB1,3 . OCOA
26、OBOC1OAOB ， ， OCOAOBOAACAB.， AB 3 11 k 1 32 ， 1 y 1x3 2 ， 【易错误区易错误区】利用向量判断平面图形形状时的误区利用向量判断平面图形形状时的误区 【典例典例】在在ABCABC中，中， 则则ABCABC的形状的形状 一定是一定是( )( ) A.A.等边三角形等边三角形 B.B.等腰三角形等腰三角形 C.C.直角三角形直角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形 2 BCBA AC |AC|， 【解析解析】选选C.C. 由由 得得 所以所以 所以所以 即即 所以所以 所以所以 所以所以A=90A=90. . 所以所以ABCABC是直角三
27、角形是直角三角形. . 2 2 (BCBA) AC |AC| , (BCBA) AC0, , AC BCBA0, AC BCCABA0 AC AC BCBA AC0 CA , 2AC BA0,ACBA, 【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 1.1.正确进行向量关系式的变形正确进行向量关系式的变形 已知平面向量的关系式判断平面图形的形状时，要特别注意已知平面向量的关系式判断平面图形的形状时，要特别注意 应用向量运算的几何意义和运算律对向量关系式进行变形应用向量运算的几何意义和运算律对向量关系式进行变形. . 如本例中，如本例中， 的应用的应用. . 2 22 ACACACCA (BCBA
28、) AC ACAC (BCBACA)， 2.2.理解向量关系与几何关系的区别和联系理解向量关系与几何关系的区别和联系 为了正确地将向量运算结果为了正确地将向量运算结果“翻译翻译”成几何关系，就要理解成几何关系，就要理解 清楚向量平行和垂直等概念与几何关系中相关概念的区别和清楚向量平行和垂直等概念与几何关系中相关概念的区别和 联系联系. .如本例中，由如本例中，由 可得可得A=90A=90. . ACBA 【类题试解类题试解】 若四边形若四边形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4满足：满足： 则该四边形一定是则该四边形一定是( )( ) A A矩形矩形 B B菱形菱形 C C正方形正
29、方形 D D直角梯形直角梯形 【解析解析】选选B.B.由由 得得 所以所以A A1 1A A2 2AA3 3A A4 4，|A|A1 1A A2 2|=|A|=|A3 3A A4 4|.|. 所以四边形所以四边形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4是平行四边形是平行四边形. . 又因为又因为 所以所以A A4 4A A2 2AA1 1A A3 3, ,所以四边形所以四边形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4是菱形是菱形. . 1234121413 A AA AA AA AA A0,，0 1234 A AA A 0 1234 A AA A， 1214134213 (A A
30、A A ) A AA A A A0， 1.1.一物体受到相互垂直的两个力一物体受到相互垂直的两个力F1 1, ,F2 2的作用，两力大小都为的作用，两力大小都为 则两个力的合力的大小为则两个力的合力的大小为( )( ) A.5 N B.5 N C.5 N D.5 NA.5 N B.5 N C.5 N D.5 N 【解析解析】选选D.D.根据向量加法的平行四边形法则，合力根据向量加法的平行四边形法则，合力F的大小的大小 为为 5 3 N， 236 25 3 5 6 N . 2.2.在四边形在四边形ABCDABCD中，中， 且且 则四边形则四边形ABCDABCD 是是( )( ) A.A.梯形梯形
31、 B.B.菱形菱形 C.C.矩形矩形 D.D.正方形正方形 【解析解析】选选C.C. 由由 得得ABBCABBC，又，又 所以所以ABAB与与DCDC平行且相等，从而四边形平行且相等，从而四边形ABCDABCD是矩形是矩形. . AB BC0ABDC， ， AB BC0 ，ABDC， 3.3.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已知点中，已知点A(A(1 1，2)2)，B(2,3)B(2,3)， C(C(2 2，1)1)以线段以线段AB,ACAB,AC为邻边的平行四边形的两条对角为邻边的平行四边形的两条对角 线的长分别是线的长分别是_、_._. 【解析解析】 求两条对角线的长即求求
32、两条对角线的长即求 与与 的大小的大小 由由 得得 由由 得得 答案：答案： AB3,5 AC1,1， ， AB AC|AB AC| AB AC2,6AB AC2 10， ， AB AC4,4AB AC4 2.， 2 10 4 2 4.4.已知点已知点A(1,1)A(1,1)，M(x,y)M(x,y)，且，且A A与与M M不重合不重合, ,若向量若向量 与向量与向量 a=(1,2)=(1,2)垂直垂直, ,则点则点M M的轨迹方程为的轨迹方程为_._. 【解析解析】由题意得由题意得 =(x=(x1,y1,y1)1) 因为因为 a，所以，所以 a=0,=0, 所以所以(x(x1,y1,y1)1
33、)(1,2)=x(1,2)=x1+2(y1+2(y1)=0,1)=0, 即即x+2yx+2y3=0(x1).3=0(x1). 答案：答案：x+2yx+2y3=0(x1)3=0(x1) AM AM AMAM 5.5.如图，已知两个力的大小和方向，如图，已知两个力的大小和方向， 则合力的大小为则合力的大小为_N_N；若在图；若在图 示坐标系中，用坐标表示合力，则示坐标系中，用坐标表示合力，则 合力的坐标为合力的坐标为_._. 【解析解析】 F1 1=(2,3),=(2,3),F2 2=(3,1)=(3,1)， 所以合力所以合力F= = F1 1+ + F2 2=(2,3)+(3,1)=(5,4),
34、=(2,3)+(3,1)=(5,4), 所以合力的大小为所以合力的大小为 答案：答案： (5,4)(5,4) 22 5441N. 41 6.6.已知已知A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2,y,y2 2) )，试用向量法求以，试用向量法求以ABAB为直径的圆的为直径的圆的 方程方程. . 【解析解析】设设M(x,y)M(x,y)是圆上任意一点，因为是圆上任意一点，因为ABAB是圆的直径，是圆的直径， 当当M M不与不与A,BA,B重合时，有重合时，有AMBMAMBM，所以，所以 又又 所以所以(x(xx x1 1)(x)(xx x2 2)+(y)+(yy y1 1)(y)(yy y2 2)=0,)=0, 经检验经检验A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )也适合也适合. . 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x(x- -x x1 1)(x)(x- -x x2 2)+(y)+(y- -y y1 1)(y)(y- -y y2 2)=0.)=0. AM BM0, 1122 AM(xx ,yy ),BM(xx ,yy ),
