1、2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 2.1.12.1.1合情推理合情推理- -归纳推理归纳推理 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: : “任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质的偶数都等于两个奇质 数之和数之和” 即即: :偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)(Goldbach Conjecture) 世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一位著名的数学家，生于16901690年，年， 17251725年当选
2、为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥 德巴赫在教学中发现，每个不小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都是两 个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6 63 3 3 3，12125 57 7等等。等等。 公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach)(Goldbach)写信给当时写信给当时 的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想: : (a) (a) 任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两
3、个奇质之偶数，都可以表示成两个奇质 数之和。数之和。 (b) (b) 任何一个任何一个=9=9之奇数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表示成三个奇质 数之和。数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 6月月3030日给他的回信中说日给他的回信中说 ，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的 问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便 引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至
4、今，许多数学家 都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具 体的验证工作，例如体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . = 5 + 13, . . . .
5、 等等。有人对等等。有人对3333108108以内且大过以内且大过6 6之偶数之偶数 一一进行验算，哥德巴赫猜想一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)(a)都成立。但验格的数学证明都成立。但验格的数学证明 尚待数学家的努力。尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注 意。意。200200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数 学皇冠上一颗可望不可及的学皇冠上一颗可望不可及的“明珠明珠”。到了。到了2020世纪世纪2020年代，才年代，才 有人开始向它靠近。有人开
6、始向它靠近。19201920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛年、挪威数学家布爵用一种古老的筛 选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为 （9999）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9 9 十十9 9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最 后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫哥德巴赫” 。 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjectu
7、re) 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於目前最佳的结果是中国数学家陈景润於19661966年年 证明的，称为陈氏定理证明的，称为陈氏定理(Chen(Chens Theorem) ? s Theorem) ? “ 任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数 之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通通 常都简称这个结果为大偶数可表示为常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 1 + 2 ”的形式。的形式。 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 在陈景润之前，关於偶数可表示为在陈景润之前，关
8、於偶数可表示为 s s个质数的乘积个质数的乘积 与与t t个质数的乘积之和个质数的乘积之和( ( 简称简称“s + t s + t ”问题问题) )之进展情况如下之进展情况如下: : 19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun)(Brun)证明了证明了 “9 + 9 9 + 9 ”。 19241924年，德国的拉特马赫年，德国的拉特马赫(Rademacher)(Rademacher)证明了证明了“7 + 7 7 + 7 ”。 19321932年，英国的埃斯特曼年，英国的埃斯特曼(Estermann)(Estermann)证明了证明了 “6 + 6 6 + 6 ”。 19371937
9、年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei)(Ricei)先後证明了先後证明了“5 + 7 5 + 7 ”, , “4 + 9 4 + 9 ”, , “3 + 15 3 + 15 ”和和“2 + 366 2 + 366 ”。 19381938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了“5 + 5 5 + 5 ”。 19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了 “4 + 4 4 + 4 ”。 19481948年，匈牙利的瑞尼年，匈牙利的瑞尼(Renyi)(Renyi)证明了证明了“1
10、+ c 1 + c ”，其中，其中c c是一很大的自然是一很大的自然 数数 。 19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了 “3 + 4 3 + 4 ”。 19571957年，中国的王元先後证明了年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 3 + 3 ”和和 “2 + 3 2 + 3 ”。 19621962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)(BapoaH)证明了证明了 “1 + 5 1 + 5 ”， 中中 国的王元证明了国的王元证明了“1 + 4 1 + 4 ”。 19651965年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao
11、)(Byxwrao)和小维诺格拉多夫和小维诺格拉多夫(BHHopappB)(BHHopappB)，及，及 意大利的朋比利意大利的朋比利(Bombieri)(Bombieri)证明了证明了“1 + 3 1 + 3 ”。 19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 1 + 2 ”。 最终会由谁攻克最终会由谁攻克 “1 + 1 1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。这个难题呢？现在还没法预测。 歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: : “任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个
12、奇奇的偶数都等于两个奇奇 数之和数之和” 即即: :偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数 改写为改写为:1037，20317，301317 63+3， 1000100029+97129+971， 83+5， 1002=139+863, 105+5, 125+7， 147+7， 165+11, 18 =7+11, ， 这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称归纳) 归纳推理的几个特点; 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、
13、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明 对有限的资料进行观察、分析、归纳对有限的资料进行观察、分析、归纳 整整 理；理； 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。检验猜想。 归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤： 例1 观察图,可以发现 由上述具体事实能得出怎样结论 解:将上述事实分别叙述如下: 1等于1的平方; 前2个正奇数的和等于2的平方; 前3个正奇数的和等于3的平方; 前4
14、个正奇数的和等于4的平方; 前5个正奇数的和等于5的平方; 2 2 2 2 2 1 1 , 1 3 4 2 , 1 3 5 9 3 , 1 3 5 7 16 4 , 1 3 5 7 9 25 5 , 由此猜想：前 个连续正 奇数的和等于 时的平方，即 * ()n nN n 2 1321nn 例例2:2:已知数列已知数列aan n 的第的第1 1项项a a1 1=1=1且 (n=1,2,3 (n=1,2,3 ),),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式. . n n n+1n+1 n n a a a=a= 1 + a1 + a 3 4 11; 11 2; 112 1 1 2 3,; 1 3 1 2 1 1 3 4, 1 4 1 3 na na na na 1 2 当时, 当时, 当时 当时 观察可得，数列的前4项都等于相应序号 的倒数。由此猜想，这个数列通项公式 为 1 n a n * * -.-. 111111 练习：f(n)=1+(nN )计算得练习：f(n)=1+(nN )计算得 23n23n 3535 f(2)=,f(4)2,f(8),f(16)3,f(2)=,f(4)2,f(8),f(16)3, 2222 推测当n2时,有推测当n2时,有 7 (32) 2 , f L L
