1、第二课时第二课时 等差数列的性质及简单应用等差数列的性质及简单应用 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.能根据等差数列的定义与通项公式能根据等差数列的定义与通项公式, ,推导出等差数列的重要性质推导出等差数列的重要性质. . 2.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题. . 3.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 等差数列的常见性质等差数列的常见性质 (1)(1)对称性对称性:a:a1 1
2、+a+an n=a=a2 2+a+an n- -1 1=a=a3 3+a+an n- -2 2= =a=am m+ + (nm);(nm); (2)a(2)an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d=a1)d=a2 2+(n+(n- -2)d=2)d=a=am m+ + ; ; (3)(3)若若m,n,p,qm,n,p,q均为正整数均为正整数, ,则则m+n=p+q=2km+n=p+q=2k ; ; (4)(4)若若m,p,nm,p,n均为正整数且均为正整数且m,p,nm,p,n成等差数列成等差数列, ,则则a am m,a,ap p,a,an n也成等差数列也成等差数列; ; a an
3、n- -m+1 m+1 (n(n- -m)dm)d a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q=2a=2ak k (5)(5)若若aan n 、bbn n 分别是公差为分别是公差为d,dd,d的等差数列的等差数列, ,则有则有 数列数列 结论结论 c+ac+an n 公差为公差为 的等差数列的等差数列(c(c为任一常数为任一常数) ) cacan n 公差为公差为 的等差数列的等差数列(c(c为任一常数为任一常数) ) aan n+a+an+k n+k 公差为公差为 的等差数列的等差数列(k(k为常数为常数,kN,kN* *) ) papan n+qb+qbn n 公差为公差为 的
4、等差数列的等差数列(p,q(p,q为常数为常数) ) (6)(6)单调性单调性:a:an n 的公差为的公差为d,d,则则d d 0 0aan n 为递增数列为递增数列;d;d 0 0aan n 为递减数为递减数 列列;d=0;d=0aan n 为常数列为常数列. . d d cdcd 2d2d pd+qdpd+qd 0,即即 d=2.d=2. 所以这三个数依次为所以这三个数依次为 4,6,8.4,6,8. 答案答案: :4,6,84,6,8 课堂探究课堂探究 等差数列性质的应用等差数列性质的应用 题型一题型一 解析解析: :(1)(1)因为因为 7+21=14+14,7+21=14+14,所
5、以所以 a a7 7+a+a21 21=2a=2a1414, ,所以所以 a a2121=2a=2a1414- -a a7 7=2n=2n- -m.m. 【例【例 1 1】 等差数列等差数列aan n 中中: : (1)(1)若若 a a7 7=m,a=m,a14 14=n,=n,则则 a a2121= = ; ; (2)(2)若若 a a1 1+a+a3 3+a+a5 5= =- -1,1,则则 a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5= = ; ; (3)(3)若若 a a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=34,a=34,a2 2a a5 5=5
6、2,=52,且且 a a4 4aa2 2, ,则则 a a5 5= = . . (2)(2)因为因为 a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=(a=(a1 1+a+a5 5)+a)+a3 3=2a=2a3 3+a+a3 3=3a=3a3 3= =- -1,1,所以所以 a a3 3= =- - 1 3 , , 所以所以 a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=5a=5a3 3=5=5（- - 1 3 ）= =- - 5 3 . . (3)(3)因为因为 a a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=34=34 且且 a a3 3+a+a4 4=a=a2
7、 2+a+a5 5, , 所以所以 2(a2(a2 2+a+a5 5)=34,)=34, 所以所以 a a2 2+a+a5 5=17,=17,又又 a a2 2a a5 5=52,=52, 所以所以 2 5 4 13 a a 或或 2 5 13, 4. a a 又因为又因为 a a4 4aa2 2, ,所以所以 a a4 4- -a a2 2=2d0,=2d0, 所以所以 d0,d0,所以所以 a a5 5aa2 2, , 所以所以 a a5 5=13.=13. 答案答案: :(1)2n(1)2n- -m m (2)(2)- - 5 3 (3)13(3)13 题后反思题后反思 求解等差数列有关
8、计算问题的常用方法求解等差数列有关计算问题的常用方法: :一是基本量方法一是基本量方法, ,即建立即建立 关于关于a a1 1和和d d的方程组求出的方程组求出a a1 1和和d d再解决问题再解决问题; ;二是运用等差数列的性质二是运用等差数列的性质, ,若若 m+n=p+q=2k,m+n=p+q=2k,且且m,n,p,q,km,n,p,q,kN N* *, ,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q=2a=2ak k. . 即时训练即时训练 1 1 1:(1)1:(1)如果等差数列如果等差数列aan n 中中,a,a3 3+a+a4 4+a+a5 5=12,=12,那么那
9、么 a a1 1+a+a2 2+ +a+a7 7等于等于( ( ) ) (A)14(A)14 (B)21(B)21 (C)28(C)28 (D)35(D)35 (2)(2)已知已知aan n 、bbn n 是两个等差数列是两个等差数列, ,其中其中 a a1 1=3,b=3,b1 1= =- -3,3,且且 a a20 20- -b b2020=6,=6,那么那么 a a1010- -b b1010的值为的值为 ( ( ) ) (A)(A)- -6 6 (B)6(B)6 (C)0(C)0 (D)10(D)10 解析解析: : (1)(1)因为因为a a3 3+a+a4 4+a+a5 5=12,
10、=12, 所以所以3a3a4 4=12,=12,则则a a4 4=4,=4, 又又a a1 1+a+a7 7=a=a2 2+a+a6 6=a=a3 3+a+a5 5=2a=2a4 4, , 故故a a1 1+a+a2 2+ +a+a7 7=7a=7a4 4=28.=28.故选故选C.C. (2)(2)由于由于aan n 、bbn n 都是等差数列都是等差数列, , 所以所以aan n- -b bn n 也是等差数列也是等差数列, , 而而a a1 1- -b b1 1=6,a=6,a20 20- -b b2020=6, =6, 所以所以aan n- -b bn n 是常数列是常数列, ,故故a
11、 a10 10- -b b1010=6. =6.故选故选B.B. 【思维激活】【思维激活】 (2013(2013 高考上海卷高考上海卷) )在等差数列在等差数列aan n 中中, ,若若 a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=30,=30,则则 a a2 2+a+a3 3= = . . 解析解析: :由等差数列的性质得由等差数列的性质得a a1 1+a+a4 4=a=a2 2+a+a3 3, , 又又a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=30,=30,所以所以2(a2(a2 2+a+a3 3)=30,)=30, 即即a a2 2+a+a3 3=15.=15.
12、 答案答案: :1515 巧用巧用“对称对称”解等差数列问题解等差数列问题 题型二题型二 【例例2 2】 已知四个数成递减等差数列已知四个数成递减等差数列, ,它们的和为它们的和为26,26,中间两项的积为中间两项的积为 40,40,求这四个数求这四个数. . 解解: :法一法一 设此等差数列的首项为设此等差数列的首项为 a a1 1, ,公差为公差为 d,d, 根据题意得根据题意得 1111 11 2326, 240, aadadad adad 化简化简, ,得得 1 22 11 4626, 3240, ad aa dd 解得解得 1 2, 3 a d ( (舍去舍去) )或或 1 11,
13、3. a d 所以这四个数分别为所以这四个数分别为 11,8,5,2.11,8,5,2. 法二法二 设这四个数分别为设这四个数分别为 a a- -3d,a3d,a- -d,a+d,a+3d,d,a+d,a+3d, 根据题意得根据题意得 3326, 40, adadadad adad 化简化简, ,得得 22 426, 40, a ad 解得解得 13 , 2 3 2 a d ( (舍去舍去) )或或 13 , 2 3 . 2 a d 所以这四个数分别为所以这四个数分别为 11,8,5,2.11,8,5,2. 题后反思题后反思 利用等差数列的定义巧设未知量利用等差数列的定义巧设未知量, ,从而简
14、化计算从而简化计算. .一般有如下规一般有如下规 律律: :当等差数列当等差数列aan n 的项数的项数n n为奇数时为奇数时, ,可设中间一项为可设中间一项为a,a,再以公差为再以公差为d d向两边分向两边分 别设项别设项: :a a- -2d,a2d,a- -d,a,a+d,a+2d,d,a,a+d,a+2d,; ;当项数为偶数时当项数为偶数时, ,可设中间两项为可设中间两项为a a- - d,a+d,d,a+d,再以公差为再以公差为2d2d向两边分别设项向两边分别设项: :a a- -3d,a3d,a- -d,a+d,a+3d,d,a+d,a+3d, ,这样可减少这样可减少 计算量计算量
15、. . 解解: :设第三个数为设第三个数为 a,a,公差为公差为 d,d,则这则这 5 5 个数分别为个数分别为 a a- -2d,a2d,a- -d,a,a+d,a+2d.d,a,a+d,a+2d. 由已知有由已知有 2222 2 225, 85 22, 9 adadaadad adadaadad 所以所以 22 55, 85 510. 9 a ad 所以所以 a=1,d=a=1,d= 2 3 . . d=d= 2 3 时时, ,这这 5 5 个数分别是个数分别是- - 1 3 , , 1 3 ,1,1, 5 3 , , 7 3 ;d=;d=- - 2 3 时时, ,这这 5 5 个数分别是
16、个数分别是 7 3 , , 5 3 ,1,1, , 1 3 , ,- - 1 3 . . 综上综上,5,5 个数分别为个数分别为- - 1 3 , , 1 3 ,1,1, 5 3 , , 7 3 或或 7 3 , , 5 3 ,1,1, 1 3 , ,- - 1 3 即时训练即时训练 2 2 1:1:已知五个数成等差数列已知五个数成等差数列, ,它们的和为它们的和为 5,5,平方和为平方和为 85 9 , ,求这求这 5 5 个数个数. . 等差数列的实际应用等差数列的实际应用 题型三题型三 【例例3 3】 有一批影碟机原销售价为每台有一批影碟机原销售价为每台800800元元, ,在甲、乙两家
17、商场均有销售在甲、乙两家商场均有销售. .甲商场用如甲商场用如 下方法促销下方法促销: :买一台单价为买一台单价为780780元元, ,买两台单价为买两台单价为760760元元, ,依此类推依此类推, ,每多买一台单价均减每多买一台单价均减 少少2020元元, ,但每台最少不低于但每台最少不低于440440元元; ;乙商场一律都按原价的乙商场一律都按原价的75%75%销售销售. .某单位需购买一批此某单位需购买一批此 类影碟机类影碟机, ,问去哪一家商场购买花费较少问去哪一家商场购买花费较少? ? 解解: :设该单位需购买影碟机设该单位需购买影碟机n n台台, , 在甲商场购买单价不低于在甲商
18、场购买单价不低于440440元时元时, ,单价依台数成等差数列单价依台数成等差数列aan n, 则则a an n=780+(n=780+(n- -1)(1)(- -20)=80020)=800- -20n,20n,解不等式解不等式a an n440,800440,800- -20n440,20n440,得得n18.n18. 当购买台数小于当购买台数小于1818时时, ,单价为单价为(800(800- -20n)20n)元元, , 当台数大于或等于当台数大于或等于1818时时, ,单价为单价为440440元元. . 到乙商场购买到乙商场购买, ,单价为单价为80080075%=600(75%=6
19、00(元元).). 又又(800(800- -20n)n20n)n- -600n=20n(10600n=20n(10- -n),n),所以所以, ,当当n10n10时时,600n(800,600n(800- -20n)n;20n)n; 当当n=10n=10时时,600n=(800,600n=(800- -20n)n;20n)n;当当10n1810n18时时,(800,(800- -20n)n600n;20n)n600n; 当当n18n18时时,440n600n.,440n600n. 所以当购买台数少于所以当购买台数少于1010台时台时, ,到乙商场购买花费较少到乙商场购买花费较少; ; 当购买
20、当购买1010台时台时, ,到两商场购买花费相同到两商场购买花费相同; ; 当购买多于当购买多于1010台时台时, ,到甲商场购买花费较少到甲商场购买花费较少. . 题后反思题后反思 (1)(1)在实际问题中在实际问题中, ,若涉及一组与顺序有关的数的问题若涉及一组与顺序有关的数的问题, ,可考虑可考虑 利用数列方法解决利用数列方法解决, ,若这组数依次成直线上升或下降若这组数依次成直线上升或下降, ,则可考虑利用等差数列则可考虑利用等差数列 方法解决方法解决. . (2)(2)在利用数列方法解决实际问题时在利用数列方法解决实际问题时, ,一定要分清首项、项数等关键量一定要分清首项、项数等关键
21、量. . 即时训练即时训练3 3- -1:1:某产品按质量分某产品按质量分1010个档次个档次, ,生产最低档次的产品的利润是生产最低档次的产品的利润是8 8元元/ /件件, , 每提高一个档次每提高一个档次, ,利润每件增加利润每件增加2 2元元, ,同时每提高一个档次同时每提高一个档次, ,产量减少产量减少3 3件件, ,在相同在相同 的时间内的时间内, ,最低档次的产品可生产最低档次的产品可生产6060件件. . 试问试问: :在相同的时间内在相同的时间内, ,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(?(设最低档设最低档 次为第一档次次为第一档次)
22、.). 解解: :设在相同的时间内设在相同的时间内, , 从低到高每档产品的产量分别为从低到高每档产品的产量分别为a a1 1,a,a2 2, ,a,a10 10, , 利润分别为利润分别为b b1 1,b,b2 2, ,b,b10 10, , 则则aan n,b,bn n 均为等差数列均为等差数列, ,且且a a1 1=60,d=60,d1 1= =- -3,b3,b1 1=8,d=8,d2 2=2,=2, 所以所以a an n=60=60- -3(n3(n- -1)=1)=- -3n+63,3n+63, b bn n=8+2(n=8+2(n- -1)=2n+6,1)=2n+6, 所以利润所
23、以利润f(n)=af(n)=an nb bn n=(=(- -3n+63)(2n+6)=3n+63)(2n+6)=- -6n6n2 2+108n+378=+108n+378=- -6(n6(n- -9)9)2 2+864.+864. 显然显然, ,当当n=9n=9时时,f(n),f(n)max max=f(9)=864. =f(9)=864. 答答: :在相同的时间内生产第在相同的时间内生产第9 9档次的产品可以获得最大利润档次的产品可以获得最大利润. . 【备用例题备用例题】 甲、乙两人连续甲、乙两人连续6 6年对某县农村养鸡业规模进行调查年对某县农村养鸡业规模进行调查, ,提提 供两个不同
24、的信息图如图所示供两个不同的信息图如图所示. .甲调查表明甲调查表明: :从第从第1 1年每个养鸡场出产年每个养鸡场出产1 1万万 只鸡上升到第只鸡上升到第6 6年平均每个养鸡场出产年平均每个养鸡场出产2 2万只鸡万只鸡. .乙调查表明乙调查表明: :由第由第1 1年养年养 鸡场个数鸡场个数3030个减少到第个减少到第6 6年年1010个个. . 请根据提供的信息说明请根据提供的信息说明, ,求求: : (1)(1)第第2 2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数; ; (2)(2)到第到第6 6年这个县的养鸡业比第年这个县的养鸡业比第1 1年是扩大了还是缩小了年
25、是扩大了还是缩小了? ?请说明理由请说明理由; ; (3)(3)哪一年的规模最大哪一年的规模最大? ?请说明理由请说明理由. . 解解: :由题干图可知由题干图可知, ,从第从第 1 1 年到第年到第 6 6 年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列, ,记记 为为aan n,公差为公差为d d1 1, ,且且a a1 1=1,a=1,a6 6=2;=2;从第从第 1 1年到第年到第 6 6年的养鸡场个数也成等差数列年的养鸡场个数也成等差数列, , 记为记为bbn n,公差为公差为 d d2 2, ,且且 b b1 1=30,b=30,b6 6=10;=10; 从第
26、从第 1 1 年到第年到第 6 6 年全县出产鸡的总只数记为数列年全县出产鸡的总只数记为数列ccn n. 则则 c cn n=a=an nb bn n. . (1)(1)由由 a a1 1=1,a=1,a6 6=2,=2,得得 1 11 1, 52, a ad 所以所以 1 1 1, 0.2 a d a a2 2=1.2;=1.2;由由 b b1 1=30,b=30,b6 6=10,=10,得得 1 12 30, 510, b bd 所以所以 1 2 30, 4 b d b b2 2=26.=26. 即即 c c2 2=a=a2 2b b2 2=1.2=1.226=31.2.26=31.2.
27、(2)c(2)c6 6=a=a6 6b b6 6=2=210=20c10=20c1 1=a=a1 1b b1 1=30,=30, 所以到第所以到第6 6年这个县的养鸡业比第年这个县的养鸡业比第1 1年缩小了年缩小了. . (3)(3)因为因为 a an n=1+(n=1+(n- -1)1)0.2=0.2n+0.8,0.2=0.2n+0.8, b bn n=30+(n=30+(n- -1)1)( (- -4)=4)=- -4n+34(14n+34(1n n6),6), 所以所以 c cn n=a=an nb bn n=(0.2n+0.8)(=(0.2n+0.8)(- -4n+34)4n+34)
28、= =- -0.8n0.8n 2 2+3.6n+27.2(1 +3.6n+27.2(1n n6).6). 因为对称轴为因为对称轴为 n=n= 9 4 , ,所以当所以当 n=2n=2 时时,c,cn n最大最大. . 答答: :(1)(1)第第 2 2 年养鸡场的个数为年养鸡场的个数为 2626 个个, ,全县出产鸡的总数是全县出产鸡的总数是 31.231.2 万只万只;(2);(2)到第到第 6 6 年这个县的养鸡业比第年这个县的养鸡业比第 1 1 年缩小了年缩小了;(3);(3)第第 2 2 年的规模最大年的规模最大. . 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
