1、第二章 统 计 2.3 变量间的相关关系 学习 目标 1.理解两个变量的相关关系的概念. 2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关 关系. 3.会求线性回归方程 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 变量间的相关关系 1.变量之间常见的关系 函数关系 变量之间的关系可以用函数表示 相关关系 变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示 2.相关关系与函数关系的区别与联系 区别：函数关系，函数关系中两个变量间是一种确定性关系；函 数是一种因果关系，有这样的因，必有这样的果.例如，圆的半径由1 增大为2，其面积必然由增大
2、到4. 相关关系，相关关系是一种非确定性关系.例如，吸烟与患肺癌之间 的关系，两者之间虽然没有确定的函数关系，但吸烟多的人患肺癌的 风险会大幅增加，两者之间即是一种非确定性的关系；相关关系不 一定是因果关系，也可能是伴随关系. 联系：在一定的条件下可以相互转化，对于具有线性相关关系的两 个变量来说，当求得其线性回归方程后，可以用一种确定性的关系对 这两个变量间的取值进行评估； 相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一 种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况 1.散点图 将样本中n个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中，以 表示具有相关关系的两个变
3、量的一组数据的图形叫做散点图. 2.正相关与负相关 (1)正相关：散点图中的点散布在从 到 的区域. (2)负相关：散点图中的点散布在从 到 的区域. 知识点二 散点图及正、负相关的概念 左下角 右上角 左上角 右下角 答案 思考 任意两个统计数据是否均可以作出散点图？ 答 可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横 坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图. 答案 知识点三 回归直线 1.回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 附近，就称这两个 变量之间具有 关系，这条直线叫做回归直线. 2.回归方程与最小二乘法 我们用 yiy i 来刻画实际观察值 yi(i1,2，
4、n)与y i 的偏离程度，yi y i越小，偏离越小，直线就越贴近已知点.我们希望 yiy i的 n 个差构 成的总的差量越小越好，这才说明所找的直线是最贴近已知点的.由于 把 yiy i这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消， 因此我们用这些 答案 一条直线 线性相关 差量的平方和即 Q i1 n (yiabxi)2作为总差量， 回归直线就是所有直 线中 Q 取最小值的那一条.因为平方又叫二乘方，所以这种使“差量平 方和最小”的方法叫做最小二乘法. 用最小二乘法求回归方程中的a ，b 有下面的公式： b i1 n xixyi y i1 n xix2 i1 n xiyinx y i1 n x2
5、 inx 2 ， a yb x， 其中x1 n i1 n xi，y1 n i1 n yi. 这样，回归方程的斜率为b ，截距为a ，即回归方程为y b xa . 思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？ 答 用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关 关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归方程是无意义的. 返回 答案 题型探究 重点突破 题型一 变量间相关关系的判断 例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ 正方形边长与面积之间的关系； 作文水平与课外阅读量之间的关系； 人的身高与年龄之间的关系； 降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 解析答案 反思与感悟
6、跟踪训练1 下列两个变量间的关系不是函数关系的是( ) A.正方体的棱长与体积 B.角的度数与它的正弦值 C.单产为常数时，土地面积与粮食总产量 D.日照时间与水稻的单位产量 解析 函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系， 但是这两种 关系是不同的，函数关系是指当自变量一定时，函数值是确定的，是 一种确定性的关系. 因为A项Va3，B项ysin ，C项yax(a0，且a为常数)，所以这三 项均是函数关系.D项是相关关系. D 解析答案 题型二 散点图 例2 5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下： 学生 成绩 A B C D E 数学成绩 80 75 70 65 60 物理成绩 70 6
7、6 68 64 62 判断它们是否具有线性相关关系. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练2 对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i1，2，10)，得散点 图；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i1，2，10)，得散点图. 由这两个散点图可以判断( ) A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关 C 答案 题型三 求回归直线的方程 例3 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元) 之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点
8、图； 解 散点图如图所示. 解析答案 (2)求回归方程. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练3 2014年元旦前夕，某市统计局统计了该市2013年10户家庭 的年收入和年饮食支出的统计资料如下表： 年收入x(万元) 2 4 4 6 6 年饮食支出y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 年收入x(万元) 6 7 7 8 10 年饮食支出y(万元) 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 (1)如果已知y与x是线性相关的，求回归方程； 解 依题意可计算得：x6，y1.83，x 236，x y10.98， 又 i1 10 xiyi117.7， i1 10 x2 i406， b i1 10 x
9、iyi10x y i1 10 x2 i10x 2 0.17，a yb x0.81， y 0.17x0.81. 所求的回归方程为y 0.17x0.81. 解析答案 (2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出. (参考数据： i1 10 xiyi117.7， i1 10 x2 i406) 解 当 x9 时，y 0.1790.812.34(万元) 可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元. 解析答案 数形结合思想 思想方法 例4 以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y(单位：万元)和 房屋面积x(单位：m2)的数据： 房屋面积x 115 110 80 135 105 销
10、售价格y 49.6 43.2 38.8 58.4 44 判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有线性相关关系.如果有线 性相关关系，是正相关还是负相关？ 分析 作出散点图，利用散点图进行判断. 解析答案与解后反思 分析 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有( ) A.确定性关系 B.相关关系 C.函数关系 D.无任何关系 解析 炼钢时钢水的含碳量除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等 的影响，故为相关关系. B 解析答案 1 2 3 4 5 2.设有一个回归方程为 1.5x2，则变量x增加一个单位时( ) A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.
11、y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位 y 解析 两个变量线性负相关， 变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位. C 解析答案 1 2 3 4 5 3.某商品的销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其 回归方程可能是( ) A.y 10x200 B.y 10x200 C.y 10x200 D.y 10x200 解析 结合图象(图略)，知选项B，D为正相关，选项C不符合实际意 义，只有选项A正确. A 解析答案 1 2 3 4 5 4.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关 系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小
12、二乘法建立的回 归方程为 0.85x85.71，则下列结论中不正确的是( ) A.y与x具有正的线性相关关系 y B.回归直线过样本点的中心(x，y) C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 解析 当x170时， 0.8517085.7158.79，体重的估计值为 58.79 kg. y D 解析答案 1 2 3 4 5 5.正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归 方程为 0.72x58.2，张明同学(20岁)身高178 cm，他的体重应该在 _kg左右. y
13、 解析 用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测， 当x178时， 0.7217858.269.96(kg). y 69.96 解析答案 课堂小结 1.判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图.根据 散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相 关还是负相关. 2.求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行 相关性检验.如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之 间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其 估计和预测的量也是不可信的. 返回 (2)用公式计算a 、b 的值时，要先算出b ，然后才能算出a . 3.利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归方程为y b xa ， 则 xx0处的估计值为y 0b x0a .
