1、第三章 3.1 随机事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 学习 目标 1.了解事件间的相互关系. 2.理解互斥事件、对立事件的概念. 3.会用概率的加法公式求某些事件的概率 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 事件的关系与运算 1.事件的包含关系 定义 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件 B ，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于 事件B) 符号 BA(或AB) 图示 注意 不可能事件记作，显然C(C为任一事件)； 事件A也包含于事件A，即AA； 一定发生 答案 2.事件的相等关系 定义 一般地，若BA，且
2、AB，那么称事件A与事件B相等 符号 AB 图示 注意 事项 两个相等事件总是同时发生或同时不发生； 所谓AB，就是A，B是同一事件； 在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义 3.事件的并(或和) 定义 若某事件发生当且仅当事件A发生 事件B发生，则称此事 件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 符号 AB(或AB) 图示 注意 事项 ABBA； 例如，在掷骰子试验中，事件C2，C4分别表示出现2点，4 点这两个事件，则C2C4出现2点或4点 或 答案 4.事件的交(或积) 定义 若某事件发生当且仅当事件A发生 事件B发生，则称此事 件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 符号 AB(
3、或AB) 图示 注意 事项 ABBA； 例如，掷一枚骰子，事件出现的点数为奇数事件出 现的点数为偶数 且 答案 互斥 事件 定义 若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 符号 AB 图示 注意事项 例如，在掷骰子试验中，记C1出现1点，C2 出现2点，则C1与C2互斥 5.互斥事件和对立事件 对 立 事 件 定义 若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事 件A与事件B互为对立事件 符号 AB，AB 图示 注意事项 A的对立事件一般记作 思考 (1)在掷骰子的试验中，事件A出现的点数为1，事件B出 现的点数为奇数，事件A与事件B应有怎样的关系？ 答 因为1为奇数，所以AB. (2)判断两
4、个事件是对立事件的条件是什么？ 答 看是不是互斥事件； 看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件，则是对立事件； 否则不是. 答案 知识点二 概率的几个基本性质 1.概率的取值范围 (1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在01之间， 从而任何事件的概率在01之间，即 . (2) 的概率为1. (3) 的概率为0. 2.互斥事件的概率加法公式 当事件A与事件B互斥时，AB发生的频数等于A发生的频数与B发生的 频数之和，从而AB的频率fn(AB)fn(A)fn(B)，则概率的加法公式 为P(AB) . 0P(A)1 必然事件 不可能事件 P(A)P(B) 答案 3.对立事件的概
5、率公式 若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件，P(AB)1.再由 互斥事件的概率加法公式P(AB)P(A)P(B)，得P(A) . 1P(B) 返回 答案 题型探究 重点突破 题型一 事件关系的判断 例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各10张)中， 任取一张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明 理由. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列 各对事件中
6、，互斥而不对立的是( ) A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球 解析答案 题型二 事件的运算 例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1出现1 点，事件C2出现2点，事件C3出现3点，事件C4出现4点， 事件C5出现5点，事件C6出现6点，事件D1出现的点数不 大于1，事件D2出现的点数大于3，事件D3出现的点数小于5， 事件E出现的点数小于7，事件F出现的点数为偶数，事件G 出现的点数为奇数，请根据上述定义的事件，回答下列问题： (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； 解 因为事件C1
7、，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生， 所以C1D3，C2D3，C3D3，C4D3. 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6； 事件D2包含事件C4，C5，C6； 事件F包含事件C2，C4，C6； 事件G包含事件C1，C3，C5. 且易知事件C1与事件D1相等，即C1D1. 解析答案 (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件. 解 因为事件D2出现的点数大于3 出现4点或出现5点或出现6点， 所以D2C4C5C6(或D2C4C5C6). 同理可得，D3C1C2C3C4，EC1C2C3C4C5C6， FC2C4C6，GC1C3C5. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练
8、2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A 3个球中有一个红球，两个白球，事件B3个球中有两个红球， 一个白球，事件C3个球中至少有一个红球，事件D3个球中既 有红球又有白球.则： (1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？ 解 对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球， 故DAB. (2)事件C与事件A的交事件是什么事件？ 解 对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3 个红球，故CAA. 解析答案 题型三 对立事件、互斥事件的概率 例3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练3 某射手在一次射
9、击中，射中10环、9环、8环、7环的概率 分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7 环的概率. 解 设“低于7环”为事件E，则事件 为“射中7环或8环或9环或10环”， E 而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥， 故P( )0.210.230.250.280.97， E 从而P(E)1P( )10.970.03. E 所以射中的环数低于7环的概率为0.03. 解析答案 求复杂事件的概率 一题多解 例 4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共 12 个，从中任取 1 球， 设事件 A 为“取出 1 个红球”，事件 B 为“取
10、出 1 个黑球”，事件 C 为 “取出 1 个白球”，事件 D 为“取出 1 个绿球”.已知 P(A) 5 12，P(B) 1 3，P(C) 1 6，P(D) 1 12. (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率； (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率. 分析 事件A，B，C，D为互斥事件，AB与CD为对立事件， ABC与D为对立事件，因此可用两种方法求解. 解析答案与解后反思 分析 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.给出以下结论：互斥事件一定对立；对立事件一定互斥；互斥 事件不一定对立；事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率； 事件A与B互斥，则有P(A)1P(B).其
11、中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 对立必互斥，互斥不一定对立，正确，错； 又当ABA时，P(AB)P(A)，错； 只有事件A与B为对立事件时，才有P(A)1P(B)，错. C 解析答案 1 2 3 4 5 2.对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事 件A与事件B的关系是( ) A.互斥不对立 B.对立不互斥 C.互斥且对立 D.不互斥、不对立 解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故 事件A与事件B的关系是互斥且对立. C 解析答案 1 2 3 4 5 3.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A两 弹都击
12、中飞机，事件B两弹都没击中飞机，事件C恰有一弹击 中飞机，事件D至少有一弹击中飞机，下列关系不正确的是( ) A.AD B.BD C.ACD D.ABBD 解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第 二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中， 一种是两弹都击中， ABBD. D 解析答案 1 2 3 4 5 4.从集合a，b，c，d，e的所有子集中任取一个，若这个子集不是集 合a，b，c的子集的概率是 ，则该子集恰是集合a，b，c的子集的 概率是( ) 3 4 A.3 5 B.2 5 C. 1 4 D. 1 8 解析 该子集恰是a，b，c的子集的概率为
13、P13 4 1 4. C 解析答案 1 2 3 4 5 5.从几个数中任取实数x，若x(，1的概率是0.3，x是负数的概 率是0.5，则x(1,0)的概率是_. 解析 设“x(，1”为事件A，“x是负数”为事件B， “x(1,0)”为事件C， 由题意知，A，C为互斥事件，BAC， P(B)P(A)P(C)，P(C)P(B)P(A)0.50.30.2. 0.2 解析答案 课堂小结 返回 1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系.互斥，未必对立；对立，一 定互斥. 2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具 体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公 式P(AB)P(A)P(B). 3.求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.
