1、第三章 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 学习 目标 1.了解几何概型与古典概型的区别. 2.理解几何概型的定义及其特点. 3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 几何概型的含义 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与 成比 例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 . (2)每个基本事件出现的可能性 . 无限多个 相等 答案 构成该事件区域的长度(面积或体积) 思考 几何概型与古典概型有何区别
2、？ 答 几何概型与古典概型的异同点 类型 异同 古典概型 几何概型 不同点(基本事件 的个数) 一次试验的所有可能出 现的结果(基本事件)有 有限个 一次试验的所有可能出 现的结果(基本事件)有 无限多个 相同点(基本事件 发生的等可能性) 每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小 相等 答案 知识点二 几何概型的概率公式 P(A) . 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量. 返回 答案 题型探究 重点突破 题型一 与长度有关的几何概型 例1 取一根长为
3、3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段 的长都不小于1 m的概率有多大？ 解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A. 把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生， 因为中间一段的长度为1 m， 所以事件 A 发生的概率为 P(A)1 3. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a的平行线.把一枚半径r a的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率. 解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A. 如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r的两条平行虚线， 则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰. 故 P(A) 虚
4、线间距离 平行线间距离 2a2r 2a ar a . 解析答案 题型二 与面积有关的几何概型 例2 射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为 白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会 的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在一定距离外 射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么 射中黄心的概率为多少？ 解析答案 反思与感悟 跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长 方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. 解 如图所示，区域是长30 m、宽20 m的长方形. 图中阴影部分表示事件
5、A：“海豚嘴尖离岸边不超 过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴 影部分的概率. 由于区域的面积为3020600(m2)， 阴影部分的面积为30202616184(m2). 所以 P(A)184 600 23 750.31. 即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31. 解析答案 题型三 与体积有关的几何概型 例3 已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取 点M，试求点M到底面的距离小于 的概率. h 2 解析答案 反思与感悟 跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂 在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全 飞行”，
6、求蜜蜂“安全飞行”的概率. 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离 均大于1. 则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体. 由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为 P1 3 33 1 27. 解析答案 题型四 与角度有关的几何概型 例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60角的终 边上，任作一条射线OA，求射线OA落在xOT内的概率. 解 以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何 位置都是等可能的，落在xOT内的概率只与xOT的大小有关，符合 几何概型的条件. 于是，记事件B射线OA落在xOT内. 因为xOT60 ，所以 P(B
7、) 60 360 1 6. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角 顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点 M.求AMAC的概率. 解 因为CM是ACB内部的任意一条射线， 而总的基本事件是ACB的大小，即为90， 所以作 ACAC，且ACC180 45 2 67.5 . 如图，当CM在ACC内部的任意一个位置时，皆有 AMACAC， 即 P(AMAC)67.5 90 3 4. 解析答案 转化与化归思想 思想方法 例5 把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的 概率. 分析 将长度为a的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足 “
8、两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可. 分析 解后反思 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.在区间0,3上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.1 3 B.1 2 C. 2 3 D. 7 9 解析 此数不大于 2 的概率 P区间0，2的长度 区间0，3的长度 2 3. C 解析答案 1 2 3 4 5 2.在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|1的概率为( ) A.7 8 B.5 6 C. 3 4 D. 1 2 解析 问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2 为半径的球内任取一点， 所以 P 4 32 34 31 3 4 32 3 7 8. A
9、解析答案 1 2 3 4 5 3.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域. 在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是 ，则阴影区域的面积是( ) 1 3 A.1 3 B.2 3 C. 4 3 D.无法计算 解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型. 设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分. 设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积， 则有 P(A) S 22 S 4 1 3，解得 S 4 3. C 解析答案 1 2 3 4 5 4.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒， 绿灯的时间为45秒，
10、那么你看到黄灯的概率是( ) A. 1 12 B.3 8 C. 1 16 D. 5 6 解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的， 可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件. 事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒， 据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为 P 5 80 1 16. C 解析答案 1 2 3 4 5 5.在1 000 mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微 镜下观察，则发现草履虫的概率是_. 解析 由几何概型知，P 3 1 000. 3 1 000 解析答案 课堂小结 返回 1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型. 2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目. 3.注意理解几何概型与古典概型的区别. 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求 解，概率公式为 P(A) 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.
