1、 回顾复习回顾复习 问题引入问题引入 探究新知探究新知 例练结合例练结合 课堂小结课堂小结 三角形法则：三角形法则： 平行四边形法则平行四边形法则： 1 1、向量的加法：、向量的加法： 首尾相连首尾相连 共同起点共同起点 a b b ab a A B C a A B C ab b D 2 2、共线向量定理、共线向量定理: : 回顾复习回顾复习 问题引入问题引入 探究新知探究新知 例练结合例练结合 课堂小结课堂小结 回顾复习回顾复习 问题引入问题引入 探究新知探究新知 例练结合例练结合 课堂小结课堂小结 1 e 2 e 12 23ABee A B 1 2e 2 3e 1AB， 问问题题 ：已已知
2、知非非零零向向量量那那么么对对于于同同一一平平面面内内的的任任意意向向量量 是是否否能能用用 线线性性表表示示？ a a 2， 问问题题 ：如如果果平平面面内内的的向向量量不不能能由由单单个个向向量量线线性性表表示示 又又该该如如何何具具体体表表示示呢呢？ 1212 33 、 ，问问题题 ：已已知知向向量量求求作作向向量量2 2eeee 12 2， - 2.5- 2.5ee a 2 2e 1 2.5e A B 12 2.52A Bee 两个向量？两个向量？ 1 e 2 e C D E F 12 23CDee 1 e 2 e 1 2e 2 3e 12 34EFee 12 3GHee G H 12
3、 4， ，问问题题 ：平平面面上上任任意意一一个个向向量量是是不不是是都都可可以以用用来来表表示示呢呢？对对ee 回顾复习回顾复习 问题引入问题引入 探究新知探究新知 例练结合例练结合 课堂小结课堂小结 MN 1 3MNe 回顾复习回顾复习 问题引入问题引入 探究新知探究新知1 1 例练结合例练结合 课堂小结课堂小结 平面向量基本定理：平面向量基本定理： 1 12 2 aee 1 e 2 e A B 12 23ABee 2 j 1 j 12 3jj 基底基底 C D E F G H 1 e 2 e 11221122 aeeee 111222 =0（）（）ee 1122 = = 12 、不共线e
4、e 1122 =0=0 1 122 ABee 12 ee 12 ee 122 ()e 2 AB e与 共线 回顾复习回顾复习 问题引入问题引入 探究新知探究新知2 2 例练结合例练结合 课堂小结课堂小结 OAOB AOB 、 ， ， abab ab. 已已知知两两个个非非零零向向量量作作 则则做做向向量量 与与 的的夹夹角角叫叫 a b 两向量的夹角：两向量的夹角： A B O ABAC与与的的夹夹角角是是： ABBC与与的的夹夹角角是是： 60 120 a A b B O a A a A =0当时注：，同与向ab =90当时， 与，记垂直作baab =180当时，反与向ab 与 的夹角范围是
5、：ab 0180， 起点重合起点重合 C B A 回顾复习回顾复习 问题引入问题引入 探究新知探究新知 例练结合例练结合 课堂小结课堂小结 1 ,. ABCDMABAD AM MB MC MD ：例，= ， = ， ， ， ， ab a b 已已知知的的两两条条对对角角线线相相交交于于设设 试试用用表表示示 M AB CD a b ABCD ACABADab 解：在中， 1 222 ab MDDBMB E F ,. ABCDCDEBCBF ABADAE FA EF ， = ，= ， ， aba b 变变式式练练习习：已已知知的的边边中中点点为为边边上上靠靠近近 的的三三等等分分点点为为 设设试
6、试用用表表示示 1 222 ab MCACAM 1 2222 abab MBDB 1 2222 abab AMAC DBABADab 方法方法：运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止. 回顾复习回顾复习 问题引入问题引入 探究新知探究新知 例练结合例练结合 课堂小结课堂小结 121212 12 12 = = = = ：例2，2，+3. ： ，； ，3； 43，. 、设设是是不不共共线线的的非非零零向向量量且且 (1)(1)证证明明可可以以作作为为一一组组基基底底 (2)(2)以以为为基基底底求求向向量量的
7、的分分解解式式 (3)(3)若若求求的的值值 ab ab abcee eeab eeeeee 12 1212 ()2(3) , abReeee e e (1)证明：假设 =，则 不共线 1 32 1 2 3 121212 () 3(2)(3) c manb mnR cmneeeeee (2)设 =、，得 2cab= 3 231 mn mn 12 ()( 23 )mn emn e 2 1 m n 3 1 4 233 12 ()( 23 )ee = 12 121212 43 43(2)(3) abee eeeeee (3)由=，得 = 基底不共线基底不共线 线性表示唯一线性表示唯一 ab 不存在，
8、故 与 不共线，可以作为一组基底 方法方法：利用基底表示向量的利用基底表示向量的唯一性唯一性，列方程组求解，列方程组求解. 回顾复习回顾复习 问题引入问题引入 探究新知探究新知 例练结合例练结合 课堂小结课堂小结 3 ：例. 用用向向量量法法证证明明三三角角形形的的三三条条中中线线交交于于同同一一点点 ABCCFBEG证明：如图的两条中线与交于 点 D CB A F E G 1 ()G 重合重合 2 3 AC a BC bAGAD设= ，= ，其中= 1 2 AB ab AD ab=，= 1 ADBEG再设与交于点 11 1 2 BEab AGAD BGBE则=，=，= b a 11 22 A
9、Gab BGab =，= 11 (1) 2 AGABBGab 又=(1) 1 2 1 2 2 3 = = 1 2 3 AGAD= 1 GG与 点重合，得证. 线性表示唯一线性表示唯一 回顾复习回顾复习 问题引入问题引入 探究新知探究新知 例练结合例练结合 课堂小结课堂小结 1. .平面向量基本定理：平面向量基本定理： 1 12 2 aee OAOBAOB 、 ， 已已知知两两个个非非零零向向量量作作则则叫叫做做 向向量量 与与 的的夹夹角角 abab ab. 2. .两向量的夹角：两向量的夹角： 3. .用基底表示任意向量的方法：用基底表示任意向量的方法： 法一：法一：运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止. 法二：法二：利用基底表示向量的利用基底表示向量的唯一性唯一性，列方程组求解，列方程组求解. 起点重合起点重合
