1、第三章第三章 不等式不等式 3.13.1 不等关系与不等式不等关系与不等式 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.通过具体情境通过具体情境, ,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关 系系, ,会用不等式及不等式组表示不等关系会用不等式及不等式组表示不等关系. . 2.2.会用作差法会用作差法( (或作商法或作商法) )比较两个实数或代数式值的大小比较两个实数或代数式值的大小. . 3.3.掌握不等式的性质掌握不等式的性质, ,能运用不等式的性质解决问题能运用不等式的性质解决问题. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理
2、 1.1.比较实数比较实数a a、b b的大小的大小 (1)(1)文字叙述文字叙述 如果如果a a- -b b是是 , ,那么那么ab;ab; 如果如果a a- -b b , ,那么那么a=b;a=b; 如果如果a a- -b b是是 , ,那么那么a0a a b;b; a a- -b=0b=0a a b;b; a a- -b = = b . . (2)(2)传递性传递性: : ab bc . . (3)(3)可加性可加性: : R ab c a+cb+c.a+cb+c. (4)(4)可乘性可乘性: : 0 ab c acbc,acbc, 0 ab c acc (5)(5)同向可加性同向可加性
3、: : ab cd a+cb+d.a+cb+d. (6)(6)同向同正可乘性同向同正可乘性: : 0 0 ab cd . . (7)(7)可乘方性可乘方性: : 0 N,1 ab nn a a n nb b n n. . (8)(8)可开方性可开方性: : 0 N,2 ab nn nn ab. . acbdacbd 自我检测自我检测 1.(1.(用不等式表示不等关系用不等式表示不等关系) )某隧道入口竖立着“限高某隧道入口竖立着“限高4.54.5米”的警示牌米”的警示牌, , 是指示司机要安全通过隧道是指示司机要安全通过隧道, ,应使车载货物高度应使车载货物高度h h满足关系为满足关系为( (
4、 ) ) (A)h4.5 (C)h4.5(C)h4.5 (D)h4.5(D)h4.5 C C 解析解析: :限高指不超过限高指不超过, ,所以限高所以限高4.54.5米指米指h4.5.h4.5. 2.(2.(不等式的性质不等式的性质) )若若 ab,cd,ab,cd,则下列不等式关系中不一定成立的是则下列不等式关系中不一定成立的是( ( ) ) (A)a(A)a- -bdbd- -c c (B)a+db+c(B)a+db+c (C)a(C)a- -cbcb- -c c (D)a(D)a- -c0, 所以所以( (3+ +5) )- -( (2+ +6)0,)0,即即 ab;ab; 同理同理 b
5、c.bc.所以所以 abc.abc. 答案答案:abc:abc 3.(3.(作差法作差法) )设设 a=a=3- -2,b=,b=6- -5,c=,c=7- -6, ,则则 a a、b b、c c 的的 大小顺序是大小顺序是 . . 4.(4.(用不等式表示不等关系用不等式表示不等关系) )实数实数x x不大于不大于3,3,用不等式表示为用不等式表示为 . . 解析解析: :实数实数 x x 不大于不大于 3,3,即为即为 x x 小于等于小于等于 3,3,即即 x x3.3. 答案答案: : x x3 3 5.(5.(不等式的性质不等式的性质) )已知已知a+b0,b0,b0,b0,b1.5
6、 票价票价 免票免票 半价票半价票 全价票全价票 题后反思题后反思 (1)(1)利用不等式表示不等关系时利用不等式表示不等关系时, ,应注意必须是具有相同性质应注意必须是具有相同性质, ,可可 以比较大小的两个量才可用以比较大小的两个量才可用, ,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. . (2)(2)在用不等式表示实际问题时在用不等式表示实际问题时, ,一定要注意单位统一一定要注意单位统一. . 解解: :根据题意可得根据题意可得 3520, 5425, 1,N, 1,N. xy xy xx yy 即时训练即时训练1 1- -1 1: :配制配制A
7、 A、B B两种药剂两种药剂, ,需要甲、乙两种原料需要甲、乙两种原料. .已知配一剂已知配一剂A A种药需种药需 甲料甲料3 3克克, ,乙料乙料5 5克克; ;配一剂配一剂B B种药需甲料种药需甲料5 5克克, ,乙料乙料4 4克克. .今有甲料今有甲料2020克克, ,乙料乙料2525 克克, ,若若A A、B B两种药至少各配一剂两种药至少各配一剂, ,设设A A、B B两种药分别配两种药分别配x x、y y剂剂(x(x、yN),yN),请请 写出写出x x、y y应满足的不等关系式应满足的不等关系式. . 解解: :由于矩形菜园靠墙的一边长为由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m,x m
8、,而墙长为而墙长为 18 m,18 m,所以所以 0f(x2 2);); (2)(2)作差比较法作差比较法: :即即 a a- -b0b0ab;aab;a- -b=0b=0a=b;aa=b;a- -b0 时时, , a b 11ab;ab; a b 0. 所以所以(3x(3x 2 2+1)(x +1)(x- -1)1)0,0,所以所以 3x3x 3 3 3x3x 2 2- -x+1. x+1. 【例【例 2 2】 (1) (1)已知已知 x x1,1,比较比较 3x3x 3 3 与与 3x3x 2 2- -x+1 x+1 的大小的大小. . (2)(2)已知已知 a0,b0,a0,b0,比较比
9、较 a a a ab bb b 与与 a a b bb ba a 的大小的大小. . (2)(2)因为因为 a0,b0,a0,b0,所以所以 a a a ab bb b0,a 0,a b bb ba a0. 0.所以所以 ab ba a b a b = = a b a b a b = =（ a b ） a a- -b b. . 讨论讨论: :当当 abab 时时, , a b 1,a1,a- -b0,b0,所以所以（ a b ） a a- -b b1. 1.所以所以 a a a ab bb ba a b bb ba a. . 当当 a=ba=b 时时, , a b =1,a=1,a- -b=0
10、,b=0,所以所以（ a b ） a a- -b b=1. =1.所以所以 a a a ab bb b=a =a b bb ba a. . 当当 a1.所以所以 a a a ab bb b a ab bb ba a. . 综上可知综上可知, ,当当 a0,b0a0,b0 时时,a,a a ab bb b a a b bb ba a. . 题后反思题后反思 (1)(1)利用作差法比较大小的一般步骤为利用作差法比较大小的一般步骤为: :作差作差变形变形定定 号号结论结论. .变形的目的是能判断符号变形的目的是能判断符号, ,变形越彻底就越易判断符号变形越彻底就越易判断符号. .常用方法常用方法 为
11、配方、平方差公式、立方差、立方和公式、通分、因式分解、分子为配方、平方差公式、立方差、立方和公式、通分、因式分解、分子( (或分母或分母) ) 有理化等有理化等. . (2)(2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的 大小的比较大小的比较, ,作商后可变形为能与作商后可变形为能与1 1比较大小的式子比较大小的式子. . 解析解析: :法一法一 作差法作差法. . 因为因为 00, )0,所以所以|log|loga a(1(1- -x)|logx)|loga a(1+x)|.(1+x)|.故选故选 A.A.
12、即时训练即时训练 2 2 1:(1)1:(1)若若 0|logx)|loga a(1+x)| (B)|log(1+x)| (B)|loga a(1(1- -x)|1,1+x1, 所以所以 loglog(1+x) (1+x)(1(1- -x)log(1+x) (1+x)(1+x)=1,(1+x)=1, 所以所以|log|loga a(1(1- -x)|logx)|loga a(1+x)|.(1+x)|.故选故选 A.A. 解解: :(3x(3x 2 2- -2x+1) 2x+1)- -(2x(2x 2 2- -x x- -1)=x 1)=x 2 2- -x+2= x+2=（x x- - 1 2
13、） 2 2+ +7 4 , , 因为因为 x xR R, , 所以所以（x x- - 1 2 ） 2 2 0,0,（x x- - 1 2 ） 2 2+ +7 4 7 4 0.0. 即即(3x(3x 2 2- -2x+1) 2x+1)- -(2x(2x 2 2- -x x- -1)0, 1)0, 故故 3x3x 2 2- -2x+12x 2x+12x 2 2- -x x- -1. 1. 【备用例【备用例 2 2】 已知已知 x xR R, ,试比较试比较 3x3x 2 2- -2x+1 2x+1 与与 2x2x 2 2- -x x- -1 1 的大小 的大小. . 利用不等式性质证明不等式利用不
14、等式性质证明不等式 题型三题型三 提示提示: :在使用不等式的性质时在使用不等式的性质时, ,一定要搞清它们成立的前提条件一定要搞清它们成立的前提条件. .例如例如: : (1)(1)在应用传递性时在应用传递性时, ,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号, ,那么等那么等 号是传递不过去的号是传递不过去的. .如如 a ab,bbacac 2 2bc bc 2 2; ; 若无若无 c c0 0 这个条件这个条件, ,则则 ababacac 2 2bc bc 2 2 就是错误结论就是错误结论( (因为当因为当 c=0c=0 时时, ,取“取“=
15、 =”).). (3)(3)“ab0ab0a a n nb b n n0(n 0(nN N,n,n1)1)”, ,假如去掉“假如去掉“n n 为大于为大于 0 0 的自然数”这个条件的自然数”这个条件, , 取取 n=n=- -1,a=3,b=2,1,a=3,b=2,那么就会出现那么就会出现 3 3 - -1 12 2 - -1 1, ,即 即 1 3 1 2 的错误结论的错误结论; ;假如去掉“假如去掉“b0b0” 这” 这 个条件个条件, ,取取 a=3,b=a=3,b=- -4,n=2,4,n=2,那么就会出现那么就会出现 3 3 2 2( (- -4)4) 2 2 的错误结论的错误结论
16、. . 证明证明: :因为因为 c- -d0.d0. 又因为又因为 ab0,ab0,所以所以 a a- -cbcb- -d0.d0. 所以所以(a(a- -c)c) 2 2(b (b- -d)d) 2 20. 0.两边同乘以两边同乘以 22 1 acbd , , 得得 2 1 ac 2 e bd . . 【例【例 3 3】 若若 ab0,c0,c 2 e bd . . 题后反思题后反思(1)(1)本题在由本题在由(a(a- -c)c) 2 2(b (b- -d)d) 2 20 0 得到得到 2 1 ac b,且且 ab0ab0 1 a - -d0.d0.因为因为 ab0,ab0,所以所以 a
17、a- -cbcb- -d0,d0, 所以所以 0 e bd . . 即时训练即时训练 3 3 1:1:若若 ab0,c0,c e bd . . 解析解析: :因为因为 c- - 1 c 0,0,而而 ab0,ab0, 所以所以- - a d - - b c 0,0,所以所以 a d 0,c0,c b c (B)(B) a d b d (D)(D) a c 0,a0,ab0, 所以所以 ()()ba ba ab b, 1 a 0. . (2)(2)因为因为 1 a b,所以所以 b b- -a0. . 利用不等式的性质求取值范围利用不等式的性质求取值范围 题型四题型四 解解: :因为因为 150
18、,x0,y0,设设 3 4 x y =(xy=(xy 2 2) )m m （ 2 x y ） n n, ,则 则 x x 3 3y y- -4 4=x =x m+2nm+2ny y2m2m- -n n, , 所以所以 23, 24, mn mn 所以所以 1, 2, m n 因为因为 3 3xyxy 2 2 8,8, 所以所以 1 8 2 1 xy 1 3 . .因为因为 4 4 2 x y 9,9,所以所以 1616 4 2 x y 81.81. 所以所以 2 2 2 1 xy 4 2 x y 27,27,即即 2 2 3 4 x y 27,27,所以所以 3 4 x y 的最大值为的最大值
19、为 27.27. 即时训练即时训练 4 4 1:1:设设 x,yx,y 为实数为实数, ,满足满足 3 3xyxy 2 2 8,48,4 2 x y 9,9,则则 3 4 x y 的最大值的最大值 是是 . . 答案答案:27:27 解解: :法一法一 设设 f(f(- -2)=mf(2)=mf(- -1)+nf(1)(m,n1)+nf(1)(m,n 为待定系数为待定系数),), 则则 4a4a- -2b=m(a2b=m(a- -b)+n(a+b),b)+n(a+b),即即 4a4a- -2b=(m+n)a+(n2b=(m+n)a+(n- -m)b,m)b, 于是得于是得 4, 2, mn n
20、m 解得解得 3, 1, m n 所以所以 f(f(- -2)=3f(2)=3f(- -1)+f(1),1)+f(1), 又因为又因为 1 1f(f(- -1)1)2,22,2f(1)f(1)4,4, 所以所以 5 53f(3f(- -1)+f(1)1)+f(1)10,10,即即 5 5f(f(- -2)2)10.10. 即即 f(f(- -2)2)的取值范围为的取值范围为5,105,10 【备用例【备用例 4 4】 设设 f(x)=axf(x)=ax 2 2+bx,1 +bx,1f(f(- -1)1)2,22,2f(1)f(1)4,4,求求 f(f(- -2)2)的取值的取值 范围范围. . 法二法二 由由 ( 1), (1), fab fab 得得 1 ( 1)(1) , 2 1 (1)( 1) , 2 aff bff 所以所以 f(f(- -2)=4a2)=4a- -2b=3f(2b=3f(- -1)+f(1),1)+f(1),又因为又因为 1 1f(f(- -1)1)2,22,2f(1)f(1)4,4, 所以所以 5 53f(3f(- -1)+f(1)1)+f(1)10,10,即即 f(f(- -2)2)的取值范围为的取值范围为5,10.5,10. 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
