1、1.3.2 奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念 1.1.理解函数的奇偶性的含义理解函数的奇偶性的含义. .( (难点）难点） 2.2.掌握判断函数的奇偶性的方法掌握判断函数的奇偶性的方法（重点、难点）（重点、难点） 3.3.了解奇函数、偶函数的图象的对称性了解奇函数、偶函数的图象的对称性. . 已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2, ,求求f(f(- -1),f(1), f(1),f(1), f(- -2), f(2),2), f(2), 及及f(f(- -x) ,x) ,并画出它的图象并画出它的图象. . 解解: : f(f(- -2)=(2)=(- -2)2) =4,f(2)=4
2、=4,f(2)=4 f(f(- -1)=(1)=(- -1)1) =1,f(1)=1=1,f(1)=1， f(f(- -x)=(x)=(- -x)x) =x=x f(f(- -1)=f(1)1)=f(1)，f(f(- -2)=f(2)2)=f(2) (-x,y) -x x f(-x) f(x) x y o ( x,y) f(f(- -x)=f(x)x)=f(x) 探究探究1:1:偶函数的定义偶函数的定义 思考思考: :函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标 有什么关系？有什么关系？ 函数图象关函数图象关 于于y y轴对称；对定轴对称；对定 义域内义域内 任
3、意的自变任意的自变 量量x x都有都有 f(f(- -x)=f(x)x)=f(x) 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)f(x)的定义域内任的定义域内任 意一个意一个x x，都有，都有_，那么函数，那么函数f(x)f(x)就就 叫做偶函数叫做偶函数. . 例如，下图：例如，下图： f(f(- -x)=f(x)x)=f(x) 对定义域内对定义域内 任意的自变任意的自变 量量x x都有都有 ()( )fxf x 已知已知f(x)=x, f(x)=x, 求求f(0),f(f(0),f(- -1),f(1), 1),f(1), f(f(- -2),f(2)2),f(2)及及f(f(- -x
4、),x),并画出它的图象并画出它的图象. . 解解: f(f(- -2)=(2)=(- -2)2) = =- -8 8，f(2)=8.f(2)=8. f(0)=0,f(f(0)=0,f(- -1)=(1)=(- -1)1) = =- -1 1，f(1)=1f(1)=1， f(f(- -x)=(x)=(- -x)x) = =- -x x f(f(- -1)= 1)= - - f(1),f(f(1),f(- -2)= 2)= - - f(2)f(2) x x y o f(f(- -x)= x)= - - f(x)f(x) -x f(-x) f(x) 探究点探究点2 2 奇函数的定义奇函数的定义 思
5、考思考: :奇函数中，奇函数中，函数图象上横坐标互函数图象上横坐标互 为相反数的点的纵坐标有什么关系？为相反数的点的纵坐标有什么关系？ 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一 个个x x，都有，都有_，那么函数，那么函数f(x)f(x)就叫做就叫做奇奇 函数函数. . f(f(- -x)=x)=- -f(x)f(x) 根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？ 偶函数偶函数 偶函数偶函数 奇奇函数函数 奇函数奇函数 【提升总结提升总结】奇函数与偶函数定义中的三性奇函数与偶函数定义中的三性 (
6、1)(1)对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称；对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称； (2)(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域 内的每一个内的每一个x x都成立的；都成立的； (3)(3)可逆性：可逆性：f(f(- -x)=x)=- -f(x)f(x)f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(f(- -x)= x)= f(x)f(x)f(x)f(x)是偶函数是偶函数. . 例例. .判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： （1 1） ； （2 2） ； （3 3） ； （4 4） 4 ( ) f xx 5 ( ) f xx 1
7、( ) f xx x 分析：分析：只要按照函数奇偶性的定义，检验各个只要按照函数奇偶性的定义，检验各个 函数是否符合即可函数是否符合即可. . f(x)x 3x2 x1 . （1 1）判断函数）判断函数 的奇偶性的奇偶性. . （2 2）如图是函数）如图是函数 图象的一部分，如何图象的一部分，如何 画出函数在整个定义域上的图象？画出函数在整个定义域上的图象？ 3 1 ( )5 3 f xxx 3 1 ( )5 3 f xxx 【变式练习变式练习】 解：解：(1)(1)此函数的定义域为此函数的定义域为 关于原点对称。关于原点对称。 因为因为 所以，此函数所以，此函数为为奇函数奇函数. . 33
8、11 ()()5()5( ) 33 fxxxxxf x (,) (2)(2)由于奇函数的图象关于原点对称，由于奇函数的图象关于原点对称， 只要在函数图象上找点作出这些点只要在函数图象上找点作出这些点 关于坐标原点的对称点，描点即可关于坐标原点的对称点，描点即可 作出函数在整个定义域上的图象作出函数在整个定义域上的图象. .如如 图图 用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是： （1 1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是 x x和和- -x x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一
9、定关对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关 于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原 点对称的，则这个函数不具备奇偶性点对称的，则这个函数不具备奇偶性. . （2 2）验证）验证f(f(- -x)=f(x) x)=f(x) ，或者，或者f(f(- -x)=x)=- -f(x).f(x). （3 3）根据函数奇偶性的定义得出结论）根据函数奇偶性的定义得出结论. . 【提升总结提升总结】 1.1.函数不是奇函数就是偶函数吗？函数不是奇函数就是偶函数吗？ 答：答：函数按奇偶性分类：函数按奇偶性分类：有的函数为偶函数；有的函数为偶函数
10、；有的函有的函 数为奇函数；数为奇函数；有的函数既是奇函数又是偶函数，如有的函数既是奇函数又是偶函数，如 f(x)0； 有的函数既不是奇函数也不是偶函数，如有的函数既不是奇函数也不是偶函数，如 y x(x0) 思考交流思考交流 2.2.具备奇偶性的函数图象有什么特点？具备奇偶性的函数图象有什么特点？ 答：答：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原 点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数坐标原点为对称中心的中心对
11、称图形，则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数， 则它的图象是以如果一个函数是偶函数， 则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴为对称轴的 轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这轴对称，则这 个函数是偶函数个函数是偶函数 3.3.若函数若函数f(x)f(x)为奇函数，且在为奇函数，且在x=0x=0处有定义，则处有定义，则 f(0)f(0)的值能确定吗？的值能确定吗？ 答：答：由奇函数的定义知由奇函数的定义知 f(0)f(0)， 即即 f(0)f(0)， f(0)0. 1.1.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2，xx- -1 1，2 2
12、是是( )( ) A.A.奇函数奇函数 B.B.偶函数偶函数 C.C.非奇非偶函数非奇非偶函数 D.D.既奇又偶函数既奇又偶函数 【提示提示】xx- -1,21,2，不关于原点对称，不关于原点对称. . C C 2.2.如果定义在区间如果定义在区间3 3- -a a，5 5上的函数上的函数f(x)f(x)是偶是偶 函数，则函数，则a=_.a=_. 【解析解析】f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，函数函数f(x)f(x)的定义域关于的定义域关于 原点对称，原点对称，3 3- -a+5=0a+5=0，a=8a=8 8 8 3.3.已知已知f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)g(x)是奇函数，试将下图是奇函数，试将下图 补充完整。补充完整。 2 2 1 4. 1- 1 1 . x fx x ffx x 设设函函数数 求求它它的的定定义义域域； 判判断断它它的的奇奇偶偶性性； 求求的的值值 2 2 2 2 2 2 2 1- 2- 1- - ;. 1- 1 1 11 3- 1 -1 1- 1 0. x fx x x f xf x x x x ff x xx x ff x x 数义关点对称 为数 由由 得得函函的的定定域域于于原原，而而 偶 偶函函 ， 奇偶性奇偶性 定义定义 图象特点图象特点 判断方法判断方法
