1、1.1直角三角形的性质和判定()第1课时【知识再现知识再现】1.1.三角形内角和是三角形内角和是_，2.2.若若A=36A=36，则它的余角，则它的余角B=_.B=_.1801805454【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P1-3P1-3，归纳结论：，归纳结论：如图，如图，RtRtABCABC中，中，CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线，上的中线，(1)(1)量一量斜边量一量斜边ABAB的长度的长度.(2)(2)量一量斜边上的中线量一量斜边上的中线CDCD的长度的长度.(3)(3)于是有于是有CD=CD=_AB.AB.12总结：总结：一、直角三角形的性质一、直角三角形的性质1.1.直角三角形
2、的两个锐角直角三角形的两个锐角_._.2.2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的直角三角形斜边上的中线等于斜边的_._.二、直角三角形的判定二、直角三角形的判定1.1.直角三角形：有两个角直角三角形：有两个角_的三角形的三角形.2.2.三角形一条边上的中线等于这条边的三角形一条边上的中线等于这条边的_，这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形.互余互余一半一半互余互余一半一半【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！请自我检测一下预习的效果吧！1.(20191.(2019绍兴期末绍兴期末)在一个直角三角形中，有一个锐在一个直角三角形中，有一个锐角等于角等于3535，则另一个锐角的度数是
3、，则另一个锐角的度数是()A.75A.75B.65B.65C.55C.55D.45D.45C C2.2.具备下列条件的具备下列条件的ABCABC中，不是直角三角形的是中，不是直角三角形的是()A.A+B=CA.A+B=CB.A-B=CB.A-B=CD DC.ABC=123C.ABC=123D.A=B=3CD.A=B=3C3.(20193.(2019睢宁县期中睢宁县期中)已知一个直角三角形的斜边长已知一个直角三角形的斜边长为为1212，则其斜边上的中线长为，则其斜边上的中线长为_._.6 6知识点一直角三角形两锐角的关系及应用知识点一直角三角形两锐角的关系及应用(P2(P2议一议拓展议一议拓展)
4、【典例典例1 1】如图，在如图，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CDCD是高是高.(1)(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？图中有几个直角三角形？是哪几个？(2)1(2)1和和A A有什么关系？有什么关系？2 2和和A A呢？还有哪些呢？还有哪些锐角相等？锐角相等？【尝试解答尝试解答】(1)CD(1)CD是高，是高，ADC=BDC=_ADC=BDC=_，垂直定义垂直定义又又ACB=90ACB=90，图中有图中有3 3个直角三角形，分别是个直角三角形，分别是_，_，_._.直角三角形的定义直角三角形的定义9090ADCADCBDCBDCACBACB(2)ADC=BDC=90(2
5、)ADC=BDC=90，1+_=901+_=90，_+2=90+2=90，直角三角形的性质直角三角形的性质1+2=901+2=90，2=A2=A，1=B.1=B.等角的余角相等等角的余角相等A ABB【学霸提醒学霸提醒】在一个题目中，若垂直条件较多，可考虑两个方面在一个题目中，若垂直条件较多，可考虑两个方面1.1.利用同角利用同角(或等角或等角)的余角相等证两个角相等的余角相等证两个角相等.2.2.利用三角形的面积利用三角形的面积(即等积的思想即等积的思想)联系图中的线段联系图中的线段.【题组训练题组训练】1.1.在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，A=70A=70，则，则B B
6、的度数的度数为为()A.20A.20 B.30B.30C.40C.40 D.70D.70A A2.2.直角直角ABCABC中，中，A-B=20A-B=20，则，则C C的度数是的度数是_._.3.3.在下列条件：在下列条件：A+B=CA+B=C，ABC=123ABC=123，A=90A=90-B-B，A=B=CA=B=C中，能确定中，能确定ABCABC是直角三角形的条件有是直角三角形的条件有_(_(填序号填序号).).世纪金榜导学号世纪金榜导学号2020或或9090知识点二知识点二 直角三角形斜边上中线的性质直角三角形斜边上中线的性质(P3(P3探究拓展探究拓展)【典例典例2 2】如图，如图，
7、ABDABD是以是以BDBD为斜边的等腰直为斜边的等腰直角三角形，角三角形，BCDBCD中，中，DBC=90DBC=90，BCD=60BCD=60，DCDC中点为中点为E E，ADAD与与BEBE的延长线交于点的延长线交于点F F，求，求AFBAFB的度数的度数.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【自主解答自主解答】DBC=90DBC=90，E E为为DCDC的中点，的中点，BE=CE=CDBE=CE=CD，BCD=60BCD=60，CBE=60CBE=60，DBF=30DBF=30，ABDABD是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ABD=45ABD=45，ABF=75ABF=75，AFB=180A
8、FB=180-90-90-75-75=15=15，故故AFBAFB的度数为的度数为1515.12【学霸提醒学霸提醒】直角三角形斜边上中线的应用直角三角形斜边上中线的应用1.1.证明线段相等或倍分关系证明线段相等或倍分关系.2.2.证明角相等证明角相等.3.3.其逆定理可作为证明直角三角形的理论依据其逆定理可作为证明直角三角形的理论依据.【题组训练题组训练】1.1.如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线，那么下列结上的中线，那么下列结论错误的是论错误的是()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.A+DCB=90A.A+DCB=90 B
9、.ADC=2BB.ADC=2BC.AB=2CDC.AB=2CDD.BC=CDD.BC=CDD D2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，ADBCADBC，垂足为点，垂足为点D D，CECE是边是边ABAB上的中线，如果上的中线，如果CD=BECD=BE，B=40B=40，那么，那么BCE=BCE=_度度.20203.3.著名画家达芬奇不仅画意超群，同时还是一个数著名画家达芬奇不仅画意超群，同时还是一个数学家、发明家学家、发明家.他曾经设计过一种圆规他曾经设计过一种圆规.如图所示，有两如图所示，有两个互相垂直的滑槽个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性，一根没有弹
10、性的木棒的两端的木棒的两端A A，B B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点木棒中点P P处的小孔中，随着木棒的滑动就可处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来，若以画出一个圆来，若AB=10 cmAB=10 cm，则画出的圆半径为，则画出的圆半径为_cm._cm.5 5【火眼金睛火眼金睛】如图，如图，ABCABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ADAD为斜边为斜边BCBC上的高，上的高，E E，F F分别为分别为ABAB和和ACAC的中点，试判断的中点，试判断DEDE和和DFDF的关系的关系.【正解正解】DE=DFDE=DF，DEDF.DEDF.理
11、由如下：理由如下：ADAD为为BCBC上的高，上的高，ADB=ADC=90ADB=ADC=90，又又E E，F F分别为分别为ABAB，ACAC的中点，的中点，DE=BE=ABDE=BE=AB，DF=CF=ACDF=CF=AC，1212AB=ACAB=AC，DE=DFDE=DF，DE=BEDE=BE，DF=CFDF=CF，B=BDE=45B=BDE=45，C=CDF=45C=CDF=45，EDF=180EDF=180-45-45-45-45=90=90，即即DEDF.DEDF.【一题多变一题多变】如图，如图，BEBE，CFCF分别是分别是ABCABC的高，点的高，点M M为为BCBC的中点，的
12、中点，EF=6EF=6，BC=9BC=9，求，求EFMEFM的周长的周长.解：解：BEBE，CFCF分别是分别是ABCABC的高，的高，BFC=BEC=90BFC=BEC=90，M M为为BCBC的中点，的中点，FM=BC=4.5FM=BC=4.5，EM=BC=4.5EM=BC=4.5，EFMEFM的周长的周长=FM+EM+EF=15.=FM+EM+EF=15.1212【母题变式母题变式】(变换条件变换条件)(2019)(2019太仓市期末太仓市期末)如图，如图，在在ABCABC中，中，CFABCFAB于于F F，BEACBEAC于于E E，M M为为BCBC的中点，的中点，BC=10.BC=
13、10.若若ABC=50ABC=50，ACB=60ACB=60，求，求EMFEMF的度数的度数.世纪金榜导学号世纪金榜导学号解：解：CFABCFAB，M M为为BCBC的中点，的中点，BM=FMBM=FM，ABC=50ABC=50，MFB=MBF=50MFB=MBF=50，BMF=180BMF=180-2 25050=80=80，同理，同理，CME=180CME=180-2-26060=60=60，EMF=180EMF=180-BMF-CME=40-BMF-CME=40.1.1直角三角形的性质和判定()第2课时【知识再现知识再现】1.1.直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角_._.2.2.直
14、角三角形斜边上的中线等于斜边的直角三角形斜边上的中线等于斜边的_._.互余互余一半一半【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P4-6P4-6，归纳结论：，归纳结论：1.1.按要求画图：按要求画图：(1)(1)画画MONMON，使，使MON=30MON=30，(2)(2)在在OMOM上任意取点上任意取点P P，过，过P P作作ONON的垂线的垂线PKPK，垂足为，垂足为K K，量，量一量一量POPO，PKPK的长度，的长度，POPO，PKPK有什么关系？有什么关系？(3)(3)在在OMOM上再取点上再取点Q Q，R R，分别过，分别过Q Q，R R作作ONON的垂线的垂线QDQD，RERE，垂足分
15、别为垂足分别为D D，E E，量一量，量一量QDQD，OQOQ，它们有什么关系？量，它们有什么关系？量一量一量RERE，OROR，它们有什么关系？，它们有什么关系？由此你发现了什么规律？由此你发现了什么规律？直角三角形中，如果有一个锐角等于直角三角形中，如果有一个锐角等于_，那么它所对的那么它所对的_等于等于_._.3030直角边直角边斜边的一半斜边的一半2.2.探究直角三角形中，如果有一个锐角等于探究直角三角形中，如果有一个锐角等于3030，那么，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半它所对的直角边为什么等于斜边的一半.如图，如图，RtRtABCABC中，中，A=30A=30，BCBC为什么
16、会等于为什么会等于 ABAB？12证明：证明：取取ABAB的中点的中点D D，连接，连接CDCD，则，则AD=BDAD=BD，因为因为CDCD为为RtRtABCABC斜边的中线，斜边的中线，所以所以_.又因为又因为A=30A=30，所以，所以B=B=_，CD=ABCD=AB606012所以所以CDBCDB为为_三角形，三角形，所以所以BC=_BC=_，所以所以BC=_.BC=_.得出结论：得出结论：_._.等边等边CDCD AB AB在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于斜边的一半，那么它所对的直角边等于斜边的一半12【基础小练基础小练
17、】请自我检测一下预习的效果吧！请自我检测一下预习的效果吧！1.(20191.(2019天津河西区模拟天津河西区模拟)如图，如图，RtRtABCABC中，中，C=90C=90，BC=10BC=10，A=30A=30，则，则ACAC的长度为的长度为()D DA.8A.8B.12B.12C.10 C.10 D.10 D.10 232.(20192.(2019长沙天心区期末长沙天心区期末)如图，一棵树在一次强台如图，一棵树在一次强台风中于离地面风中于离地面4 4米处折断倒下，倒下部分与地面成米处折断倒下，倒下部分与地面成3030夹角，这棵树在折断前的高度为夹角，这棵树在折断前的高度为()C CA.4A
18、.4米米B.8B.8米米C.12C.12米米D.(3+3 )D.(3+3 )米米33.(20193.(2019南通市海安县期末南通市海安县期末)在在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CDCD是斜边是斜边ABAB上的高，上的高，A=30A=30，以下说法错误的是，以下说法错误的是()A AA.AD=2CDA.AD=2CDB.AC=2CDB.AC=2CDC.AD=3BDC.AD=3BDD.AB=2BCD.AB=2BC知识点一知识点一 含含3030角的直角三角形性质的应用角的直角三角形性质的应用(P4(P4动脑筋拓展动脑筋拓展)【典例典例1 1】如图，在如图，在RtRtABCABC中，中
19、，ACB=90ACB=90，B=2AB=2A，AB=8AB=8，CDABCDAB于点于点D.D.求求BCBC，ADAD的长的长.【自主解答自主解答】ACB=90ACB=90，B=2AB=2A，B=60B=60，A=30A=30，BC=AB=4BC=AB=4，CDABCDAB，B=60B=60，DCB=30DCB=30，12BD=BC=2BD=BC=2，AD=AB-BD=8-2=6.AD=AB-BD=8-2=6.12【学霸提醒学霸提醒】含含3030角的直角三角形性质的角的直角三角形性质的“两种应用两种应用”1.1.证明：用来证明三角形中线段的倍分问题证明：用来证明三角形中线段的倍分问题.2.2.
20、求解：知道求解：知道3030角所对的直角边的长，求斜边的长，角所对的直角边的长，求斜边的长，或知道斜边的长，求或知道斜边的长，求3030角所对的直角边的长角所对的直角边的长.【题组训练题组训练】1.(20191.(2019河池期末河池期末)如图，在如图，在ABCABC中，中，B=C=60B=C=60，点，点D D为为ABAB边的中点，边的中点，DEBCDEBC于于E E，若，若BE=1BE=1，则则ACAC的长为的长为()C CA.2A.2B.B.C.4C.4D.2 D.2 332.(20192.(2019长春南关区期末长春南关区期末)如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，B=
21、30B=30，AC=3.AC=3.若点若点P P是是BCBC边上任意一边上任意一点，则点，则APAP的长不可能是的长不可能是()A.7A.7B.5.3B.5.3C.4.8C.4.8D.3.5D.3.5A A3.(20193.(2019北京东城区期末北京东城区期末)如图，在如图，在ABCABC中，中，BAC=90BAC=90，C=30C=30，ADBCADBC于于D D，BEBE是是ABCABC的平的平分线，且交分线，且交ADAD于于P P，如果，如果AP=2AP=2，则，则ACAC的长为的长为世纪金世纪金榜导学号榜导学号()A.2A.2 B.4B.4 C.6C.6 D.8D.8C C4.4.如
22、图，在如图，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，A=30A=30，DEDE垂直平分线段垂直平分线段AC.AC.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)(1)求证：求证：BCEBCE是等边三角形是等边三角形.(2)(2)若若BC=3BC=3，求，求DEDE的长的长.解：解：(1)(1)在在ABCABC中，中，B=180B=180-ACB-A=180-ACB-A=180-90-90-30-30=60=60.DEDE垂直平分垂直平分ACAC，EC=EAEC=EA，ECA=A=30ECA=A=30，BEC=60BEC=60，BCEBCE是等边三角形是等边三角形.(2)(2)由由(1)(1)得，得
23、，EC=BC=3EC=BC=3，在在RtRtECDECD中，中，ECD=30ECD=30，DE=EC=DE=EC=3=.3=.121232知识点二知识点二 直角三角形性质的综合应用直角三角形性质的综合应用(P5(P5例例3 3拓展拓展)【典例典例2 2】如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，点点D D是是BCBC上一点，上一点，DEABDEAB于于E E，FDBCFDBC于于D D，G G是是FCFC的中点，连接的中点，连接GD.GD.求证：求证：GDDE.GDDE.【自主解答自主解答】AB=ACAB=AC，B=CB=C，DEABDEAB，FDBCFDBC，BED=FDC=
24、90BED=FDC=90，1+B=901+B=90，3+C=903+C=90，1=31=3，G G是直角三角形是直角三角形FDCFDC的斜边中点，的斜边中点，GD=GFGD=GF，2=32=3，1=21=2，FDC=2+4=90FDC=2+4=90，1+4=901+4=90，2+FDE=902+FDE=90，GDDE.GDDE.【学霸提醒学霸提醒】直角三角形性质的应用及注意事项直角三角形性质的应用及注意事项1.1.性质应用：性质应用：3030角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊度角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊度数的角数的角(30(30或或6060)的特殊定理，反映了直角三角形
25、中的特殊定理，反映了直角三角形中边角之间的关系，主要作用是解决直角三角形中的有关边角之间的关系，主要作用是解决直角三角形中的有关计算或证明问题计算或证明问题.2.2.两点注意：两点注意：(1)(1)必须在直角三角形中，非直角三角形不具备该性质必须在直角三角形中，非直角三角形不具备该性质.(2)(2)只有只有3030的角所对的直角边等于斜边的一半，其他的角所对的直角边等于斜边的一半，其他度数的角所对的直角边和斜边不满足该关系度数的角所对的直角边和斜边不满足该关系.【题组训练题组训练】1.(20191.(2019哈尔滨香坊区期末哈尔滨香坊区期末)如图，如图，在等边在等边ABCABC中，中，AD=B
26、DAD=BD，过点，过点D D作作DFACDFAC于点于点F F，过点，过点F F作作FEBCFEBC于点于点E E，若若AF=6AF=6，则线段，则线段BEBE的长为的长为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号15152.(20192.(2019合肥瑶海区期末合肥瑶海区期末)如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC=2AB=AC=2，B=75B=75，则点，则点B B到边到边ACAC的距离为的距离为_._.1 13.3.如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，D D是直角边是直角边ACAC上上的点，且的点，且AD=BD=2aAD=BD=2a，A=15A=15，求，求
27、BCBC边的长边的长.世纪金榜世纪金榜导学号导学号解：解：由由AD=BDAD=BD可推出可推出2=A=152=A=15，所以所以1=2+A=151=2+A=15+15+15=30=30.在在RtRtBCDBCD中，中，1=301=30，可推出可推出BC=BD=BC=BD=2a=a.2a=a.1212【火眼金睛火眼金睛】如图如图，ADBCADBC，BDBD平分平分ABCABC，A=120A=120，C=60C=60，CD=4 cmCD=4 cm，求，求BCBC的长的长.【正解正解】ADBCADBC，A+ABC=180A+ABC=180，又又A=120A=120，ABC=60ABC=60，BDBD
28、平分平分ABCABC，DBC=ABD=30DBC=ABD=30，C=60C=60，BDC=90BDC=90，BC=2CD=2BC=2CD=24=8(cm).4=8(cm).【一题多变一题多变】如图，在等边如图，在等边ABCABC中，点中，点D D，E E分别在边分别在边BCBC，ACAC上，且上，且DEABDEAB，过点，过点E E作作EFDEEFDE，交，交BCBC的延长线于点的延长线于点F.F.求证：求证：DF=2DC.DF=2DC.证明：证明：ABCABC是等边三角形，是等边三角形，B=60B=60，DEABDEAB，EDC=B=60EDC=B=60，EFDEEFDE，DEF=90DEF
29、=90，F=90F=90-EDC=30-EDC=30，ACB=60ACB=60，EDC=60EDC=60，EDCEDC是等边三角形是等边三角形.ED=DCED=DC，DEF=90DEF=90，F=30F=30，DF=2DE=2CD.DF=2DE=2CD.【母题变式母题变式】(变换问法变换问法)如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABCABC中，点中，点D D，E E分别在分别在边边BCBC，ACAC上，上，DEABDEAB，过点，过点E E作作EFDEEFDE，交，交BCBC的延长线的延长线于点于点F F，求，求F F的度数的度数.解：解：ABCABC是等边三角形，是等边三角形，B=60B=6
30、0，DEABDEAB，EDC=B=60EDC=B=60，EFDEEFDE，DEF=90DEF=90，F=90F=90-EDC=30-EDC=30.1.2直角三角形的性质和判定()第1课时【知识再现知识再现】直角直角ABCABC的主要性质是：的主要性质是：C=90C=90(用几何语言表示用几何语言表示)(1)(1)两锐角之间的关系：两锐角之间的关系：_._.(2)(2)若若D D为斜边中点，则斜边中线为斜边中点，则斜边中线_._.(3)(3)若若A=30A=30，则，则A A的对边和斜边的关系：的对边和斜边的关系：_._.A+B=90A+B=90CD=ABCD=ABBC=ABBC=AB1212【
31、新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P9-P11P9-P11，归纳结论：，归纳结论：1.1.同学们画一个直角边为同学们画一个直角边为3 cm3 cm和和4 cm4 cm的直角的直角ABCABC，用，用刻度尺量出刻度尺量出ABAB的长的长.2.2.再画一个两直角边为再画一个两直角边为5 cm5 cm和和12 cm12 cm的直角的直角ABCABC，用，用刻度尺量刻度尺量ABAB的长的长.问题：你是否发现问题：你是否发现3 32 2+4+42 2与与5 52 2，5 52 2+12+122 2和和13132 2的关系，即的关系，即3 32 2+4+42 2_5_52 2，5 52 2+12+122
32、2_13_132 2，=由此我们可以得出什么结论？可猜想：由此我们可以得出什么结论？可猜想：如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为a a，b b，斜边为，斜边为c c，那么那么_._.a a2 2+b+b2 2=c=c2 23.3.勾股定理的证明勾股定理的证明已知：在已知：在ABCABC中，中，C=90C=90，A A，B B，C C的对边为的对边为a a，b b，c.c.求证：求证：a a2 2+b+b2 2=c=c2 2证明：证明：4S4S+S+S小正小正=c=c2 2；S S大正大正=c=c2 2根据的等量关系：根据的等量关系：a a2 2+b+b2 2=c=c2
33、2由此我们得出勾股定理的内容是：由此我们得出勾股定理的内容是：_._.直角三角形两直角三角形两直角边直角边a a，b b的平方和，等于斜边的平方和，等于斜边c c的平方的平方【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！请自我检测一下预习的效果吧！1.1.如图，如图，“赵爽弦图赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理利用面积关系证明了勾股定理.已知小正方形的面积是已知小正方形的面积是1 1，直角三角形的两直角边分别为，直角三角形的两直角边分别为a a，b
34、 b且且ab=6ab=6，则图中，则图中大正方形的边长为大正方形的边长为()B BA.5A.5 B.B.C.4C.4 D.3D.3132.(20192.(2019揭西县期末揭西县期末)游泳员小明横渡一条河，由于游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点水流的影响，实际上岸地点C C偏离欲达到点偏离欲达到点B60B60米，结米，结果他在水中实际游了果他在水中实际游了100100米，这条河宽为米，这条河宽为_米米.8080知识点一知识点一 勾股定理的证明及应用勾股定理的证明及应用(P10(P10探究及探究及P11P11例例1 1拓展拓展)【典例典例1 1】如图是美国总统如图是美国总统Gar
35、fieldGarfield于于18961896年给出的一年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程请写出你的证明过程.(.(提示：如图三个三角形均是直角提示：如图三个三角形均是直角三角形三角形)【自主解答自主解答】(a+b)(a+b)=2 (a+b)(a+b)=2 ab+c ab+c2 2，(a+b)(a+b)=2ab+c(a+b)(a+b)=2ab+c2 2，a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=2ab+c=2ab+c2 2，a a2 2+b+b2 2=c=c2 2.121212【学霸提醒学霸提醒】证明勾
36、股定理的三个步骤证明勾股定理的三个步骤1.1.读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成，图中包读图：观察整个图形是由哪些图形拼接而成，图中包括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是多少括几个直角三角形，几个正方形，它们的边长各是多少.2.2.列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列式：根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和，列出关于直角三角形三边长的等式列出关于直角三角形三边长的等式.3.3.化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理化简：根据整式的运算化简等式，得出勾股定理.【题组训练题组训练】1.1.小明将小明将4 4个全等的直角三角形拼成如图个全等的直角三角形拼成如图所示的
37、五边形，添加适当的辅助线后，所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理用等面积法建立等式证明勾股定理.小明小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是分别是S S1 1=_=_，S S2 2=_.=_.c c2 2+ab+aba a2 2+b+b2 2+ab+ab2.2.如图，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三如图，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形角形.已知每个直角三角形较长的直角边为已知每个直角三角形较长的直角边为a a，较短的，较短的直角边为直角边为b b，斜边长为，斜边长为c.c.如图，现将这四个全等的直如图，现将这四个全
38、等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(实线实线)的周长为的周长为2424，OC=3OC=3，则该飞镖状图案的面积为，则该飞镖状图案的面积为世纪金世纪金榜导学号榜导学号()C CA.6A.6B.12B.12C.24C.24D.24 D.24 33.(20193.(2019邵阳中考邵阳中考)公元公元3 3世纪初，中国古代数学家世纪初，中国古代数学家赵爽注赵爽注周髀算经周髀算经时，创造了时，创造了“赵爽弦图赵爽弦图”.如图，如图，设勾设勾a=6a=6，弦，弦c=10c=10，则小正方形，则小正方形ABCDABCD的面积是的面积是_._.世纪金榜导
39、学号世纪金榜导学号4 4知识点二知识点二 勾股定理的实际应用勾股定理的实际应用(P12(P12动脑筋及例动脑筋及例2 2拓展拓展)【典例典例2 2】(2019(2019临安区期末临安区期末)如图，一架长如图，一架长5 5米的梯米的梯子子A A1 1B B1 1斜靠在墙斜靠在墙A A1 1O O上，上，B B1 1到墙底端到墙底端O O的距离为的距离为3 3米，此米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B B1 1端向端向墙的方向移动了墙的方向移动了1.61.6米到米到B B处，此时梯子的高度达到工处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的作要求，那
40、么梯子的A A1 1端向上移动了端向上移动了_米米.世纪金榜导学号世纪金榜导学号0.80.8【学霸提醒学霸提醒】勾股定理的实际应用的一般步骤勾股定理的实际应用的一般步骤1.1.读懂题意，建立数学模型读懂题意，建立数学模型.2.2.分析数量关系，数形结合，正确标图，将已知条件体分析数量关系，数形结合，正确标图，将已知条件体现到图形中，充分利用图形的功能和性质现到图形中，充分利用图形的功能和性质.3.3.应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求解解.4.4.解决实际问题解决实际问题.【题组训练题组训练】1.1.如图，长为如图，长为8 cm8 cm
41、的橡皮筋放置在的橡皮筋放置在x x轴上，轴上，固定两端固定两端A A和和B B，然后把中点，然后把中点C C向上拉升向上拉升3 cm3 cm至至D D点，则橡皮筋被拉长了点，则橡皮筋被拉长了()A.2 cmA.2 cmB.3 cmB.3 cmC.4 cmC.4 cm D.5 cmD.5 cmA A2.2.有两棵树，一棵高有两棵树，一棵高10 m10 m，另一棵高，另一棵高4 m4 m，两树相距，两树相距8 m.8 m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行问小鸟至少飞行世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.8 mA.8 mB.10 mB
42、.10 mC.12 mC.12 mD.14 mD.14 mB B3.(20193.(2019海州区期末海州区期末)如图，一圆柱形容器如图，一圆柱形容器(厚度忽厚度忽略不计略不计)，已知底面半径为，已知底面半径为6 cm6 cm，高为，高为16 cm16 cm，现将一，现将一根长度为根长度为28 cm28 cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是在容器外的长度的最小值是_cm._cm.8 84.4.如图所示，如图所示，OAOBOAOB，OA=45 cmOA=45 cm，OB=15 cmOB=15 cm，一机，一机器人在点器人在点B B处发现
43、有一个小球自处发现有一个小球自A A点出发沿着点出发沿着AOAO方向做匀方向做匀速直线运动，机器人自速直线运动，机器人自BCBC方向以与小球同样的速度前进方向以与小球同样的速度前进拦截小球，在点拦截小球，在点C C处正好截住了小球，求机器人行走的处正好截住了小球，求机器人行走的路程路程BC.BC.世纪金榜导学号世纪金榜导学号解：解：设设BC=AC=x cmBC=AC=x cm，则则OC=OA-AC=45-xOC=OA-AC=45-x，在在RtRtOBCOBC中，中，15152 2+(45-x)+(45-x)2 2=x=x2 2，解得解得x=25.x=25.所以所以BC=25 cmBC=25 c
44、m，所以机器人行走的路程所以机器人行走的路程BCBC为为25 cm.25 cm.【火眼金睛火眼金睛】已知直角三角形的三边长为已知直角三角形的三边长为6 6，8 8，x x，则以，则以x x为边长的正为边长的正方形的面积为方形的面积为_._.【正解正解】当当x x为直角三角形斜边时，由勾股定理得：为直角三角形斜边时，由勾股定理得：6 62 2+8+82 2=x=x2 2，即，即x x2 2=100=100，正方形的边长为正方形的边长为x x，其面积为其面积为x x2 2=100.=100.当当x x为直角三角形直角边时，由勾股定理得：为直角三角形直角边时，由勾股定理得：6 62 2+x+x2 2
45、=8=82 2，即，即x x2 2=28=28，正方形的边长为正方形的边长为x x，其面积为其面积为x x2 2=28.=28.答案：答案：100100或或2828【一题多变一题多变】如图，沿如图，沿ACAC方向开山修路方向开山修路.为了加快施工为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从进度，要在小山的另一边同时施工，从ACAC上的一点上的一点B B取取ABD=120ABD=120，BD=520 mBD=520 m，D=30D=30.那么另一边开挖点那么另一边开挖点E E离离D D多远正好使多远正好使A A，C C，E E三点在一条直线上三点在一条直线上(取取1.7321.732，结果取整
46、数，结果取整数)？3解：解：ABD=120ABD=120，D=30D=30，AED=120AED=120-30-30=90=90，在在RtRtBDEBDE中，中，BD=520 mBD=520 m，D=30D=30，BE=260 mBE=260 m，DE=260 450(m).DE=260 450(m).答：答：另一边开挖点另一边开挖点E E离离D 450 mD 450 m，正好使，正好使A A，C C，E E三点三点在一条直线上在一条直线上.22BDBE3【母题变式母题变式】如图，一艘轮船航行到如图，一艘轮船航行到B B处时，测得小岛处时，测得小岛A A在船的北偏在船的北偏东东6060的方向上
47、，轮船从的方向上，轮船从B B处继续向正东方向航行处继续向正东方向航行100100海里到达海里到达C C处时，测得小岛处时，测得小岛A A在船的北偏东在船的北偏东3030的方的方向上，向上，ADBCADBC于点于点D D，求，求ADAD的长的长.世纪金榜导学号世纪金榜导学号解：解：由题意知，由题意知，ABD=30ABD=30，ACD=60ACD=60.CAB=ABDCAB=ABD，BC=AC=100BC=AC=100海里海里.在在RtRtACDACD中，设中，设CD=xCD=x海里，海里，则则AC=2xAC=2x海里，海里，AC=100AC=100海里，海里，CD=x=50CD=x=50海里海
48、里.AD=50 (AD=50 (海里海里).).22ACCD221005031.2直角三角形的性质和判定()第2课时【知识再现知识再现】1.1.如果一个三角形两边的平方和如果一个三角形两边的平方和_第三边的平第三边的平方，那么这个三角形就是方，那么这个三角形就是_三角形三角形.2.2.如果三角形的三边长如果三角形的三边长a a，b b，c c，满足，满足_，那么这个三角形是那么这个三角形是_三角形三角形.等于等于直角直角a a2 2+b+b2 2=c=c2 2直角直角【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P14-15P14-15，归纳结论：，归纳结论：1.1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边
49、长勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a a，b b，c c满足关系：满足关系：a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，那么这个三角形是，那么这个三角形是_._.2.2.勾股数：满足勾股数：满足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2的三个的三个_._.直角三角直角三角形形正整数正整数【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！请自我检测一下预习的效果吧！1.(20191.(2019滨海县期末滨海县期末)下列各组数中，是勾股数的是下列各组数中，是勾股数的是()A.1A.1、2 2、3 3B.3B.3、4 4、5 5C.12C.12、1515、1818D.1D.1、3 3B B22.2.
50、如果如果a a，b b，c c是一个直角三角形的三边，则是一个直角三角形的三边，则abcabc可以等于可以等于()A.124A.124B.234B.234C.347C.347D.51213D.51213D D知识点一知识点一 勾股数及其应用勾股数及其应用(P15(P15例例3 3拓展拓展)【典例典例1 1】以以3 3，4 4，5 5为边长的三角形是直角三角形，称为边长的三角形是直角三角形，称3 3，4 4，5 5为勾股数组，记为为勾股数组，记为(3(3，4 4，5)5)，类似地，还可得，类似地，还可得到下列勾股数组：到下列勾股数组：(8(8，6 6，10)10)，(15(15，8 8，17)1
