1、第二十二章 二次函数22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质学习目标1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a 0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)的图象的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a 0)与y=ax2(a 0)之间的联系.（难点）1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:(1)y=ax2(2)y=ax2+c(3)y=a(x-h)2yyyyxxxxOOOOyyyyxxxxOOOOyyxxOO温故知新2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点
2、坐标、对称轴及最值？3.把y=-2x2的图像向上平移3个单位y=2x2+3向左平移2个单位y=-2(x+2)24.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？温故知新OXy3-222yx 223yx 2223yx Oy3-2X22yx 222yx 2223yx 探究新知例1 画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.1)1(212xy2 21 10 0-1-1-2-2-3-3-4-4x解:（1）先列表1)1(212xy-5.5-5.5-3-3-1.5-1.5-1-1-1.5-1.5-3-3-5.5-5.5（2）再描点、连线，如图
3、所示.1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10直线x=121(1)12yx21(1)12yx 开口方向向下；对称轴是直线x=1;顶点坐标是(-1,-1)试一试 画出函数y=2（x+1）22图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)y=2（x+1）2-2-22xyO-2468-424二次函数y=a（xh)2+k的特点a0时，开口_ ,最 点是顶点;a0时，开口_,最 点是顶点;对称轴是 ，顶点坐标是 .向上低向下高直线x=h(h,k)归纳要点22220,000,000hkyaxhkkhy
4、ya xhya xhkk aax 顶点式 顶点(h,k)向左平移1个单位1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-1021(1)12yx 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线？1)1(212xy212yx 平移方法1212yx 2112yx 向下平移1个单位1)1(212xy探究新知1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-1021(1)12yx 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线？1)1(212xy212yx 平移方法2212yx 向左平移1个单位21(1)2yx 向下平移1个单位1)1(212xyy=ax2y=a
5、x2+k y=a(x-h)2y=a(x-h)2 +k左右平移左右平移|h|个单位个单位左右平移左右平移|h|个单位个单位上下平移上下平移|k|个单位个单位上下平移上下平移|k|个单位个单位结论结论:（1 1）一般地，抛物线）一般地，抛物线 y y=a a(x x-h h)2 2+k k与与y y=axax2 2形状相同，位置不同形状相同，位置不同。（2 2）平移的方向和距离由）平移的方向和距离由h,kh,k的值决定的值决定.各种形式的二次函数的关系各种形式的二次函数的关系（2018广安）广安）抛物线抛物线y=（x2）21可以由抛物可以由抛物线线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）平移而得到
6、，下列平移正确的是（）A先向左平移先向左平移2个单位长度，然后向上平移个单位长度，然后向上平移1个单个单位长度位长度B先向左平移先向左平移2个单位长度，然后向下平移个单位长度，然后向下平移1个单个单位长度位长度C先向右平移先向右平移2个单位长度，然后向上平移个单位长度，然后向上平移1个单个单位长度位长度D先向右平移先向右平移2个单位长度，然后向下平移个单位长度，然后向下平移1个单个单位长度位长度D 例2 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?典例精析1
7、23123解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是这段抛物线经过点(3,0)，0=a(31)23.解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x1)23 (0 x3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.34a=y=(x1)23 (0 x3)34例3.已知二次函数ya(x1)24的图象经过点(3，0)(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(mn，y2)(n0)是该函数图象上的两点，当y1y 2时，求m、n之间的数量关系分析：(1)把点(3，0)的坐标代入函数表达式计算即可得解；(2)方法一：根据y1y2列出关于m、n的方程，然后开方
8、整理即可得解；方法二：根据二次函数的对称性列出关于m、n的方程，然后整理即可得解解：(1)将(3，0)代入ya(x1)24，得04a4，解得a1；(2)方法一：根据题意，得y1(m1)24，y2(mn1)24，y1y2，(m1)24(mn1)24，即(m1)2(mn1)2.n0，m1(mn1)，化简，得2mn2；方法二：函数y(x1)24的图象的对称轴是经过点(1，4)，且平行于y轴的直线，mn11m，化简，得2mn2.方法总结：方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式向上(1,2)向下向下(3,7)(2,6)向上直线x=3直线x=1直线x=3直线x
9、=2(3,5)y=3(x1)22y=4(x3)27y=5(2x)261.完成下列表格:同步练习2.请回答抛物线y=4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到?由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.4.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.2312xy21(4)23yx 3.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是_.23(1)2yx 或由抛物线向右平移3个单位再向上平移7个单位得到的.5.5.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A(1A(1，-4)-4)，且过点
10、，且过点B(3,0).B(3,0).(1)(1)求该二次函数的解析式；求该二次函数的解析式；(2)(2)将该二次函数图象向将该二次函数图象向右右平移几个单位，可使平平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标移后所得的图象经过坐标原点原点？并直接写出平移后？并直接写出平移后所得图象与所得图象与x x轴的另一个交点的坐标轴的另一个交点的坐标.（1）y=(x1)24（2）1个，（4，0）一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k的 图 象 和 性 质图象特点当a0,开口向上；当a0,k0A.h0,k0B.h0B.h0C.h0,k0C.h0,k
11、0,k0,k0)+k(a0)，其图，其图象过点象过点A(0A(0，2 2)，B(8B(8，3)3)，则，则h h的值可以是的值可以是()()A.6 A.6B.5B.5C.4C.4D.3D.37.7.已知抛物线已知抛物线y=-(x-m)y=-(x-m)2 2+1+1与与x x轴的交点为轴的交点为A A，B(BB(B在在A A的右边的右边)，与，与y y轴的交点为轴的交点为C.C.(1)(1)写出写出m=1m=1时与抛物线有关的三个正确结论；时与抛物线有关的三个正确结论；(2)(2)当点当点B B在原点的右边，点在原点的右边，点C C在原点下方时，是否存在原点下方时，是否存在在BOCBOC为等腰三角形的情形？若存在，求出为等腰三角形的情形？若存在，求出m m的值；的值；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由.(2)(2)由题意由题意,若若BOC为等腰三角形为等腰三角形,则只能则只能OB=OC.由由-(x-m)2 2+1=0,+1=0,解得解得x=m+1或或x=m-1.B在在A的右边的右边,所以所以B点的横坐标为点的横坐标为x=m+10,OB=m+1.又又当当x=0时时,y=1-m20.由由m+1=m2 2-1,-1,解得解得m=2或或m=-1(舍去舍去).存在存在BOC为等腰三角形的情形为等腰三角形的情形,此时此时m=2.D
