1、专题一曲线运动的典型问题 课前自主学习课前自主学习主题一主题一 小船渡河问题小船渡河问题【生活情境】【生活情境】如图游客坐小船渡过一条大江如图游客坐小船渡过一条大江,江水水流湍急。江水水流湍急。【问题探究】【问题探究】(1)(1)船的实际运动可以看作哪两个分运动的合运动船的实际运动可以看作哪两个分运动的合运动?提示提示:水流的运动和船相对静水的运动的合运动。水流的运动和船相对静水的运动的合运动。(2)(2)在小船渡河中涉及哪三种速度在小船渡河中涉及哪三种速度?提示提示:v v船船(船在静水中的速度船在静水中的速度)、v v水水(水的流速水的流速)、v v合合(船的实际速度船的实际速度)。(3)
2、(3)要想最短时间渡河应该怎么渡要想最短时间渡河应该怎么渡?提示提示:如图所示如图所示当船头垂直河岸时当船头垂直河岸时,渡河时间最短渡河时间最短,最短时间最短时间t tminmin=。dv船(4)(4)要想最短位移过河应该怎么渡要想最短位移过河应该怎么渡?提示提示:当当v v水水vvv船船时时,如果船头方向如果船头方向(即即v v船船方向方向)与合速度方向垂直与合速度方向垂直,渡河位移最短渡河位移最短,最短渡河位移为最短渡河位移为x xminmin=,=,如图。如图。dvv水船【结论生成】【结论生成】1.1.小船渡河问题中分运动和合运动的方向小船渡河问题中分运动和合运动的方向:(1)(1)船的
3、划行方向即船头指向为分运动方向。船的划行方向即船头指向为分运动方向。(2)(2)船的运动方向即船的实际运动方向为合运动方向。船的运动方向即船的实际运动方向为合运动方向。2.2.小船渡河问题运动分解的基本方法小船渡河问题运动分解的基本方法:按实际效果分解按实际效果分解,一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解。一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解。3.3.渡河时间渡河时间:只与垂直河岸的船的分速度有关只与垂直河岸的船的分速度有关,与水流速度的大小无关。与水流速度的大小无关。4.4.求最短渡河位移的方法求最短渡河位移的方法:根据船速根据船速v v船船与水流速度与水流速度v v水水的大小
4、情况用三角形法则求极值的方法处理。的大小情况用三角形法则求极值的方法处理。【典例示范】【典例示范】一小船渡河一小船渡河,河宽河宽d=180 m,d=180 m,水流速度水流速度v v1 1=2.5 m/s=2.5 m/s。若船在静水中的速度为。若船在静水中的速度为v v2 2=5 m/s,5 m/s,求求:(1)(1)欲使船在最短的时间内渡河欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向船头应朝什么方向?用多长时间用多长时间?位移大小是位移大小是多少多少?(2)(2)欲使船渡河的航程最短欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向船头应朝什么方向?用多长时间用多长时间?位移大小是多少位移大小是多少?【解
5、析】【解析】(1)(1)欲使船在最短时间内渡河欲使船在最短时间内渡河,船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时岸时,如图甲如图甲:合速度为倾斜方向合速度为倾斜方向,垂直分速度为垂直分速度为v v2 2=5 m/s=5 m/s。t=36 s,t=36 s,v=v=x=vt=90 mx=vt=90 m2d180 sv522125vv5 m/s25(2)(2)欲使船渡河航程最短欲使船渡河航程最短,应垂直河岸渡河应垂直河岸渡河,船头应朝上游船头应朝上游,与垂直河岸与垂直河岸方向成某一夹角方向成某一夹角,如图乙如图乙:有有v v2 2sin=vsin=v1 1,得得=30
6、=30所以当船头偏上游所以当船头偏上游3030时航程最短。时航程最短。x=d=180 mx=d=180 m。t=t=答案答案:(1)(1)船头垂直于河岸船头垂直于河岸36 s36 s90 m90 m(2)(2)船头向上游偏船头向上游偏303024 s24 s180 m180 m2d180 s24 3 s5v cos303233【规律方法】【规律方法】小船过河问题分析思路小船过河问题分析思路【母题追问】【母题追问】1.1.关于关于【典例示范】【典例示范】中中,第一问最短时间过河第一问最短时间过河,船头垂直河岸船头垂直河岸;渡河过程中如果渡河过程中如果水流速度变大水流速度变大,对渡河时间有没有影响
7、对渡河时间有没有影响?提示提示:没有影响。根据合运动与分运动具有等时性没有影响。根据合运动与分运动具有等时性,而分运动又具有独立性而分运动又具有独立性,水水流速度变大流速度变大,垂直河岸方向的速度不变垂直河岸方向的速度不变,所以渡河时间不变。所以渡河时间不变。2.2.关于关于【典例示范】【典例示范】中中,第二问使渡河的航程最短第二问使渡河的航程最短,如果水流的速度如果水流的速度v v1 1大于船在大于船在静水中的速度静水中的速度v v2 2,那船还能垂直到达河岸吗那船还能垂直到达河岸吗?最短航程还是河的宽度最短航程还是河的宽度d d吗吗?提示提示:如果如果v v1 1vv2 2,根据平行四边形
8、定则根据平行四边形定则,不管怎么调整船头也不能让合速度的方不管怎么调整船头也不能让合速度的方向垂直对岸向垂直对岸;最短航程也不再是河的宽度最短航程也不再是河的宽度,而是要大于而是要大于d d。主题二主题二 关联速度问题关联速度问题【生活情境】【生活情境】如图所示如图所示,纤夫在岸上用绳子拉着船在江中行走。纤夫在岸上用绳子拉着船在江中行走。【问题探究】【问题探究】(1)(1)人走的速度和船行的速度一样吗人走的速度和船行的速度一样吗?提示提示:不一样。用绳、杆相连的物体不一样。用绳、杆相连的物体,在运动过程中在运动过程中,两个物体的速度通常不同两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大
9、小相等但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等,即两个物体有关联的速度。即两个物体有关联的速度。(2)(2)如果知道人拉绳子的速度如果知道人拉绳子的速度,如何求解船的速度如何求解船的速度?提示提示:把人的实际速度分解为垂直于绳把人的实际速度分解为垂直于绳(杆杆)和平行于绳和平行于绳(杆杆)两个分量两个分量,根据沿绳根据沿绳(杆杆)方向的分速度大小相等求解。方向的分速度大小相等求解。【结论生成】【结论生成】1.1.解决关联速度问题的思路解决关联速度问题的思路:(1)(1)明确合运动即物体的实际运动速度。明确合运动即物体的实际运动速度。(2)(2)明确分运动。一般情况下明确分运动。一般情况下,分运动表
10、现在分运动表现在:沿绳方向的伸长或收缩运动沿绳方向的伸长或收缩运动;垂直于绳方向的旋转运动。垂直于绳方向的旋转运动。解题的原则解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则。速度的合成遵循平行四边形定则。2.2.常见的模型如图所示常见的模型如图所示:【典例示范】【典例示范】(多选多选)如图所示如图所示,物体物体A A和和B B的质量均为的质量均为m,m,且分别用轻绳连接并跨过定滑轮且分别用轻绳连接并跨过定滑轮(不不计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦计绳子与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)。在用水平变力。在用水平变力F F拉物体拉物体B B沿水平方向向沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中右做匀速直线运动的过程
11、中()A.A.物体物体A A也做匀速直线运动也做匀速直线运动B.B.绳子的拉力始终大于物体绳子的拉力始终大于物体A A所受的重力所受的重力C.C.物体物体A A的速度小于物体的速度小于物体B B的速度的速度D.D.地面对物体地面对物体B B的支持力逐渐增大的支持力逐渐增大【解析】【解析】选选B B、C C、D D。将。将B B的运动沿绳子方向和垂直于绳子方向分解的运动沿绳子方向和垂直于绳子方向分解,沿绳子方沿绳子方向上的分速度等于向上的分速度等于A A物体的速度物体的速度,根据平行四边形定则求出根据平行四边形定则求出A A的速度与的速度与B B的速度的的速度的关系。以绳子与物体关系。以绳子与物
12、体B B的结点为研究对象的结点为研究对象,将将B B的速度分解成绳子伸长的速度的速度分解成绳子伸长的速度v v1 1和垂直绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度v v2 2,如图所示。如图所示。v v1 1=vcos,=vcos,绳子伸长的速度等于物体绳子伸长的速度等于物体A A上升的速度上升的速度,即即v vA A=v=v1 1=vcos,=vcos,物体物体B B向右向右运动时运动时减小减小,所以所以v vA A增大增大,物体物体B B匀速向右运动则物体匀速向右运动则物体A A加速上升加速上升,处于超重状处于超重状态态,绳子拉力始终大于物体绳子拉力始终大于物体A A所受的重力所受的重力;减小并
13、无限趋近于减小并无限趋近于0,0,则物体则物体A A无限趋无限趋近于匀速运动近于匀速运动,故物体故物体A A上升的加速度在减小上升的加速度在减小,所以绳子的拉力所以绳子的拉力F FT T减小减小,地面对地面对B B的支持力的支持力F FNBNB=m=mB Bg-Fg-FT Tsinsin逐渐增大。故选逐渐增大。故选B B、C C、D D。【规律方法】【规律方法】绳绳(或杆或杆)端速度分解方法端速度分解方法(1)(1)确定绳确定绳(或杆或杆)端的定点。绳端的定点。绳(或杆或杆)两端物体运动时两端物体运动时,绳绳(或杆或杆)在转动在转动,若绳若绳(或杆或杆)的一端不动的一端不动,另一端运动另一端运
14、动,则不动的一端为定点则不动的一端为定点;若绳若绳(或杆或杆)的两端均在的两端均在运动运动,则欲分解的速度对应的物体端为动点则欲分解的速度对应的物体端为动点,另一端为等效定点。本例中滑轮右另一端为等效定点。本例中滑轮右侧这段绳的上端为定点侧这段绳的上端为定点,与与B B相连的下端为动点。相连的下端为动点。(2)(2)速度分解的方向。确定定点之后速度分解的方向。确定定点之后,动点动点(研究对象研究对象)的速度可分解为沿绳的速度可分解为沿绳(或或杆杆)伸长伸长(或缩短或缩短)的方向和垂直绳的方向和垂直绳(或杆或杆)使绳使绳(或杆或杆)绕定点转动的方向。牢牢绕定点转动的方向。牢牢记住实际速度是合速度
15、。记住实际速度是合速度。(3)(3)绳绳(或杆或杆)两端物体均在运动两端物体均在运动,则沿绳则沿绳(或杆或杆)的方向的方向(弹力方向弹力方向)速度相等。速度相等。【母题追问】【母题追问】如果如果【典例示范】【典例示范】中其他条件不变中其他条件不变,要想让物体要想让物体A A匀速上升匀速上升,那物体那物体B B应沿水平方应沿水平方向做什么运动向做什么运动?提示提示:将将B B的运动沿绳子方向和垂直于绳子方向分解的运动沿绳子方向和垂直于绳子方向分解,沿绳子方向上的分速度沿绳子方向上的分速度v v1 1等于等于A A物体的速度物体的速度v vA A,可得可得v vA A=v=v1 1=vcos,=v
16、cos,物体物体B B向右运动时向右运动时减小减小,cos,cos变大变大,要要让让v vA A不变则要不变则要v v减小减小,故故B B应做减速运动。应做减速运动。【补偿训练】【补偿训练】A A、B B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上,现物体现物体A A以以v v1 1的的速度向右匀速运动速度向右匀速运动,当绳被拉成与水平面夹角分别是当绳被拉成与水平面夹角分别是、时时,如图所示如图所示,物体物体B B的运动速度的运动速度v vB B为为(绳始终有拉力绳始终有拉力)()1111v sinv cosA.B.sinsinv sinv co
17、sC.D.coscos【解析】【解析】选选D D。v vB B为物体为物体B B合运动的速度合运动的速度,根据它的实际运动效果两分运动分别根据它的实际运动效果两分运动分别为为:沿绳收缩方向的分运动沿绳收缩方向的分运动,设其速度为设其速度为v;v;垂直绳方向的圆周运动垂直绳方向的圆周运动,速度分解如速度分解如图图1 1所示所示,则有则有v vB B=。物体。物体A A的合运动对应的速度为的合运动对应的速度为v v1 1,它也产生两个分运动它也产生两个分运动效果效果,分别是分别是:沿绳伸长方向的分运动沿绳伸长方向的分运动,设其速度为设其速度为v vA A,垂直绳方向的圆周运动垂直绳方向的圆周运动,
18、它的速度分解如图它的速度分解如图2 2所示所示,则有则有v vA A=v=v1 1cos,cos,由于对应同一根绳由于对应同一根绳,其长度不变其长度不变,故故:v=v:v=vA A。根据上述三式解得根据上述三式解得:v:vB B=。选项。选项D D正确。正确。vcos1v coscos课堂素养达标课堂素养达标1.(1.(多选多选)小船过河小船过河,河宽河宽300 m,300 m,水流速度为水流速度为5 m/s,5 m/s,船在静水中的速度为船在静水中的速度为4 m/s,4 m/s,以下结论正确的是以下结论正确的是()A.A.船要以最短路程过河船要以最短路程过河,船头必须指向正对岸船头必须指向正
19、对岸B.B.船不可能到达正对岸船不可能到达正对岸C.C.船以最短路程过河所需时间为船以最短路程过河所需时间为75 s75 sD.D.船渡过河的最短时间为船渡过河的最短时间为75 s75 s【解析】【解析】选选B B、D D。由于水流速度大于船的速度。由于水流速度大于船的速度,船不可能到达正对岸船不可能到达正对岸,选项选项B B正正确确;船头指向正对岸船头指向正对岸,船以最短的时间渡河船以最短的时间渡河,最短时间为最短时间为t=s=75 s,t=s=75 s,想要以想要以最短的路程渡河最短的路程渡河,船头应该向河的上游偏船头应该向河的上游偏,渡河时间大于渡河时间大于75 s,75 s,选项选项A
20、 A、C C错误错误,选项选项D D正确。正确。30042.2.如图所示如图所示,小船过河时船头偏向上游与水流方向成小船过河时船头偏向上游与水流方向成角角,船相对于静水的速度船相对于静水的速度为为v,v,其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有减小其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有减小,为保持航线不变且准时到为保持航线不变且准时到达对岸达对岸,下列措施中可行的是下列措施中可行的是()A.A.增大增大角角,增大增大v vB.B.减小减小角角,减小减小v vC.C.减小减小角角,保持保持v v不变不变D.D.增大增大角角,保持保持v v不变不变【解析】【解析】选选B B。如图所示。如图所示,为保持航
21、线不变且准时到达对岸为保持航线不变且准时到达对岸,则合速度保持不变则合速度保持不变,水流速度减小水流速度减小,即即v v1 1减小减小,结合图形可知结合图形可知:应减小应减小角角,减小减小v,v,故选项故选项B B正确。正确。3.3.如图所示如图所示,人在岸上用轻绳拉船人在岸上用轻绳拉船,若人匀速行进若人匀速行进,则船将做则船将做()A.A.匀速运动匀速运动B.B.匀加速运动匀加速运动C.C.变加速运动变加速运动D.D.减速运动减速运动【解析】【解析】选选C C。由题意可知。由题意可知,人匀速拉船人匀速拉船,根据运动的分解与合成根据运动的分解与合成,则有速度的分则有速度的分解解,如图所示如图所
22、示:v v1 1是人拉船的速度是人拉船的速度,v,v2 2是船行驶的速度是船行驶的速度,设绳子与水平方向夹角为设绳子与水平方向夹角为,则则有有:v:v1 1=v=v2 2cos,cos,随着随着增大增大,由于由于v v1 1不变不变,所以所以v v2 2增大增大,且非均匀增大且非均匀增大,故故C C正确正确,A,A、B B、D D错误。错误。4.4.如图所示如图所示,水平光滑长杆上套有一物块水平光滑长杆上套有一物块Q,Q,跨过悬挂于跨过悬挂于O O点的轻小光滑圆环的轻点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接绳一端连接Q,Q,另一端悬挂一物块另一端悬挂一物块P P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为。设轻
23、绳的左边部分与水平方向的夹角为,初始时初始时很小。现将很小。现将P P、Q Q由静止同时释放由静止同时释放,关于关于P P、Q Q以后的运动以后的运动,下列说法正确下列说法正确的是的是()A.A.当当=60=60时时,P,P、Q Q的速度之比是的速度之比是 22B.B.当当=90=90时时,Q,Q的速度最大的速度最大C.C.当当=90=90时时,Q,Q的速度为零的速度为零D.D.当当向向9090增大的过程中增大的过程中Q Q的合力一直增大的合力一直增大3【解析】【解析】选选B B。P P、Q Q用同一根绳连接用同一根绳连接,则则Q Q沿绳方向的速度与沿绳方向的速度与P P的速度大小相等的速度大
24、小相等,则当则当=60=60时时,v,vQ Qcos 60cos 60=v=vP P,解得解得 ,故选项故选项A A错误错误;当当=90=90时时,Q,Q到达到达O O点正下方点正下方,垂直垂直Q Q运动方向上的分速度为运动方向上的分速度为0,0,即即v vP P=0,=0,此时此时Q Q的速度最大的速度最大,故选项故选项B B正确正确,C,C错误错误;当当向向9090增大的过程中增大的过程中Q Q的合力逐渐减小的合力逐渐减小,当当=90=90时时,Q,Q的速度的速度最大最大,加速度为零加速度为零,合力为零合力为零,故选项故选项D D错误。错误。PQv1v25.5.一小船从河岸的一小船从河岸的
25、A A点出发渡河点出发渡河,小船船头保持与河岸垂直方向航行小船船头保持与河岸垂直方向航行,经过经过10 min10 min到达河对岸到达河对岸B B点下游点下游120 m120 m的的C C处处,如图所示。如果小船保持原来的速率逆如图所示。如果小船保持原来的速率逆水斜向上游与河岸成水斜向上游与河岸成角方向航行角方向航行,则经过则经过12.5 min12.5 min恰好到达正对岸的恰好到达正对岸的B B处。求处。求:(1)(1)水流速度大小水流速度大小;(2)(2)河的宽度。河的宽度。【解析】【解析】(1)(1)设水流速度为设水流速度为v v1 1,小船在静水中速度为小船在静水中速度为v v2
26、2,船头与河岸垂直时船头与河岸垂直时,x=v,x=v1 1t t1 1,则有则有v v1 1=m/min=12 m/min=0.2 m/s;=m/min=12 m/min=0.2 m/s;1x120t10(2)(2)船头逆向上游行驶时船头逆向上游行驶时,速度情况如图所示速度情况如图所示,则则d=td=t2 2,船头与河岸垂直时船头与河岸垂直时,d=v,d=v2 2t t1 1,故得故得v v2 2=20 m/min=20 m/min船头与河岸夹角船头与河岸夹角cos=,cos=,得得=53=53;河宽河宽d=vd=v2 2t t1 1=200 m=200 m。答案答案:(1)0.2 m/s(1)0.2 m/s(2)200 m(2)200 m2221vv12vv
