1、15.115.1 二次根式二次根式 第十五章第十五章 二次根式二次根式第第2 2课时课时 二次根式的性质二次根式的性质1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升u u u最简二次根式最简二次根式 00abab ab，00aaabbb，1知识点知识点知知1 1导导1.是否相等是否相等?呢呢?2.当当a0，b0时，对时，对 的关系提出你的的关系提出你的猜想，并说明理由猜想，并说明理由.（来自（来自教材教材）4 949与与 00abab ab，25 492549与与a bab和和知知1 1导导（来自（来自教材教材）事实上，事实上，(1)因为当因为当a0，
2、b0时，时，所以所以,a bab 2222,a ba bababa b.a bab归归 纳纳积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即即（来自（来自教材教材）知知1 1导导 00.a bab ab，化简化简:例例 1 解：解：（来自（来自教材教材）(2)80.知知1 1讲讲(1)54；(1)549 6963 6.(2)8016 51654 5.总总 结结1.被开方数一定是积的形式，不能出现被开方数一定是积的形式，不能出现的错误的错误2.若积的因数或因式不是非负数，应将其化为非负数，再运若积的因数或因式不是非负数，应将其化为非负数，再运用性质进行
3、化简；如用性质进行化简；如这里隐含条件这里隐含条件a0，易错误得出结果，易错误得出结果3.最后要检验开出来的数最后要检验开出来的数(式式)及留在根号内的数及留在根号内的数(式式)，要保证，要保证它们都是非负数它们都是非负数知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）2222abab 2234442aaaaaaa ，2.aa 1化简化简:知知1 1练练 (2)714;(1)125；56(4)0.490()x yy；35()(3)0;m nm 54231(644.)2yxyx yyx 222222(5)0()ababab；（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练导引：导引：应用积的算术平方根的前提是乘积的算术
4、平方根，应用积的算术平方根的前提是乘积的算术平方根，若不是则需将其转化为积的形式，其次是每个因数若不是则需将其转化为积的形式，其次是每个因数(式式)必须是非负数必须是非负数(1)(2)中被开方数为数，中被开方数为数，(3)(4)中被开方数是含有字母中被开方数是含有字母的单项式，都可利用的单项式，都可利用 (a0，b0)和和 a(a0)进行化简；进行化简；(5)(6)中被开方数为多项中被开方数为多项式，化简时要先分解因式式，化简时要先分解因式a bab2a（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练解：解：(1)12525 52555 5.22(2)7147 142 7277 2.2256223(4)0
5、.490.7x yxyx3524242(3).m nm nmnmnmnmnmn 22223230.70.7.xyxx yx（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练 222222(5)abab 5423322(6)4444yxyx yyyxyx 22222222abababab2222ab2.ab 232yyx 2.yyxy（来自（来自点拨点拨）2若若 成立，则成立，则()Aa0，b0 Ba0，b0Cab0 Dab13若若 则则x的取值范围的取值范围是是()Ax3 Bx2Cx3 Dx2（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练Babab 3232,xxxxB2知识点知识点1.是否相等是否相等?呢呢?2
6、.当当a0，b0时，对时，对 的关系提出你的猜想，的关系提出你的猜想，并说明理由并说明理由.知知2 2导导 00aaabbb，4499与与aabb和和25254949与与（来自（来自教材教材）知知2 2导导（来自（来自教材教材）事实上，事实上，理由如下：理由如下：(2)因为当因为当a0，b0时，时，所以所以aabb 2222,aaaaabbbbb.aabb 归归 纳纳 商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根术平方根 的商的商，即即 (a0，b0).（来自（来自教材教材）知知2 2导导 aaababbb或或化简化简:例例 2 解：解：
7、（来自（来自教材教材）(2)40.5.知知2 2讲讲75(1)8；7515025 65 6(1).816416 8116216281 29 2(2)40.5.24224 总总 结结利用商的算术平方根化简二次根式的方法：利用商的算术平方根化简二次根式的方法：(1)若被开方数的分母是一个完全平方数若被开方数的分母是一个完全平方数(式式)，则可以直接利，则可以直接利用商的算术平方根，先将分子、分母分别开平方，然后用商的算术平方根，先将分子、分母分别开平方，然后求商；求商；(2)若被开方数的分母不是完全平方数若被开方数的分母不是完全平方数(式式)，可根据分式的基，可根据分式的基本性质，先将分式的分子、
8、分母同乘一个不等于本性质，先将分式的分子、分母同乘一个不等于0的数或的数或整式，使分母变成一个完全平方数整式，使分母变成一个完全平方数(式式)，然后利用商的算，然后利用商的算术平方根进行化简术平方根进行化简知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）1化简化简:知知2 2练练52121(2)016()baa；9(1)116；229611(4),1.341xxxyy 4(3)9x；（来自（来自点拨点拨）知知2 2练练解：解：925255(1)1.16164165422212112111(2).16416bbbbbaaa 222222313196131(4).21414141xxxxxyyyy 4422(
9、3).9393xxxxx（来自（来自点拨点拨）2若若 则则a的取值范围是的取值范围是()Aa0Ba0Ca0D0a1知知2 2练练211,aaaa（来自（来自典中点典中点）D3【中考中考烟台烟台】下列等式不一定成立的是】下列等式不一定成立的是()A.Ba3a5 (a0)Ca24b2(a2b)(a2b)D(2a3)24a6知知2 2练练(b0)aabb（来自（来自典中点典中点）A21a3知识点知识点最简二次根式最简二次根式在例在例2中，观察每个小题化简前后被开方数的变化，中，观察每个小题化简前后被开方数的变化，请思考：请思考：(1)化简前，被开方数是怎样的数化简前，被开方数是怎样的数?(2)化简后
10、，被开方数是怎样的数化简后，被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽它们还含有能开得尽方的因数吗方的因数吗?知知3 3导导（来自（来自教材教材）归归 纳纳一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式最简二次根式.(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如如 都是最简二次根式都是最简二次根式.二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根
11、式的过程过程.（来自（来自教材教材）知知3 3导导5 6 9 23 6,4 5,42下列各式中，哪些是最简二次根式，哪些不是最简二下列各式中，哪些是最简二次根式，哪些不是最简二次根式次根式?不是最简二次根式的，请说明理由不是最简二次根式的，请说明理由例例 3 导引：导引：（来自（来自点拨点拨）2222(6).xyxy 知知3 3讲讲1(1)3；3256()9;xxx2(2)1x ；(3)0.2；(4)24x；根据最简二次根式的定义进行判断根据最简二次根式的定义进行判断(1)不是最简二次根式，因为被开方数含有分母不是最简二次根式，因为被开方数含有分母(2)是最简二次根式是最简二次根式解：解：(3
12、)不是最简二次根式，因为被开方数是小数不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母即含有分母)(4)不是最简二次根式，因为被开方数不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽中含有能开得尽方的因数方的因数4，422.(5)不是最简二次根式，因为不是最简二次根式，因为x36x29xx(x26x9)x(x3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式，被开方数中含有能开得尽方的因式(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式不是最简二次根式，因为分母中有二次根式综上，只有综上，只有(2)是最简二次根式是最简二次根式知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）总总 结结判断一个二次根式是不是最简二次根式的
13、方法：判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式式)；(2)被开方数不含能开得尽方的因数被开方数不含能开得尽方的因数(式式)，即被开方数中，即被开方数中每个因数每个因数(式式)的指数都小于根指数的指数都小于根指数2.另外，还要满足另外，还要满足分母中不含二次根式分母中不含二次根式知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）1在下列根式在下列根式 中，最简二次根式中，最简二次根式有有()A.4个个B.3个个C.2个个D.1个
14、个知知3 3练练34 5,2,8abxC2【中考中考临夏州临夏州】下列根式中是最简二次根式的是下列根式中是最简二次根式的是()A.B.C.D.知知3 3练练23B3912（来自（来自典中点典中点）3【中考中考自贡自贡】下列根式中，不是最简二次根式的是下列根式中，不是最简二次根式的是()A.B.C.D.知知3 3练练10B862（来自（来自典中点典中点）知识总结知识总结知识方知识方法要点法要点关键总结关键总结注意事项注意事项积的算术积的算术平方根平方根 (a0，b0)a，b必须均为非必须均为非负数负数商的算术商的算术平方根平方根 (a0，b0)注意性质中注意性质中b0的条件的条件最简二最简二次根
15、式次根式二次根式的被开方式中都不含二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含能开得尽分母，并且也都不含能开得尽方的因式方的因式一是被开方数中一是被开方数中不能含有开的尽不能含有开的尽方的因数或因式方的因数或因式,二是被开方数中二是被开方数中不能含有分母，不能含有分母，a babaabb 方法规律总结方法规律总结:表示实数表示实数a的平方的算术平方根的平方的算术平方根.则是先求实数则是先求实数a的平方，再求的平方，再求a2的算术平方根的算术平方根.中，中，a可以取一切实数可以取一切实数.仅当仅当a0时，时，a.2a2a2a2a1.必做必做:完成教材完成教材P94练习练习T1-T2，习题，习题T1-T22.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题
